# CES效用函数 (Constant Elasticity of Substitution Utility Function)
CES效用函数，全称为恒定替代弹性效用函数 (Constant Elasticity of Substitution Utility Function)，是{{{微观经济学}}}和{{{宏观经济学}}}中一种重要的{{{效用函数}}}形式。它的核心特征是，在任意消费组合下，两种商品之间的{{{替代弹性}}}都为一个常数。这种函数形式因其灵活性而备受青睐，因为它能够涵盖多种其他常见的效用函数作为其特例，如{{{完美替代品}}}、{{{完美互补品}}}和{{{科布-道格拉斯效用函数}}}。
## 通用数学形式
对于两种商品 $x_1$ 和 $x_2$ 的情况，CES效用函数的标准形式为：
$$ U(x_1, x_2) = (a_1 x_1^\rho + a_2 x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}} $$
其中： * $x_1, x_2$ 分别代表两种商品的消费数量。 * $a_1, a_2$ 是权重参数，代表消费者对这两种商品的偏好程度。通常假定 $a_1 + a_2 = 1$ 且 $a_1 > 0, a_2 > 0$。 * $\rho$ 是替代参数 (substitution parameter)，它决定了两种商品之间的替代程度。$\rho$ 的取值范围是 $(-\infty, 1]$。
这个函数可以推广到 $n$ 种商品的情况：
$$ U(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i x_i^\rho \right)^{\frac{1}{\rho}} $$
其中 $\sum_{i=1}^{n} a_i = 1$。
## 核心概念：替代弹性 (σ)
CES效用函数的名称来源于其恒定的{{{替代弹性}}} (Elasticity of Substitution, $\sigma$)。替代弹性衡量的是，在保持效用水平不变的情况下（即沿着同一条{{{无差异曲线}}}移动），两种商品消费比例的百分比变化相对于其{{{边际替代率 (MRS)}}}百分比变化的比率。
其数学定义为： $$ \sigma = \frac{d\ln(x_2/x_1)}{d\ln(MRS)} $$
对于上述定义的CES效用函数，可以证明其替代弹性 $\sigma$ 与替代参数 $\rho$ 之间存在一个简单的关系：
$$ \sigma = \frac{1}{1-\rho} $$
从这个关系式可以看出： * $\sigma$ 是一个只由参数 $\rho$ 决定的常数，这正是“恒定”替代弹性的含义。 * $\rho$ 的值越接近1，$\sigma$ 的值就越大，表明商品之间的可替代性越强。 * $\rho$ 的值越小（趋向于负无穷），$\sigma$ 的值就越接近0，表明商品之间的可替代性越弱。
## CES效用函数的特例
CES效用函数作为一个广义的函数形式，其重要性在于它能够通过改变参数 $\rho$ 的值，演变为其他几种经典的效用函数。
#### 1. $\rho \to 1$ (即 $\sigma \to \infty$)：完美替代品 (Perfect Substitutes)
当 $\rho$ 趋近于1时，替代弹性 $\sigma$ 趋近于无穷大。这意味着商品之间可以按固定比例完美替代。此时，CES效用函数收敛为线性效用函数：
$$ U(x_1, x_2) = a_1 x_1 + a_2 x_2 $$
在这种情况下，{{{无差异曲线}}}是斜率为 $-a_1/a_2$ 的直线。消费者只关心商品的总加权数量，而不在乎具体的组合。
#### 2. $\rho \to 0$ (即 $\sigma \to 1$)：科布-道格拉斯效用函数 (Cobb-Douglas Utility Function)
当 $\rho$ 趋近于0时，替代弹性 $\sigma$ 趋近于1。这是一个非常重要的特例。通过应用{{{洛必达法则}}}对函数取对数后的形式求极限，可以证明CES效用函数收敛为{{{科布-道格拉斯效用函数}}}。
取对数：$\ln U = \frac{1}{\rho} \ln(a_1 x_1^\rho + a_2 x_2^\rho)$。当 $\rho \to 0$ 时，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限。 应用洛必达法则后，可以得到：
$$ \lim_{\rho \to 0} \ln U(x_1, x_2) = a_1 \ln x_1 + a_2 \ln x_2 = \ln(x_1^{a_1} x_2^{a_2}) $$
因此，效用函数本身收敛于：
$$ U(x_1, x_2) = x_1^{a_1} x_2^{a_2} $$
这是标准的科布-道格拉斯形式，其替代弹性恒为1。
#### 3. $\rho \to -\infty$ (即 $\sigma \to 0$)：列昂惕夫效用函数 (Leontief Utility Function / Perfect Complements)
当 $\rho$ 趋近于负无穷大时，替代弹性 $\sigma$ 趋近于0。这意味着商品之间几乎没有替代性，必须以固定的比例进行消费，即{{{完美互补品}}}。此时，CES效用函数收敛为{{{列昂惕夫效用函数}}}（也称最小函数）：
$$ U(x_1, x_2) = \min(x_1, x_2) $$ （在更一般的形式中，权重参数会影响比例，如 $\min(a_1 x_1, a_2 x_2)$）。
在这种情况下，{{{无差异曲线}}}呈L形。增加任何一种商品的消费，而另一种商品数量不变，并不会增加总效用。
## 函数性质与经济学含义
* {{{边际替代率 (MRS)}}} CES效用函数的{{{边际替代率}}}为： $$ MRS_{1,2} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2} = \frac{a_1}{a_2} \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{1-\rho} $$ 从这个表达式可以看出，MRS取决于商品的消费比例 ($x_2/x_1$) 和替代参数 $\rho$。
* {{{位似偏好 (Homothetic Preferences)}}} CES效用函数代表的是{{{位似偏好}}}。这意味着任意一点的MRS只取决于两种商品的消费比例 $x_2/x_1$，而与消费的绝对水平无关。在几何上，这意味着从原点出发的任意一条射线上的所有点的无差异曲线斜率都相等。其经济学含义是，当收入增加时，如果商品价格不变，消费者会按相同比例增加对所有商品的消费，因此其{{{收入扩展线}}}是一条从原点出发的直线。
## 应用
由于其灵活性和普适性，CES函数在经济学各领域都有广泛应用： * 消费者理论：用于为具有不同替代程度偏好的消费者建模。 * 生产理论：以{{{CES生产函数}}}的形式出现，用于分析资本和劳动等{{{生产要素}}}之间的替代关系。 * 国际贸易：在贸易模型中，CES函数常被用来描述国内商品与进口商品之间的不完全替代关系，这被称为{{{阿明顿假设 (Armington Assumption)}}}。 * 宏观经济学与增长理论：在{{{可计算一般均衡 (CGE)}}}模型和动态随机一般均衡 (DSGE) 模型中，CES函数被广泛用于构建总消费、总投资和总产出等宏观聚合量。