# 向量 (Vector)
向量 (Vector)，在数学、物理学和工程学中，是一个基本且核心的概念。它被定义为一个同时具有 大小 (magnitude) 和 方向 (direction) 的量。这与仅有大小没有方向的 {{{标量}}} (Scalar) 形成对比，例如温度、质量和时间都是标量。
向量在几何上通常被描绘成一个带箭头的线段。线段的长度代表向量的大小（也称为 模 或 范数），箭头所指的方向代表向量的方向。向量可以用来表示物理世界中的位移、速度、力等。
## 向量的表示方法
向量主要有两种表示方法：几何表示法和代数（坐标）表示法。
### 1. 几何表示法
在几何上，一个从点 $A$ 指向点 $B$ 的向量可以记作 $ \vec{AB} $。点 $A$ 称为向量的 起点 (initial point)，点 $B$ 称为 终点 (terminal point)。向量也可以用单个粗体字母（如 $\mathbf{v}$）或带箭头的字母（如 $\vec{v}$）表示。
一个重要的特性是，只要大小和方向相同，向量就是相等的，无论其起点在哪里。这被称为 自由向量。例如，在下图中，从 $(0,0)$ 到 $(2,1)$ 的向量与从 $(1,2)$ 到 $(3,3)$ 的向量是同一个向量 $ \vec{v} $。
### 2. 坐标表示法
为了进行代数运算，我们通常将向量置于一个{{{坐标系}}}中。一个 $n$ 维向量可以表示为一个包含 $n$ 个数的有序列表，称为向量的 分量 (components)。
* 在二维平面直角坐标系中，一个向量 $ \vec{v} $ 可以表示为 $ \vec{v} = (v_1, v_2) $ 或列向量的形式 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $。 * 在三维空间中，一个向量 $ \vec{v} $ 可以表示为 $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $ 或 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $。
这些分量代表了向量在各个坐标轴上的投影。例如，向量 $ \vec{v}=(v_1,v_2) $ 可以看作是两个 {{{基向量}}} (basis vectors) $ \hat{i}=(1,0) $ 和 $ \hat{j}=(0,1) $ 的{{{线性组合}}}： $$ \vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} $$
## 基本概念与运算
### 向量的模 (Magnitude / Norm)
向量的模是其长度，是一个标量。对于一个由坐标表示的向量，其模可以通过推广的{{{勾股定理}}}来计算。对于一个 $n$ 维向量 $ \vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) $，其模记作 $ \|\vec{v}\| $，计算公式为： $$ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2} $$ 例如，向量 $ \vec{a} = (3, 4) $ 的模是 $ \|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $。
### 单位向量 (Unit Vector)
单位向量 是指模为1的向量。任何非零向量 $ \vec{v} $ 都可以通过将其除以自身的模来得到一个指向相同方向的单位向量 $ \hat{v} $。这个过程称为 {{{归一化}}} (Normalization)。 $$ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} $$ 单位向量主要用于表示方向。
### 向量加法与减法
向量的加减法遵循特定的几何和代数规则。
* 代数运算：将对应分量相加或相减。 若 $ \vec{a} = (a_1, a_2) $ 且 $ \vec{b} = (b_1, b_2) $，则： $$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) $$ $$ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) $$ * 几何解释： * 加法：遵循 {{{平行四边形法则}}}（将两向量起点对齐，其和为以它们为邻边的平行四边形的对角线向量）或 {{{三角形法则}}}（将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，其和为从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量）。 * 减法：$ \vec{a} - \vec{b} $ 可视为 $ \vec{a} + (-\vec{b}) $，其中 $ -\vec{b} $ 是与 $ \vec{b} $ 大小相等、方向相反的向量。几何上，它也表示从 $ \vec{b} $ 的终点指向 $ \vec{a} $ 的终点的向量。
### 标量乘法 (Scalar Multiplication)
一个向量 $ \vec{v} $ 与一个标量 $ k $ 的乘积是一个新的向量 $ k\vec{v} $。
* 代数运算：将向量的每个分量都乘以该标量。 若 $ \vec{v} = (v_1, v_2) $，则： $$ k\vec{v} = (kv_1, kv_2) $$ * 几何解释： * 新向量的模是原向量模的 $ |k| $ 倍，即 $ \|k\vec{v}\| = |k|\|\vec{v}\| $。 * 如果 $ k > 0 $，新向量的方向与原向量相同。 * 如果 $ k < 0 $，新向量的方向与原向量相反。 * 如果 $ k = 0 $，结果为 零向量 $ \vec{0} = (0, 0, \dots) $。
## 向量的乘积
向量之间有两种主要的乘法运算：点积和叉积。
### 1. 点积 (Dot Product)
点积，也称为 标量积 (Scalar Product)，是两个向量运算的结果，其值为一个{{{标量}}}。
* 代数定义：两个向量的点积是它们对应分量乘积的和。 对于 $ \vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n) $ 和 $ \vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n) $： $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i $$ * 几何定义：两个向量的点积是它们模的乘积再乘以它们之间夹角 $ \theta $ 的余弦。 $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta $$
应用： * 计算夹角：可以从代数形式的点积反推出向量间的夹角： $$ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\right) $$ * 判断{{{正交性}}}：如果两个非零向量的点积为0，那么它们是相互垂直（正交）的，因为 $ \cos(90^\circ) = 0 $。 * 计算{{{投影}}}：向量$ \vec{a} $在向量$ \vec{b} $方向上的投影是一个标量值 $ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|} $。
### 2. 叉积 (Cross Product)
叉积，也称为 向量积 (Vector Product)，是定义在 三维空间 中两个向量的运算，其结果是一个新的 向量。
设 $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $，$ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $。
* 几何定义： * 方向：叉积的结果向量 $ \vec{a} \times \vec{b} $ 同时垂直于 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $。其具体方向由 {{{右手定则}}} 确定。 * 大小：其模等于以 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 为邻边的平行四边形的面积。 $$ \|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \sin\theta $$ 其中 $ \theta $ 是 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 之间的夹角。
* 代数定义：叉积可以通过一个形式上的{{{行列式}}}来计算： $$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k} $$
性质与应用： * 叉积不满足交换律，而是满足反交换律：$ \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) $。 * 如果两个向量平行（或共线），它们的叉积为零向量，因为 $ \sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0 $。 * 在物理学中，叉积用于计算{{{力矩}}}、{{{角动量}}}和{{{洛伦兹力}}}。 * 在计算机图形学中，它用于计算平面的{{{法向量}}}，这对于光照和渲染至关重要。
## 推广：向量空间
在更抽象的{{{线性代数}}}中，向量的概念被推广为 {{{向量空间}}} (Vector Space) 的元素。一个向量空间是一个集合，其中的元素（即“向量”）满足一系列公理，允许它们之间进行加法和标量乘法运算。
在这种框架下，向量可以是几何向量，也可以是{{{多项式}}}、{{{函数}}}、{{{矩阵}}}等更抽象的数学对象。只要这些对象满足向量空间的公理，就可以将向量代数的工具和思想应用于它们的研究中。这一抽象是现代数学和科学中许多领域的基础。