# 列联表检验 (Contingency Table Test)
列联表检验 (Contingency Table Test) 是{{{统计学}}}中用于检验两个或多个{{{分类变量}}} (Categorical Variables) 之间是否存在显著关联性的一组方法的总称。该检验的核心工具是 {{{列联表}}} (Contingency Table)，它通过一个矩阵形式的表格来展示各个分类变量的不同水平（类别）的频数分布。
最常见的列联表检验是 {{{皮尔逊卡方检验}}} (Pearson's Chi-squared Test)，特别是其在 {{{独立性检验}}} (Test of Independence) 中的应用。该检验旨在回答一个核心问题：观测到的数据中，两个分类变量是相互独立的，还是存在某种依赖关系？
## 核心概念与假设
列联表检验的基础是比较 {{{观测频数}}} (Observed Frequencies) 与 {{{期望频数}}} (Expected Frequencies) 之间的差异。
* 观测频数 ($O$)：在样本数据中，每个单元格（即每一种类别组合）内实际观察到的个体数量。 * 期望频数 ($E$)：如果两个变量完全独立（即{{{零假设}}}成立），我们理论上期望在每个单元格中观察到的个体数量。
该检验的假设叙述如下： * 零假设 ($H_0$)：两个分类变量是 相互独立的。即一个变量的取值不影响另一个变量的取值分布。 * 备择假设 ($H_1$)：两个分类变量是 不独立的（即存在关联性）。
检验的逻辑在于，如果观测频数与期望频数非常接近，则我们没有理由拒绝零假设，即变量之间可能是独立的。反之，如果两者差异巨大，则说明两个变量之间很可能存在某种关联。
## 卡方统计量 (Chi-squared Statistic, χ²)
为了量化观测频数与期望频数之间的总体差异，我们计算 {{{卡方统计量}}} ($\chi^2$)。其计算公式为：
$$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} $$
其中： * $O_{ij}$ 是位于第 $i$ 行、第 $j$ 列单元格的观测频数。 * $E_{ij}$ 是位于第 $i$ 行、第 $j$ 列单元格的期望频数。 * $r$ 是列联表的行数（第一个变量的类别数）。 * $c$ 是列联表的列数（第二个变量的类别数）。 * 求和符号 $\sum$ 表示对所有单元格进行加总。
### 计算期望频数
在独立性假设下，一个单元格的期望频数可以通过以下公式计算：
$$ E_{ij} = \frac{(\text{第 } i \text{ 行的总频数}) \times (\text{第 } j \text{ 列的总频数})}{\text{总样本量}} $$
这个公式的直观理解是：如果变量是独立的，那么某个单元格的频数占总样本量的比例，应该等于该行所占比例与该列所占比例的乘积。
## 检验的步骤
执行一次典型的卡方独立性检验通常遵循以下步骤：
1. 建立假设：明确零假设 ($H_0$) 和备择假设 ($H_1$)。 2. 构建列联表：根据样本数据，整理出包含观测频数的列联表，并计算出各行、各列的总计以及总样本量。 3. 计算期望频数：为表中的每一个单元格计算其期望频数 $E_{ij}$。 4. 计算$\chi^2$统计量：使用上述公式计算出$\chi^2$的值。 5. 确定自由度(df)：对于一个 $r \times c$ 的列联表，其{{{自由度}}} (Degrees of Freedom) 为： $$ df = (r-1) \times (c-1) $$ 自由度代表了在给定行和列的总计之后，表中可以自由变化的单元格数量。 6. 确定{{{p值}}} (p-value)：根据计算出的 $\chi^2$ 值和自由度 $df$，查找{{{卡方分布}}} (Chi-squared Distribution) 表或使用统计软件来获得对应的p值。p值表示在零假设为真的情况下，获得当前观察到的或更极端的差异（即更大$\chi^2$值）的概率。 7. 做出统计决策：将p值与预先设定的{{{显著性水平}}} $\alpha$ (Significance Level, 通常为 0.05, 0.01 或 0.10)进行比较。 * 如果 $p \le \alpha$，则拒绝零假设。结论是：有统计学上显著的证据表明这两个变量之间存在关联。 * 如果 $p > \alpha$，则不拒绝零假设。结论是：没有足够的证据表明这两个变量之间存在关联。
## 示例：教学方法与考试通过率
假设一项研究想要探究新的教学方法（新方法 vs. 传统方法）是否与学生的考试通过率（通过 vs. 未通过）有关。研究人员随机抽取了200名学生，得到以下数据：
| 教学方法 | 通过 | 未通过 | 行总计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 新方法 | 70 | 30 | 100 | | 传统方法| 50 | 50 | 100 | | 列总计 | 120 | 80 | 200 (总样本) |
1. 假设 * $H_0$: 教学方法与考试通过率相互独立。 * $H_1$: 教学方法与考试通过率存在关联。
2. 计算期望频数 * $E_{\text{新, 通过}} = (100 \times 120) / 200 = 60$ * $E_{\text{新, 未通过}} = (100 \times 80) / 200 = 40$ * $E_{\text{传统, 通过}} = (100 \times 120) / 200 = 60$ * $E_{\text{传统, 未通过}} = (100 \times 80) / 200 = 40$
3. 计算$\chi^2$统计量 $$ \chi^2 = \frac{(70-60)^2}{60} + \frac{(30-40)^2}{40} + \frac{(50-60)^2}{60} + \frac{(50-40)^2}{40} $$ $$ \chi^2 = \frac{100}{60} + \frac{100}{40} + \frac{100}{60} + \frac{100}{40} $$ $$ \chi^2 \approx 1.67 + 2.5 + 1.67 + 2.5 = 8.34 $$
4. 自由度与p值 * 自由度 $df = (2-1) \times (2-1) = 1$。 * 查询卡方分布表或使用软件，对于 $\chi^2 = 8.34$ 且 $df=1$ 的情况，p值约为 $0.0039$。
5. 统计决策 * 假设我们选择显著性水平 $\alpha = 0.05$。 * 因为 $p \approx 0.0039 < 0.05$，我们拒绝零假设。 * 结论：有充分的统计证据表明，教学方法与考试通过率之间存在显著关联。观察数据可知，采用新方法的学生通过率更高。
## 应用前提与局限性
为了确保列联表检验结果的有效性，需要满足以下几个前提条件：
一. 数据类型：变量必须是分类（名义或有序）数据。 二. 观测独立性：样本中的每个观测值都必须是独立的。例如，一个学生的表现不能影响另一个学生。 三. 期望频数大小：检验的有效性依赖于足够大的样本量。通常的经验法则是： * 对于 $r \times c$ 表，所有单元格的期望频数 $E_{ij}$ 最好都大于等于 5。 * 一个较为宽松的标准是：至少80%的单元格期望频数不小于5，并且所有单元格的期望频数不小于1。 * 当这个条件不满足时，特别是对于2x2的列联表，应考虑使用 {{{费舍尔精确检验}}} (Fisher's Exact Test)，该检验不依赖于大样本假设。
需要注意的是，列联表检验只能判断变量之间是否存在关联，但不能说明关联的 强度 或 因果关系。要衡量关联的强度，需要计算其他指标，如 {{{Phi系数}}} ($\phi$) 或 {{{Cramér's V}}}。