# 完全替代品 (Perfect Substitutes)
在{{{微观经济学}}}的{{{消费者理论}}}中，完全替代品是指两种商品对于消费者来说，其功能和所提供的{{{效用}}}是完全相同的，以至于消费者完全不在意消费的是哪一种商品。消费者在做选择时，唯一的考量标准就是它们的价格。
两种商品如果互为完全替代品，意味着消费者愿意以一个 固定的比率 用一种商品去交换另一种商品，而这个比率并不会因为他们已经持有的商品数量而改变。
## 核心特征与效用函数
完全替代品最核心的经济学特征是其 {{{边际替代率}}} (Marginal Rate of Substitution, MRS) 是一个常数。边际替代率衡量了在保持总效用不变的情况下，消费者愿意用一种商品（例如商品2）交换一单位另一种商品（商品1）的数量。对于完全替代品，这个交换比率始终不变。
这反映在描述消费者偏好的{{{效用函数}}}上。完全替代品的效用函数通常是一个线性函数，其一般形式为：
$$ U(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2 $$
其中： * $U$ 代表总效用。 * $x_1$ 和 $x_2$ 分别是消费者消费的商品1和商品2的数量。 * $a$ 和 $b$ 是正常数，分别代表消费一单位商品1和一单位商品2所带来的{{{边ěi际效用}}}。
从这个函数中，我们可以推导出边际替代率（MRS）：
$$ MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}} = \frac{a}{b} $$
由于 $a$ 和 $b$ 都是常数，因此MRS也是一个常数。这意味着，无论消费者已经拥有多少 $x_1$ 和 $x_2$ ，他都愿意以 $a/b$ 的固定比率用商品2来交换商品1。
例如：某消费者认为A品牌的橙汁和B品牌的橙汁是完全替代品，但她觉得A品牌的一杯橙汁（商品1）带来的满足感等于B品牌的两杯橙汁（商品2）。那么，她的效用函数可以表示为 $U(x_1, x_2) = 2x_1 + 1x_2$。这里的 $a=2, b=1$。她的边际替代率 $MRS = 2/1 = 2$，意味着她总是愿意用2杯B品牌橙汁去交换1杯A品牌橙汁。
## 无差异曲线
完全替代品的{{{无差异曲线}}}是一系列斜率不变的 直线。这是其恒定边际替代率在几何上的直接体现。
给定一个效用水平 $\bar{U}$，无差异曲线的方程为：
$$ ax_1 + bx_2 = \bar{U} $$
整理后得到 $x_2$ 关于 $x_1$ 的表达式：
$$ x_2 = \frac{\bar{U}}{b} - \frac{a}{b}x_1 $$
这是一个标准的线性方程。其纵轴截距为 $\bar{U}/b$，斜率为 $-a/b$。由于 $MRS = a/b$，因此无差异曲线的斜率就是 $-MRS$。因为MRS是常数，所以这些无差异曲线是相互平行的直线。
## 消费者的最优选择
消费者的目标是在其{{{预算约束}}}下，达到尽可能高的效用水平（即达到离原点最远的无差异曲线）。最优选择取决于 边际替代率（MRS，消费者愿意交换的比率） 与 价格比（$p_1/p_2$，市场要求交换的比率） 之间的比较。
假设消费者的收入为 $m$，两种商品的价格分别为 $p_1$ 和 $p_2$。{{{预算线}}}的方程为 $p_1x_1 + p_2x_2 = m$，其斜率为 $-p_1/p_2$。
消费者的最优选择会出现以下三种情况，通常都表现为 {{{角点解}}} (Corner Solution)，即消费者只购买其中一种商品。
* 情况一: $MRS > p_1/p_2$ (即 $a/b > p_1/p_2$) 这个不等式意味着，消费者愿意放弃的商品2的数量（$a/b$）来换取一单位商品1，大于市场上他必须放弃的商品2的数量（$p_1/p_2$）。换言之，对他来说，商品1的“价值”超过其“成本”。因此，理性的消费者会把所有收入都用于购买商品1，以获得最大效用。 * 最优选择：$x_1^* = m/p_1$, $x_2^* = 0$。 * 几何解释：此时，无差异曲线比预算线更陡峭。消费者通过沿着预算线向右下方移动（减少$x_2$，增加$x_1$），可以达到更高的无差异曲线。这个过程会一直持续到他到达预算线的横轴截距，即把所有钱都花在商品1上。
* 情况二: $MRS < p_1/p_2$ (即 $a/b < p_1/p_2$) 这表示相对于商品1，商品2的“价值”超过其“成本”。消费者愿意为一单位商品1放弃的商品2数量，少于市场要求的数量。因此，他会把所有收入都用于购买商品2。 * 最优选择：$x_1^* = 0$, $x_2^* = m/p_2$。 * 几何解释：此时，無差异曲线比预算线更平缓。消费者会沿着预算线向左上方移动，最终到达预算线的纵轴截距，将所有钱花在商品2上。
* 情况三: $MRS = p_1/p_2$ (即 $a/b = p_1/p_2$) 在这种特殊情况下，消费者愿意交换两种商品的个人比率恰好等于市场交换比率。无差异曲线和预算线的斜率完全相同。这意味着整条预算线与某一条无差异曲线重合。 * 最优选择：预算线上的任何一点 $(x_1, x_2)$ 都是最优选择。消费者购买两种商品的任意组合，只要花费完所有收入，都能获得相同的最大效用。 * 最优解集：所有满足 $p_1x_1 + p_2x_2 = m$ 的非负组合 $(x_1, x_2)$。
## 需求函数
基于上述分析，我们可以推导出对商品1的{{{需求函数}}} $x_1(p_1, p_2, m)$：
$$ x_1(p_1, p_2, m) = \begin{cases} m/p_1 & \text{if } p_1 < (a/b)p_2 \\ \text{any value in } [0, m/p_1] & \text{if } p_1 = (a/b)p_2 \\ 0 & \text{if } p_1 > (a/b)p_2 \end{cases} $$
这个需求函数体现了完全替代品需求的“全或无”特性。对于价格的微小变动，需求量可能会从全部预算跳到零，反之亦然。
## 实例与应用
1. 不同品牌的同类基础商品：例如，对于一位只关心价格的司机来说，不同加油站的同一标号的汽油就是完全替代品。他会选择去价格最便宜的那家加油站。 2. 不同面值的货币：对于任何经济主体而言，一张10 USD的钞票和两张5 USD的钞票是完全替代品。其效用函数为 $U = 10x_1 + 5x_2$，其中$x_1$是10 USD钞票的数量，$x_2$是5 USD钞票的数量。MRS 为 $10/5 = 2$。 3. 不同供应商的同质化原材料：在工业生产中，如果不同供应商提供的螺丝钉、标准煤炭或某种化学原料在质量和规格上完全一致，那么企业在采购时会将它们视为完全替代品，只根据报价和运输成本来做决定。
## 与其他商品类型的比较
* 与{{{完全互补品}}} (Perfect Complements) 的区别：完全互补品是必须按固定比例一起消费的商品（如左鞋和右鞋）。其无差异曲线是L形的，消费者不会用一种商品替代另一种，而是同时消费。 * 与一般替代品（Imperfect Substitutes）的区别：大多数替代品都不是完全的，比如可口可乐和百事可乐。虽然它们可以相互替代，但多数消费者对它们有不同程度的偏好，不会仅仅因为微小的价格差异就完全放弃其中一个品牌。这类商品的无差异曲线是凸向原点的曲线，其MRS是递减的，这会导致一个 {{{内部解}}} (Interior Solution)，即消费者会同时购买两种商品。