# 瓦尔拉斯需求函数 (Walrasian Demand Function)
瓦尔RAS需求函数 (Walrasian Demand Function)，也常被称为马歇尔需求函数 (Marshallian Demand Function)，是{{{微观经济学}}}中描述消费者行为的核心概念之一。它表示在一个给定的{{{价格}}}体系和固定的{{{收入}}}水平下，一个理性的、追求{{{效用最大化}}}的消费者对每种商品的最优需求数量。
该函数是消费者{{{效用最大化问题}}} (Utility Maximization Problem, UMP) 的解。换言之，它回答了这样一个问题：“当商品价格为 $p$ 且我的收入为 $m$ 时，为了让我自己的满意度（效用）最高，我应该购买多少数量的各种商品？”
## 数学表述与核心问题
假设一个经济体中有 $n$ 种商品，其价格向量为 $p = (p_1, p_2, \dots, p_n)$，其中 $p_i > 0$ 是第 $i$ 种商品的价格。消费者的收入为 $m > 0$。消费者对不同商品组合 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 的偏好可以用一个{{{效用函数}}} $U(x)$ 来表示，其中 $x_i \geq 0$ 是第 $i$ 种商品的消费数量。
消费者的目标是在其{{{预算约束}}} (Budget Constraint) 内选择一个商品组合，以最大化其效用。该优化问题可以表示为：
$$ \max_{x_1, \dots, x_n} U(x_1, \dots, x_n) $$
$$ \text{subject to} \quad \sum_{i=1}^{n} p_i x_i \leq m $$
这个优化问题的解，即最优的商品消费组合 $x^* = (x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*)$，是价格向量 $p$ 和收入 $m$ 的函数。这个函数就被称为瓦尔拉斯需求函数，记作：
$$ x^*(p, m) = (x_1(p, m), x_2(p, m), \dots, x_n(p, m)) $$
其中，$x_i(p, m)$ 就是消费者在价格为 $p$、收入为 $m$ 的情况下对商品 $i$ 的需求量。
## 瓦尔拉斯需求函数的推导
推导瓦尔拉斯需求函数通常使用{{{拉格朗日乘数法}}} (Lagrangian Multiplier Method)。我们构建如下的拉格朗日函数 $\mathcal{L}$：
$$ \mathcal{L}(x_1, \dots, x_n, \lambda) = U(x_1, \dots, x_n) + \lambda \left(m - \sum_{i=1}^{n} p_i x_i \right) $$
其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数，它在经济学上可以被解释为收入的{{{边际效用}}}。
假设效用函数是可微的，最优解的{{{一阶条件}}} (First-Order Conditions, FOCs) 是：
1. 对于每一种商品 $i=1, \dots, n$： $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = \frac{\partial U(x)}{\partial x_i} - \lambda p_i = 0 \quad \Rightarrow \quad MU_i = \lambda p_i $$ 这里，$MU_i = \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}$ 是商品 $i$ 的{{{边际效用}}}。这个条件表明，在最优选择点，消费者用于购买每一种商品的最后一单位货币所带来的边际效用是相等的。
2. 预算约束： $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = m - \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = m $$ 这个条件表明，如果消费者的偏好是局部非饱和的（即多多益善），那么他会花光所有的收入。
将任意两种商品（例如商品 $i$ 和商品 $j$）的一阶条件相除，可以得到一个重要的关系：
$$ \frac{MU_i}{MU_j} = \frac{p_i}{p_j} $$
等式的左边是消费者的{{{边际替代率}}} (Marginal Rate of Substitution, MRS)，它表示在维持效用不变的情况下，消费者愿意用多少单位的商品 $j$ 来交换一单位的商品 $i$。等式的右边是两种商品的相对价格。因此，最优选择的条件是：主观的边际替代率等于客观的市场价格比率。
通过求解上述由 $n+1$ 个方程组成的方程组，我们就可以将每个 $x_i$ 表示为价格 $p$ 和收入 $m$ 的函数，从而得到瓦尔拉斯需求函数。
### 示例：{{{科布-道格拉斯效用函数}}}
假设一个消费者的效用函数为{{{Cobb-Douglas utility function}}}形式：$U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$，其中 $a > 0, b > 0$。
该消费者的效用最大化问题为： $$ \max_{x_1, x_2} x_1^a x_2^b \quad \text{s.t.} \quad p_1x_1 + p_2x_2 = m $$
根据 $MRS = \frac{p_1}{p_2}$ 的条件： $$ MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{a x_1^{a-1} x_2^b}{b x_1^a x_2^{b-1}} = \frac{a x_2}{b x_1} $$
因此，我们有 $\frac{a x_2}{b x_1} = \frac{p_1}{p_2}$，整理后得到 $a p_2 x_2 = b p_1 x_1$。
将这个关系代入预算约束 $p_1x_1 + p_2x_2 = m$ 中： * 用 $p_2x_2 = \frac{b}{a}p_1x_1$ 替换 $p_2x_2$，得到 $p_1x_1 + \frac{b}{a}p_1x_1 = m$，解得： $$ x_1(p_1, p_2, m) = \left(\frac{a}{a+b}\right) \frac{m}{p_1} $$ * 同理，可以解得： $$ x_2(p_1, p_2, m) = \left(\frac{b}{a+b}\right) \frac{m}{p_2} $$
这两个函数就是该消费者在科布-道格拉斯偏好下的瓦尔拉斯需求函数。它表明，消费者会将固定比例的收入（分别为 $\frac{a}{a+b}$ 和 $\frac{b}{a+b}$）用于购买这两种商品。
## 瓦尔拉斯需求函数的重要性质
1. 价格和收入的零次齐次性 (Homogeneity of Degree Zero)： 对于任意正常数 $t > 0$，有 $x_i(tp, tm) = x_i(p, m)$。这意味着，如果所有商品的价格和消费者的收入都按相同的比例 $t$ 变化（例如，所有价格和收入都翻倍），那么消费者的最优商品需求量将保持不变。这是因为预算约束线 $t p_1 x_1 + \dots + t p_n x_n = t m$ 与原预算约束线 $p_1 x_1 + \dots + p_n x_n = m$ 是完全相同的。这个性质在经济学上被称为“没有{{{货币幻觉}}} (Absence of Money Illusion)”。
2. {{{瓦尔拉斯定律}}} (Walras's Law)： 如果消费者的偏好是局部非饱和的，那么瓦尔拉斯需求函数将满足预算约束的等式形式：$\sum_{i=1}^{n} p_i x_i(p, m) = m$。这意味着理性的消费者会用尽其全部收入，不会有任何剩余。
3. 凸性/唯一性 (Convexity/Uniqueness)： 如果效用函数是严格{{{拟凹函数}}} (strictly quasi-concave)，这意味着消费者的偏好是严格凸的（即无差异曲线严格凸向原点），那么对于任意给定的价格和收入，效用最大化的解是唯一的。因此，最优选择 $x^*(p, m)$ 是一个单值函数。
## 相关概念的联系
* {{{间接效用函数}}} (Indirect Utility Function)：将瓦尔拉斯需求函数 $x^*(p, m)$ 代回到原始的效用函数 $U(x)$ 中，我们得到的函数被称为间接效用函数 $V(p, m) = U(x^*(p, m))$。它表示在给定的价格和收入下，消费者所能达到的最大效用水平。
* {{{希克斯需求函数}}} (Hicksian Demand Function)：与瓦尔拉斯需求函数相对的是希克斯需求函数，也称为补偿需求函数。它来自于消费者的{{{支出最小化问题}}} (Expenditure Minimization Problem)，即在达到某一给定效用水平的前提下，消费者所需的最小支出。希克斯需求函数是价格和效用水平的函数，记为 $h(p, u)$。
* {{{斯勒茨基方程}}} (Slutsky Equation)：该方程建立了瓦尔拉斯需求函数和希克斯需求函数之间的联系。它将价格变动对瓦尔拉斯需求（总效应）分解为替代效应（由希克斯需求函数衡量）和收入效应。
在经济学理论中，瓦尔拉斯需求函数是构建市场需求曲线、进行{{{一般均衡}}}分析以及福利经济学评估的基础。