# 间接效用函数 (Indirect Utility Function)
间接效用函数 (Indirect Utility Function) 是{{{微观经济学}}}和{{{消费者理论}}}中的一个核心概念。它给出了在给定的{{{价格}}}水平和{{{收入}}}下，一个进行最优选择的消费者所能达到的最大{{{效用}}}水平。与直接{{{效用函数}}} $u(x)$ 描述消费特定数量的商品组合 $x$ 所带来的满足程度不同，间接效用函数是一个 价值函数 (Value Function) ，它描述的是消费者在面临市场约束（即价格和收入）并做出最优决策后，最终能实现的福利水平。
间接效用函数通常表示为 $v(p, m)$，其中 $p$ 是一个代表所有商品价格的向量，而 $m$ 是消费者的总收入或预算。
## 正式定义与推导
间接效用函数的概念源于消费者的效用最大化问题 (Utility Maximization Problem, UMP)。一个理性的消费者会选择一个商品组合 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 以最大化其效用，但这个选择受到其预算的限制。该问题可以形式化地表示为：
$$ \max_{x} \ u(x) $$ $$ \text{subject to} \ p \cdot x \le m $$
其中： * $u(x)$ 是消费者的直接效用函数。 * $x_i \ge 0$ 表示每种商品的消费量非负。 * $p = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ 是商品的价格向量。 * $m$ 是消费者的收入。 * $p \cdot x = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i$ 是消费商品组合 $x$ 的总支出。
该最优化问题的解，记为 $x^*(p, m)$，被称为{{{马歇尔需求函数}}} (Marshallian Demand Function)。它表示在给定的价格 $p$ 和收入 $m$ 下，消费者对每种商品的最优需求量。
间接效用函数 $v(p, m)$ 的定义就是将这个最优需求量 $x^*(p, m)$ 代入回原始的直接效用函数中：
$$ v(p, m) = u(x^*(p, m)) $$
因此，间接效用函数衡量的是在特定市场环境下，消费者通过优化其消费行为最终能获得的“间接”效用。它的自变量不再是商品数量，而是消费者无法直接控制的市场参数：价格 $p$ 和收入 $m$。
## 间接效用函数的性质
间接效用函数具有几个非常重要的数学和经济学性质，这些性质反映了其作为效用最大化问题价值函数的基本特征。
1. 关于价格和收入的零次齐次性 (Homogeneity of degree zero in prices and income) 对于任意正数 $\alpha > 0$，都有 $v(\alpha p, \alpha m) = v(p, m)$。 经济学解释：这个性质体现了{{{货币幻觉}}} (Money Illusion) 的不存在。如果所有商品的价格和消费者的收入都按相同的比例增加或减少（例如，所有价格和收入都翻倍），那么消费者的{{{预算集}}}(Budget Set) 并没有发生任何实际变化。因此，他的最优选择和所能达到的最大效用水平也保持不变。
2. 关于价格的非增性 (Non-increasing in prices) 对于任意商品 $i$，$\frac{\partial v}{\partial p_i} \le 0$。即，其他条件不变时，任何一种商品价格的上涨都不会使消费者的最大效用增加。 经济学解释：当一种商品的价格上涨时，消费者的预算集会收缩（或在极端情况下保持不变）。这意味着他能负担得起的商品组合范围变小了。在新的、更小的选择范围内进行优化，他所能达到的最大效用水平不可能超过原来的水平。
3. 关于收入的非减性 (Non-decreasing in income) $\frac{\partial v}{\partial m} \ge 0$。即，其他条件不变时，收入的增加不会使消费者的最大效用减少。 经济学解释：收入的增加会扩大消费者的预算集，使其能够负担更多的商品组合。在更大的选择范围内进行优化，他至少可以达到原来的效用水平（通过购买原来的商品组合），甚至可能达到更高的效用水平。如果消费者的偏好是{{{局部非饱和}}} (Locally Non-satiated) 的，那么该关系将是严格递增的 ($\frac{\partial v}{\partial m} > 0$)。这个偏导数 $\frac{\partial v}{\partial m}$ 也被称为{{{收入的边际效用}}} (Marginal Utility of Income)。
4. 关于价格的准凸性 (Quasi-convex in prices) 这意味着对于任何效用水平 $\bar{u}$，集合 $\{p | v(p, m) \le \bar{u}\}$ 是一个{{{凸集}}}。 经济学解释：这个性质相对不那么直观，但它反映了消费者从价格变化中进行替代的能力。假设有两个不同的价格向量 $p'$ 和 $p''$，它们都能让消费者达到相同的效用水平 $\bar{u}$。现在考虑一个加权平均的价格向量 $p^t = t p' + (1-t) p''$（其中 $0 < t < 1$）。在 $p^t$ 这个平均价格下，消费者通常可以达到一个不低于 $\bar{u}$ 的效用水平，甚至可能更高。这是因为平均价格环境消除了极端高价，给了消费者更多调整其消费结构以规避高价商品的空间。消费者偏好“价格混合”而不是极端的价格分布。
5. 连续性 (Continuity) 如果效用函数 $u(x)$ 是连续的，那么间接效用函数 $v(p, m)$ 在其定义域内也是连续的。
## 罗伊恒等式 (Roy's Identity)
罗伊恒等式是连接间接效用函数和马歇尔需求函数的一个关键桥梁。它表明，如果我们知道了间接效用函数的形式，我们就可以通过求导数来反推出消费者对每种商品的需求函数。
罗伊恒等式的公式如下（假设 $v(p,m)$ 是可微的且收入的边际效用大于零）：
$$ x_i^*(p, m) = - \frac{\frac{\partial v(p, m)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(p, m)}{\partial m}} $$
推导与直觉：这个恒等式可以通过{{{包络定理}}} (Envelope Theorem) 证明。直观上，分子 $\frac{\partial v}{\partial p_i}$ 代表商品 $i$ 价格微小上升给消费者带来的效用损失（以效用单位衡量），分母 $\frac{\partial v}{\partial m}$ 是收入的边际效用，即每增加一单位货币（如 USD）所带来的效用增量。二者之比的负数，就衡量了为了弥补价格上升带来的效用损失，需要多少单位的货币补偿，再将其转换回商品 $i$ 的数量。这恰恰就是消费者在该价格和收入水平下对商品 $i$ 的需求量。
## 案例分析：柯布-道格拉斯效用函数
让我们通过一个具体的例子来展示如何推导间接效用函数并验证其性质。假设一个消费者的效用函数是{{{柯布-道格拉斯效用函数}}} (Cobb-Douglas Utility Function)：
$$ u(x_1, x_2) = x_1^a x_2^{1-a} \quad (0 < a < 1) $$
预算约束为 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$。
1. 求解马歇尔需求函数 通过求解效用最大化问题（例如使用{{{拉格朗日乘数法}}}），我们得到马歇尔需求函数为： $$ x_1^*(p_1, p_2, m) = \frac{a m}{p_1} $$ $$ x_2^*(p_1, p_2, m) = \frac{(1-a) m}{p_2} $$
2. 推导间接效用函数 将上述需求函数代入原始效用函数： $$ v(p_1, p_2, m) = u(x_1^*, x_2^*) = \left(\frac{a m}{p_1}\right)^a \left(\frac{(1-a) m}{p_2}\right)^{1-a} $$ 整理后得到： $$ v(p_1, p_2, m) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^a \left(\frac{1-a}{p_2}\right)^{1-a} m $$
3. 验证性质与罗伊恒等式 * 零次齐次性：将 $p_1, p_2, m$ 替换为 $\alpha p_1, \alpha p_2, \alpha m$，可以发现 $v(\alpha p, \alpha m) = \left(\frac{a}{\alpha p_1}\right)^a \left(\frac{1-a}{\alpha p_2}\right)^{1-a} (\alpha m) = \alpha^{-a} \alpha^{-(1-a)} \alpha \cdot v(p,m) = \alpha^{-1} \alpha \cdot v(p,m) = v(p,m)$。性质成立。 * 应用罗伊恒等式： 首先计算所需的偏导数： $$ \frac{\partial v}{\partial p_1} = -a \left(\frac{a}{p_1}\right)^{a-1} \frac{a}{p_1^2} \left(\frac{1-a}{p_2}\right)^{1-a} m = -\frac{a}{p_1} v(p, m) $$ $$ \frac{\partial v}{\partial m} = \left(\frac{a}{p_1}\right)^a \left(\frac{1-a}{p_2}\right)^{1-a} = \frac{1}{m} v(p, m) $$ 现在应用罗伊恒等式： $$ x_1^*(p, m) = - \frac{- (a/p_1) v(p, m)}{(1/m) v(p, m)} = \frac{a m}{p_1} $$ 这与我们最初求得的马歇尔需求函数完全一致，展示了罗伊恒等式的威力。
## 对偶关系与应用
间接效用函数与另一个重要的价值函数——{{{支出函数}}} (Expenditure Function) $e(p, u)$ 存在深刻的{{{对偶性}}} (Duality)。支出函数是支出最小化问题 (Expenditure Minimization Problem) 的价值函数。它们之间的关系可以表示为： * $v(p, e(p, u)) = u$ * $e(p, v(p, m)) = m$
这种对偶关系是现代微观经济分析的基石，允许经济学家在效用最大化和支出最小化两种框架之间灵活转换。
总之，间接效用函数是分析消费者行为和{{{福利经济学}}}的强大工具。它将消费者的偏好和市场约束结合起来，提供了一个衡量消费者在特定经济环境下所能获得的福利水平的直接度量，并通过罗伊恒等式等工具，为实证研究和理论分析提供了坚实的基础。