# 伯特兰模型 (Bertrand Model)
伯特兰模型 (Bertrand Model) 是由法国数学家和经济学家[[约瑟夫·伯特兰]]于1883年提出的一个关于{{{寡头}}}市场竞争的{{{博弈论}}}模型。它与更早的{{{库诺模型}}}（Cournot model）形成鲜明对比，其核心假设是企业以价格作为其主要的竞争策略变量，而不是产量。尽管模型结构简单，但它导出了一个非常有力且出人意料的结论，即所谓的“伯特兰悖论”。
## 模型的核心假设
为了理解伯特兰模型的逻辑，我们必须首先明确其严格的假设。在最基础的版本中，该模型通常设定为一个{{{双寡头}}}（duopoly）市场，其假设包括：
1. 企业数量：市场中有两个企业（企业1和企业2）。 2. 产品同质性 (Product Homogeneity)：两个企业生产完全相同的产品。从消费者的角度来看，这两个企业的产品是完美的{{{替代品}}}。 3. 竞争变量：企业同时、独立地选择其产品的价格 $p_1$ 和 $p_2$。这是一种静态的{{{纳什均衡}}}分析框架。 4. 消费者行为：消费者是完全理性的，并且拥有完全信息。他们会购买价格更低的那个企业的产品。如果两个企业的价格相同（$p_1 = p_2$），则市场需求在两个企业之间平均分配。 5. 成本结构：两个企业具有相同的、不变的{{{边际成本}}} (Marginal Cost)，记为 $c$。为了简化分析，通常假设{{{固定成本}}}为零。 6. 信息对称：市场{{{需求曲线}}}和双方的成本结构是{{{共同知识}}}（Common Knowledge）。 7. 无产能限制 (No Capacity Constraints)：每个企业都有足够的能力来满足整个市场的需求。
## 竞争逻辑与纳什均衡
伯特兰模型的核心在于其独特的“价格战”逻辑。为了找到该模型的{{{纳什均衡}}} (Nash Equilibrium)，我们需要找到一组价格策略 $(p_1^*, p_2^*)$，使得在给定对手策略的情况下，没有任何一个企业有动机单方面改变自己的价格。
让我们通过推理来构建这个均衡：
* 第一步：任何高于边际成本的价格都不是均衡。 假设企业1和企业2设定了某个价格 $p_1 > c$ 和 $p_2 > c$。 * 如果 $p_1 = p_2 > c$，两个企业平分市场，并都获得正{{{经济利润}}}。但此时，企业1可以通过将价格稍微降低一点点（例如，降至 $p_1' = p_1 - \epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个很小的正数），来吸引所有消费者，从而几乎独占整个市场。由于 $p_1'$ 仍然高于边际成本 $c$，企业1的利润会大幅增加。 * 因此，只要价格高于边际成本，每个企业都有强烈的动机去“削价”（undercut）对手，以抢占整个市场份额。这种削价竞争的动力会持续存在。
* 第二步：价格削减的终点。 这种向下的价格螺旋式竞争会进行到什么程度为止呢？它会一直持续到价格降至边际成本的水平。
* 第三步：价格等于边际成本是唯一的纳什均衡。 现在，我们来检验 $p_1 = p_2 = c$ 是否是一个纳什均衡。 * 假设企业1设定了价格 $p_1 = c$。此时企业2的最佳选择是什么？ 1. 如果企业2设定 $p_2 > c$，它将失去所有顾客，销售量为零，利润也为零。 2. 如果企业2设定 $p_2 < c$，它将吸引所有顾客，但每卖出一件商品都会亏损（价格低于成本）。 3. 如果企业2也设定 $p_2 = c$，它将与企业1平分市场（或者根据市场分配规则获得部分份额），但由于价格等于边际成本，其利润仍然为零。 * 因此，当企业1选择 $p_1 = c$ 时，企业2的最佳选择是设定 $p_2 \ge c$ 以避免亏损，而最稳妥的选择就是 $p_2 = c$。反之亦然。
综上所述，唯一的纳什均衡是两个企业都将其价格设定为等于边际成本： $$ p_1^* = p_2^* = c $$ 在这个均衡点上，两个企业的经济利润都为零。
## 伯特兰悖论 (Bertrand Paradox)
伯特兰模型的结论被称为伯特兰悖论。这个悖论指出，在一个仅有两个企业（寡头）的市场上，只要它们进行价格竞争，并且满足模型的其他假设，最终的市场价格将等于{{{边际成本}}}，企业利润为零。这个结果与{{{完全竞争}}}市场 (Perfect Competition) 的结果完全相同。
这之所以是“悖论”，是因为它与我们的直觉相悖。我们通常认为，当市场上只有少数几个竞争者时，它们应该能够利用其{{{市场势力}}} (Market Power) 来维持一个高于成本的价格，从而赚取正的经济利润。然而，伯特兰模型显示，从一个{{{垄断}}}市场（一个企业）变为一个双寡头市场（两个企业），就足以将价格从垄断高价完全拉低到竞争性水平。
## 与库诺模型的比较
伯特兰模型的结果与{{{库诺模型}}}（Cournot model）大相径庭，后者假设企业竞争的是产量。
* 战略变量：伯特兰模型中是价格；库诺模型中是数量。 * 均衡结果： * 伯特兰均衡：价格等于边际成本 ($p = c$)，总产量等于完全竞争下的产量，企业利润为零。 * 库诺均衡：价格高于边际成本但低于垄断价格 ($c < p < p_{monopoly}$)，总产量低于完全竞争水平但高于垄断水平，企业获得正利润。 * 竞争激烈程度：伯特兰模型描述了一种极其激烈的竞争形式，而库诺模型的竞争则相对温和。原因在于战略变量的性质不同。在伯特兰模型中，价格的微小下调可以带来整个市场份额的巨大变化（需求的不连续性），这激励了残酷的价格战。而在库诺模型中，增加产量只会导致市场价格对所有企业同时下降，单个企业无法通过自己的行为独占市场，因此扩张动机较弱。
## 伯特兰悖论的现实解释与“化解”
在现实世界中，我们很少观察到寡头市场出现严格的 $p = c$ 的情况。这是因为伯特兰模型的几个关键假设在现实中往往不成立。当这些假设被放宽时，“悖论”便得以“化解”：
1. {{{产品差异化}}} (Product Differentiation)：如果企业的产品存在差异（无论是物理特性、品牌、地理位置等），它们就不再是完美的替代品。这时，一个企业降价并不能夺走对手的全部客户。价格竞争的激烈程度会大大降低，企业可以维持高于边际成本的价格。 2. {{{产能限制}}} (Capacity Constraints)：伯特兰模型假设企业可以满足整个市场。如果企业存在产能上限，那么低价企业可能无法服务所有客户。在这种情况下，高价企业仍然可以面对那些低价企业无法满足的“剩余需求”，并以高于边际成本的价格销售产品，获得正利润。这一思想引出了{{{埃奇沃思悖论}}}（Edgeworth Paradox）。 3. 重复博弈与合谋 (Repeated Games and Collusion)：标准的伯特兰模型是一个“一次性”的静态博弈。如果企业在市场上进行长期、{{{重复博弈}}}，它们就可以通过默契或明确的{{{合谋}}}来维持高价格。任何一方私自降价可能会在短期获利，但会引发对手的报复（如长期的价格战），从而导致长期利润的损失。这种对未来惩罚的恐惧可以维持价格高于边'际成本的合作均衡。 4. 成本不对称 (Asymmetric Costs)：如果一个企业（如企业1）的边际成本 $c_1$ 低于另一个企业（企业2）的边际成本 $c_2$，那么成本更低的企业1可以将价格设定为略低于对手的成本（即 $p_1 = c_2 - \epsilon$），从而将企业2挤出市场，自己独占市场并获得正利润。
## 结论
伯特兰模型是{{{产业组织理论}}}中的一个重要基石。尽管其“价格等于边际成本”的极端结论在现实中很少直接观察到，但它深刻地揭示了价格竞争潜在的巨大破坏力。它作为一个重要的理论基准，帮助我们理解为什么企业会努力通过产品差异化、建立品牌忠诚度、或形成市场默契等方式来避免直接和毁灭性的价格战。因此，该模型的价值不在于其预测的准确性，而在于它所提供的关于竞争本质的深刻洞见。