# 恩格尔加总 (Engel Aggregation)
恩格尔加总 (Engel Aggregation)，也称为恩格尔加总条件，是{{{消费者理论}}}中的一个基本恒等式。它描述了消费者对不同商品的需求如何随着收入的变化而相应调整。具体而言，该理论指出，所有商品的需求收入弹性的预算份额加权平均值必须恒等于1。
这个加总条件并非基于消费者的心理或偏好假设，而是直接从消费者的{{{预算约束}}}中通过数学推导得出的逻辑结果。它构成了现代需求分析和{{{计量经济学}}}中需求系统模型（如AIDS模型）的理论基石之一。
## 数学推导
恩格尔加总的推导过程直接、清晰，并且深刻地揭示了收入变化与支出变化之间的必然联系。
我们从一个标准的消费者问题开始。假设一个消费者在给定的价格水平 $p$ 和收入水平 $M$ 下进行消费。消费者会选择一组商品组合 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 以最大化其{{{效用}}}。其{{{预算约束}}}可以表示为： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = M $$ 其中，$p_i$ 是商品 $i$ 的价格，$x_i$ 是商品 $i$ 的需求量。
在消费者理论中，我们假设消费者会用尽其全部预算（即“花的钱等于赚的钱”）。因此，上式是一个严格的等式。这里的 $x_i$ 是关于所有价格和收入的函数，即{{{马歇尔需求函数}}} $x_i(p_1, \dots, p_n, M)$。为了简洁，我们将其记为 $x_i(p, M)$。
现在，我们考察当消费者的收入 $M$ 发生变化时，其对各项商品的需求会如何变化。为此，我们将预算约束等式两边对收入 $M$ 求{{{偏导数}}}，同时保持价格 $p$ 不变： $$ \frac{\partial}{\partial M} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i x_i(p, M) \right) = \frac{\partial M}{\partial M} $$ 根据求导法则，等式左边变为各项之和，右边显然为1： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i \frac{\partial x_i(p, M)}{\partial M} = 1 $$ 这个表达式的经济学含义是：当收入增加1单位（例如1 USD）时，消费者会将这额外的1单位收入完全分配到对各种商品的额外支出上。
为了得到恩格尔加总的最终形式，我们需要引入两个关键概念：
1. {{{预算份额}}} (Budget Share), $w_i$：指消费者在商品 $i$ 上的支出占其总收入的比重。 $$ w_i = \frac{p_i x_i}{M} $$ 所有商品的预算份额之和显然为1，即 $\sum w_i = 1$。
2. {{{需求收入弹性}}} (Income Elasticity of Demand), $\eta_i$：指当收入变化1%时，消费者对商品 $i$ 的需求量变化的百分比。 $$ \eta_i = \frac{\partial x_i / x_i}{\partial M / M} = \frac{\partial x_i}{\partial M} \frac{M}{x_i} $$
现在，我们对前面的求导结果进行代数变换。我们将等式中的每一项乘以并除以 $M$ 和 $x_i$： $$ \sum_{i=1}^{n} \left( p_i \frac{\partial x_i}{\partial M} \right) \left( \frac{M}{M} \frac{x_i}{x_i} \right) = 1 $$ 重新整理括号内的项，使其匹配预算份额和收入弹性的定义： $$ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{p_i x_i}{M} \right) \left( \frac{\partial x_i}{\partial M} \frac{M}{x_i} \right) = 1 $$ 将 $w_i$ 和 $\eta_i$ 的定义代入上式，我们便得到了恩格尔加总公式： $$ \sum_{i=1}^{n} w_i \eta_i = 1 $$
## 经济学解释与启示
恩格尔加总公式 $\sum w_i \eta_i = 1$ 具有深刻的经济学含义。
1. 支出的必然结果：它表明，当总收入增加1%时，总支出也必须增加1%。这一增长是通过调整对不同商品的需求量来实现的。公式说明，所有单个商品需求量变化的百分比（由其收入弹性 $\eta_i$ 度量），在以其在总支出中的重要性（由其预算份额 $w_i$ 度量）加权后，总和必须恰好等于1。
2. 商品分类的约束：恩格尔加总对我们如何对商品进行分类施加了重要的限制。 * 不可能所有商品都是{{{奢侈品}}}：奢侈品（Luxury Good）的定义是其收入弹性大于1（$\eta_i > 1$）。如果一个消费者购买的所有商品都是奢侈品，那么 $\sum w_i \eta_i$ 将会大于 $\sum w_i = 1$，这与恩格尔加总相矛盾。 * 不可能所有商品都是{{{必需品}}}：必需品（Necessity Good）的定义是其收入弹性在0和1之间（$0 < \eta_i < 1$）。如果所有商品都是必需品，那么 $\sum w_i \eta_i$ 将会小于 $\sum w_i = 1$，同样与恩格尔加总相矛盾。 * 必然存在{{{正常商品}}}：{{{劣等品}}}（Inferior Good）的收入弹性为负（$\eta_i < 0$）。恩格尔加总意味着，如果消费组合中存在劣等品，则必须至少有一种收入弹性足够大（通常大于1）的奢侈品来 "抵消" 这种负影响，从而使加权总和为1。这也直接推导出，消费组合中必须至少存在一种{{{正常商品}}}（Normal Good, $\eta_i > 0$），否则加权和将小于或等于零。
示例：假设一个简化的经济中，消费者只消费两种商品：食品（Food）和娱乐（Entertainment）。消费者将收入的40%用于食品（$w_F = 0.4$），60%用于娱乐（$w_E = 0.6$）。通过经验数据我们得知，食品是一种必需品，其收入弹性为 $\eta_F = 0.5$。那么，娱乐的收入弹性 $\eta_E$ 是多少？ 根据恩格尔加总： $$ w_F \eta_F + w_E \eta_E = 1 $$ $$ (0.4)(0.5) + (0.6)\eta_E = 1 $$ $$ 0.2 + 0.6\eta_E = 1 $$ $$ 0.6\eta_E = 0.8 $$ $$ \eta_E = \frac{0.8}{0.6} \approx 1.33 $$ 因此，为了满足预算约束的逻辑，娱乐必须是一种奢侈品（$\eta_E > 1$）。
## 与其他概念的关系
* 与{{{恩格尔定律}}} (Engel's Law) 的区别：恩格尔加总是从预算约束中推导出的一个理论恒等式，对所有商品和所有消费者都成立。而{{{恩格尔定律}}}是一个可以追溯到19世纪的经验观察，它特指随着收入的增加，家庭在食品上的支出占总支出的比例会下降。这实际上是说食品是一种必需品（$\eta_{food} < 1$）。恩格尔加总为恩格尔定律等经验观察提供了理论上的一致性框架。
* 与{{{古诺加总}}} (Cournot Aggregation) 的关系：恩格尔加总是关于收入变化的加总条件。在消费者理论中，还存在一个关于价格变化的类似条件，称为古诺加总。它同样源自预算约束，但通过对价格求导得出，它建立了{{{需求价格弹性}}}、{{{交叉价格弹性}}}和预算份额之间的关系。两者共同构成了消费者需求理论中的基本 "加总" 约束。
## 应用
在现代经济学中，恩格尔加总是一个重要的实用工具。在{{{计量经济学}}}中，当研究者估计联立的{{{需求系统}}}（如几乎理想需求系统，AIDS模型）时，他们会将恩格尔加总作为一个参数约束强加到模型中。这样做不仅确保了估计结果与经济学理论保持一致，还能提高模型参数估计的统计效率。