# 完全互补品 (Perfect Complements)
完全互补品 (Perfect Complements) 是{{{微观经济学}}}和{{{消费者理论}}}中的一个重要概念。它描述了两种商品之间的一种极端关系，即消费者总是希望以固定的比例将这两种商品一同消费。单独增加其中任何一种商品的消费量，而不同时按比例增加另一种商品的消费量，将不会给消费者带来任何额外的{{{效用}}}（Utility）。
最经典和直观的例子是 左脚的鞋和右脚的鞋。一个消费者只从拥有一双完整的鞋中获得效用。拥有一只左脚的鞋和五只右脚的鞋，与拥有一只左脚的鞋和一只右脚的鞋所带来的效用是完全相同的。为了增加效用，消费者必须同时获得更多的左脚鞋和右脚鞋。
## 效用函数 (Utility Function)
完全互补品的偏好可以用一种特定的效用函数来表示，即 里昂惕夫效用函数 (Leontief Utility Function)，其一般形式为：
$$ U(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\} $$
在这个函数中： * $x_1$ 和 $x_2$ 是消费者消费的两种商品的数量。 * $a$ 和 $b$ 是正常数，代表了两种商品的消费比例。 * $\min\{\cdot\}$ 表示取括号内两个数值中的较小者。
这个函数的含义是，总效用水平取决于那个数量较少的、经过比例调整后的“短板”商品。
示例分析： 1. 一比一的比例：对于左脚鞋 ($x_L$) 和右脚鞋 ($x_R$) 的例子，消费比例是1:1。因此，$a=1$，$b=1$，效用函数为： $$ U(x_L, x_R) = \min\{x_L, x_R\} $$ 如果一个消费者有 5 只左脚鞋和 8 只右脚鞋，他的效用是 $U(5, 8) = \min\{5, 8\} = 5$。这意味着他实际上只能组成 5 双鞋，额外的 3 只右脚鞋没有带来任何效用提升。
2. 非一比一的比例：假设某个消费者喝咖啡 ($C$) 时，每杯咖啡总是要配 2 勺糖 ($S$)。这意味着消费比例是 1 杯咖啡配 2 勺糖。我们可以将效用函数设定为： $$ U(C, S) = \min\{2C, S\} $$ 这里，我们将咖啡的数量乘以 2，以便与糖的数量进行比较。让我们检验一下： * 如果他有 3 杯咖啡和 6 勺糖，效用为 $U(3, 6) = \min\{2 \times 3, 6\} = \min\{6, 6\} = 6$。这代表他可以完美地冲泡 "6" 个单位的 만족스러운饮品。（效用单位是序数的，数值本身仅代表排序）。 * 如果他有 3 杯咖啡和 7 勺糖，效用为 $U(3, 7) = \min\{2 \times 3, 7\} = \min\{6, 7\} = 6$。多出来的一勺糖没有用，效用并未增加。 * 如果他有 4 杯咖啡和 6 勺糖，效用为 $U(4, 6) = \min\{2 \times 4, 6\} = \min\{8, 6\} = 6$。多出来的一杯咖啡没有足够的糖来搭配，效用也未增加。
## 无差异曲线 (Indifference Curves)
完全互补品的{{{无差异曲线}}}具有非常独特的 L形 特征。
* 形状：每一条无差异曲线都由一条水平线段和一条垂直线段组成，它们以一个直角（或“拐点”）相交。 * 拐点 (Kink)：L形曲线的拐点代表了两种商品以最佳比例组合的点。对于效用函数 $U(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\}$，所有的拐点都满足 $ax_1 = bx_2$。这条穿过所有拐点的射线 $x_2 = (a/b)x_1$ 构成了消费者所有有效消费组合的集合。 * 效用解释：在拐点的右侧（水平线段），增加 $x_1$ 的数量但保持 $x_2$ 不变，不会移动到更高的无差异曲线，即效用不变。同理，在拐点的上方（垂直线段），增加 $x_2$ 的数量但保持 $x_1$ 不变，效用也不变。只有当两种商品的消费量同时按比例增加，使得消费组合移动到一条新的、离原点更远的L形曲线的拐点上时，效用才会增加。
由于无差异曲线是L形的，它的斜率在垂直部分是无穷大，在水平部分是零，在拐点处则没有定义。这意味着对于完全互补品，{{{边际替代率}}} (Marginal Rate of Substitution, MRS) 的概念不再像常规凸性偏好那样适用。
## 消费者最优选择 (Optimal Consumer Choice)
消费者的目标是在其{{{预算约束}}}下最大化效用。对于完全互补品，最优选择几乎总是发生在L形无差异曲线的 拐点 上。消费者会选择与他预算线相交的、离原点最远的那条无差异曲线上的点。
最优消费束必须满足两个条件： 1. 商品以固定比例被消费：$ax_1 = bx_2$ 2. 消费者花光所有{{{收入}}}：$p_1x_1 + p_2x_2 = m$
其中，$p_1$ 和 $p_2$ 分别是商品1和商品2的{{{价格}}}，$m$ 是消费者的总收入。
我们可以通过求解这个方程组来推导{{{需求函数}}} (Demand Function)： 从条件1中，我们得到 $x_2 = \frac{a}{b}x_1$。 将其代入条件2（{{{预算线}}}）： $$ p_1x_1 + p_2\left(\frac{a}{b}x_1\right) = m $$ 整理后求解 $x_1$： $$ x_1 \left(p_1 + \frac{a}{b}p_2\right) = m $$ $$ x_1(p_1b + p_2a) = mb $$ $$ x_1^*(p_1, p_2, m) = \frac{mb}{p_1b + p_2a} $$ 同理，我们可以求得 $x_2$ 的需求函数： $$ x_2^*(p_1, p_2, m) = \frac{ma}{p_1b + p_2a} $$
这些需求函数表明，对任一商品的需求量取决于两种商品的价格以及消费者的收入。
## 价格效应、替代效应与收入效应
分析价格变化对完全互补品需求的影响非常具有启发性。我们将使用{{{斯勒茨基分解}}} (Slutsky Decomposition) 的思想来分析{{{价格效应}}} (Price Effect)。
假设商品1的价格 $p_1$ 下降。
* {{{替代效应}}} (Substitution Effect)：对于完全互补品，替代效应为零。替代效应是指在保持{{{实际购买力}}}（或效用水平）不变的情况下，因相对价格变化而引起的需求变化。由于消费者总是以固定比例消费这两种商品，他不会因为其中一种变得相对便宜而去“替代”另一种。为了保持在同一条L形无差异曲线上，他必须停留在原来的拐点上。因此，纯粹的相对价格变化不会导致消费组合的改变。
* {{{收入效应}}} (Income Effect)：价格变化的全部影响都表现为收入效应。当 $p_1$ 下降时，消费者的{{{购买力}}}增加了。他感觉自己变得更“富有”了。由于两种商品都是{{{正常品}}} (Normal Goods)，收入的增加会使他按固定比例购买更多的这两种商品。价格效应的全部内容就是这种由购买力增加带来的消费增加。
因此，对于完全互补品： 价格效应 = 收入效应
* {{{交叉价格弹性}}} (Cross-Price Elasticity)：完全互补品的交叉价格弹性是负的。例如，如果右脚鞋的价格上涨，消费者不仅会减少对右脚鞋的需求，也会减少对左脚鞋的需求，因为它们是捆绑消费的。
## 相关概念
* {{{完全替代品}}} (Perfect Substitutes)：这是完全互补品的另一个极端。完全替代品是指消费者愿意以一个固定的比率替换另一种商品的商品，其无差异曲线是直线。 * {{{拟线性偏好}}} (Quasi-linear Preferences)：另一种特殊的偏好类型，其无差异曲线是相互垂直平移的。 * {{{柯布-道格拉斯效用函数}}} (Cobb-Douglas Utility Function)：一种更常见的、代表“不完全”替代关系的效用函数，其无差异曲线是平滑且凸向原点的。
理解完全互补品是掌握消费者理论中不同偏好类型的关键，它为分析具有强关联性的商品市场提供了重要的理论基础。