# 欧几里得空间 (Euclidean Space)
欧几里得空间 (Euclidean Space)，以古希腊数学家[[欧几里得]] (Euclid of Alexandria) 的名字命名，是人类在日常生活中直观感知的几何空间的数学抽象。它将我们熟悉的二维平面和三维空间推广到任意有限维度的情形。在数学和物理学中，欧几里得空间是最基本、最经典的研究对象之一，构成了{{{几何学}}}、{{{微积分}}}和{{{线性代数}}}的基石。
$n$ 维欧几里得空间通常用符号 $\mathbb{R}^n$ 或 $E^n$ 表示。它不仅是一个点的集合，更重要的是，它被赋予了特定的代数和几何结构，使其能够度量长度、距离和角度。这些结构的核心是 {{{内积}}}（在欧几里得空间中通常指 {{{点积}}}）。
## 形式化定义
从现代数学的角度，一个 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 是一个集合，其元素是所有可能的 $n$ 元实数数组（或称{{{向量}}})。空间中的一个点 $P$ 可以表示为一个向量 $\mathbf{p}$： $$ \mathbf{p} = (p_1, p_2, \ldots, p_n) $$ 其中每个分量 $p_i$ 都是一个{{{实数}}}。例如，$\mathbb{R}^2$ 是所有形如 $(x, y)$ 的有序数对的集合，代表一个平面；$\mathbb{R}^3$ 是所有形如 $(x, y, z)$ 的有序数组的集合，代表三维空间。
欧几里得空间的完整定义包含以下两个关键结构：
### 一、向量空间结构
$\mathbb{R}^n$ 是一个定义在{{{实数域}}} $\mathbb{R}$ 上的 {{{向量空间}}} (Vector Space)。这意味着我们可以在这个空间中进行两种基本运算：
1. 向量加法：对于任意两个向量 $\mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ 和 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$，它们的和定义为： $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n) $$ 2. 标量乘法：对于任意一个实数 $c$（称为{{{标量}}})和一个向量 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$，它们的积定义为： $$ c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, \ldots, cv_n) $$
这些运算满足{{{向量空间公理}}}（如加法交换律、结合律，乘法分配律等），使得我们可以用代数的方法处理几何对象。
### 二、内积结构（点积）
使欧几里得空间区别于一般向量空间的是它拥有一个标准的 {{{内积}}} (Inner Product)，通常称为 {{{点积}}} (Dot Product)。对于任意两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，它们的点积定义为一个标量： $$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n $$ 这个简单的运算是欧几里得空间所有几何性质（长度、距离、角度）的来源。
## 由内积衍生的几何性质
点积赋予了向量空间 $\mathbb{R}^n$ 丰富的几何内涵。
1. 长度（范数） 一个向量 $\mathbf{v}$ 的长度，也称为其 {{{范数}}} (Norm) 或模，被定义为其与自身的点积的平方根： $$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} $$ 这个定义是{{{勾股定理}}} (Pythagorean theorem) 在 $n$ 维空间中的直接推广。例如，在 $\mathbb{R}^2$ 中，向量 $(x, y)$ 的长度为 $\sqrt{x^2+y^2}$。
2. 距离 两点 $P$ 和 $Q$（对应向量为 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$）之间的 {{{欧几里得距离}}} (Euclidean Distance) 定义为连接这两点的向量 $\mathbf{p} - \mathbf{q}$ 的长度： $$ d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (p_i - q_i)^2} $$ 这个距离函数满足距离的三个基本性质（非负性、对称性、{{{三角不等式}}})，因此欧几里得空间也是一个 {{{度量空间}}} (Metric Space)。
3. 角度 两个非零向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角 $\theta$ 可以通过点积来定义： $$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos\theta $$ 由此可得计算夹角余弦的公式： $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} $$ 这一定义引出了一个至关重要的概念：{{{正交性}}} (Orthogonality)。当两个非零向量的点积为零时，$\cos\theta=0$，即 $\theta=90^\circ$ 或 $\pi/2$。此时我们称这两个向量是正交的（或垂直的）。这是线性代数中线性无关概念的几何体现。
## 公理化方法与历史视角
历史上，欧几里得在其著作《几何原本》中通过五条{{{公理}}}（或称公设）来定义我们现在所称的二维欧几里得几何。其中最著名的是第五条公理，即 {{{平行公理}}}，它断言过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。
现代数学通过{{{线性代数}}}和{{{实分析}}}的方法重新构建了欧几里得空间，如上文所述。这种方法更具一般性，易于推广到高维，并且在计算上也更为方便。然而，这两种定义是等价的：基于向量和点积的代数系统所描述的空间，完全满足欧几里得的五条几何公理。
对平行公理的修改或否定，则引出了各种 {{{非欧几里得几何}}} (Non-Euclidean Geometry)，例如在球面上成立的{{{球面几何}}}（或称{{{椭圆几何}}})和在双曲面上成立的{{{双曲几何}}}。
## 应用与重要性
欧几里得空间是众多科学领域的基础模型。
* 物理学：{{{经典力学}}}（牛顿力学）将宇宙描述为一个三维欧几里得空间，时间独立于空间流逝。位置、速度、加速度和力都被表示为 $\mathbb{R}^3$ 中的向量。
* 统计学与机器学习：在{{{数据分析}}}中，一个包含 $n$ 个特征的观测样本可以被看作是 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点。欧几里得距离是衡量样本相似度的最常用指标之一，被广泛应用于{{{聚类分析}}}（如 {{{k-means}}}）和分类算法（如 {{{k-近邻算法}}})。{{{主成分分析}}} (PCA) 等降维技术也是在欧几里得空间中对数据进行几何变换。
* 经济与金融：在{{{微观经济学}}}中，消费者的商品组合可以视为高维欧几里得空间中的一个点（商品空间）。在金融学中，一个包含 $n$ 种资产的投资组合也可以用 $\mathbb{R}^n$ 中的向量表示，向量的每个分量代表投资于该资产的金额。
## 推广
欧几里得空间是更广泛和抽象的空间概念的出发点。
* {{{希尔伯特空间}}} (Hilbert Space)：可视为欧几里得空间的无穷维推广。它是一个完备的内积空间，在{{{泛函分析}}}和{{{量子力学}}}中具有核心地位。 * {{{流形}}} (Manifold)：是一种在局部上近似于欧几里得空间的空间。例如，地球表面是一个二维流形，在小范围内可以近似看作一个平面（二维欧几里得空间）。爱因斯坦的{{{广义相对论}}}就是建立在四维{{{洛伦兹流形}}}之上，而非欧几里得空间。