# 瓦尔拉斯定律 (Walras's Law)
瓦尔拉斯定律 (Walras's Law) 是{{{一般均衡理论}}} (General Equilibrium Theory) 的一项基本原则，由法国经济学家[[莱昂·瓦尔拉斯]] (Léon Walras) 提出。该定律指出，在任何一组给定的{{{价格}}}下，整个经济中所有市场上的{{{超额需求}}} (Excess Demand) 的总价值必定为零。这一定律并非一个行为假设，而是源于所有经济参与者{{{预算约束}}} (Budget Constraint) 的逻辑推论。
简而言之，瓦尔拉斯定律意味着，在经济体中，一部分人想要购买的商品总价值（超出他们愿意出售的）必须等于另一部分人想要出售的商品总价值（超出他们愿意购买的）。这一定律对于理解市场如何相互关联以及{{{一般均衡}}}如何形成至关重要。
## 数学表述与推导
为了精确理解瓦尔拉斯定律，我们首先建立一个简单的经济模型。
假设一个经济体中有 $n$ 种不同的{{{商品}}}（或服务），其价格向量为 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_n)$，其中 $p_i > 0$ 是商品 $i$ 的市场价格。
对于每一种商品 $i$，我们定义： * $x_i^d(\mathbf{p})$ 为在价格向量 $\mathbf{p}$ 下，市场上对商品 $i$ 的总需求量。 * $x_i^s(\mathbf{p})$ 为在价格向量 $\mathbf{p}$ 下，市场上对商品 $i$ 的总供给量。
于是，商品 $i$ 的 {{{超额需求}}} (Excess Demand) 函数 $E_i(\mathbf{p})$ 可以表示为： $$ E_i(\mathbf{p}) = x_i^d(\mathbf{p}) - x_i^s(\mathbf{p}) $$ 如果 $E_i(\mathbf{p}) > 0$，则市场存在超额需求（供不应求）；如果 $E_i(\mathbf{p}) < 0$，则市场存在超额供给（供过于求）；如果 $E_i(\mathbf{p}) = 0$，则该市场达到{{{均衡}}}，即{{{市场出清}}} (Market Clearing)。
瓦尔拉斯定律 的数学表达式为： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i E_i(\mathbf{p}) = 0 $$ $$ \sum_{i=1}^{n} p_i [x_i^d(\mathbf{p}) - x_i^s(\mathbf{p})] = 0 $$
推导过程：
瓦尔拉斯定律的根源在于个体经济行为者的预算约束。在一个{{{纯交换经济}}} (Pure Exchange Economy) 中，假设有 $m$ 个消费者（或家庭），用 $j = 1, 2, \dots, m$ 表示。
* 每个消费者 $j$ 都拥有一份初始的商品{{{禀赋}}} (Endowment)，表示为向量 $\boldsymbol{\omega}_j = (\omega_{1j}, \omega_{2j}, \dots, \omega_{nj})$，其中 $\omega_{ij}$ 是消费者 $j$ 初始持有的商品 $i$ 的数量。这份禀赋的市值为 $\sum_{i=1}^{n} p_i \omega_{ij}$，这构成了该消费者的总收入。 * 每个消费者 $j$ 会选择一个他最偏好的消费组合 $\mathbf{x}_j^d = (x_{1j}^d, x_{2j}^d, \dots, x_{nj}^d)$，其中 $x_{ij}^d$ 是消费者 $j$ 需求（或消费）的商品 $i$ 的数量。
消费者的 {{{预算约束}}} 要求其计划支出的总价值不能超过其禀赋的总价值。假设消费者是理性的并且其偏好是{{{非饱和}}}的 (non-satiated)，他们会花掉所有的收入。因此，对于每一个消费者 $j$，其预算约束等式成立： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i x_{ij}^d = \sum_{i=1}^{n} p_i \omega_{ij} $$ 我们可以将其改写为： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i (x_{ij}^d - \omega_{ij}) = 0 $$ 这个式子表明，对于每个消费者而言，其净购买商品的总价值必须为零。
现在，我们将经济中所有 $m$ 个消费者的预算约束加总： $$ \sum_{j=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i (x_{ij}^d - \omega_{ij}) \right) = \sum_{j=1}^{m} 0 = 0 $$ 通过交换求和顺序，我们得到： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i \left( \sum_{j=1}^{m} x_{ij}^d - \sum_{j=1}^{m} \omega_{ij} \right) = 0 $$ 在这个式子中： * $\sum_{j=1}^{m} x_{ij}^d$ 是所有消费者对商品 $i$ 的需求总和，即总需求 $x_i^d(\mathbf{p})$。 * $\sum_{j=1}^{m} \omega_{ij}$ 是所有消费者持有的商品 $i$ 的初始禀赋总和，即经济中的总供给 $x_i^s(\mathbf{p})$。
代入这些定义，我们就得到了瓦尔拉斯定律的最终形式： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i^d(\mathbf{p}) - x_i^s(\mathbf{p})) = 0 \quad \text{即} \quad \sum_{i=1}^{n} p_i E_i(\mathbf{p}) = 0 $$ 值得强调的是，这个定律的成立与价格是否为{{{均衡价格}}}无关。它在任何一套正价格体系下都成立。
## 核心内涵与推论
瓦尔拉斯定律具有几个非常重要的理论推论。
1. n-1 个市场出清推论
这是瓦尔拉斯定律最著名的推论。在一个有 $n$ 个市场的经济中，如果 $n-1$ 个市场同时达到了均衡（即它们的超额需求为零），那么第 $n$ 个市场也必定处于均衡状态。
证明： 根据瓦尔拉斯定律： $$ p_1 E_1 + p_2 E_2 + \dots + p_{n-1} E_{n-1} + p_n E_n = 0 $$ 如果前 $n-1$ 个市场出清，则 $E_1 = E_2 = \dots = E_{n-1} = 0$。代入上式： $$ p_1(0) + p_2(0) + \dots + p_{n-1}(0) + p_n E_n = 0 $$ $$ p_n E_n = 0 $$ 由于我们假设商品价格 $p_n$ 是正数 ($p_n > 0$)，因此必然有： $$ E_n = 0 $$ 这意味着第 $n$ 个市场也必须出清。
这个推论极大地简化了{{{一般均衡分析}}}。在寻找使所有市场同时出清的{{{均衡价格}}}向量时，我们只需要关注 $n-1$ 个市场的均衡条件即可。
2. 价格的相对性与{{{计价物}}} (Numéraire)
瓦尔拉斯定律揭示了在一般均衡模型中，只有{{{相对价格}}} (Relative Prices) 才是重要的，而绝对价格水平是无关紧要的。
如果一组价格向量 $\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$ 能够使某个市场出清，那么将所有价格乘以一个正常数 $\lambda > 0$，得到新的价格向量 $\lambda\mathbf{p} = (\lambda p_1, \dots, \lambda p_n)$，市场状态不会改变。这是因为在标准的经济模型中，需求和供给函数都是价格的零次齐次函数，即 $x_i^d(\lambda\mathbf{p}) = x_i^d(\mathbf{p})$。直观上，如果所有商品的价格和所有人的收入都翻倍，人们的购买决策不会发生任何实际变化。
因此，我们可以任意选择一种商品作为 计价物 (Numéraire)，并将其价格固定为1，然后求解其他 $n-1$ 种商品的{{{相对价格}}}。例如，若选商品1为计价物，我们设定 $p_1=1$，然后去求解 $p_2, \dots, p_n$ 的值。这使得求解均衡价格的问题从确定 $n$ 个绝对价格简化为确定 $n-1$ 个相对价格。
## 强弱形式的瓦尔拉斯定律
在学术讨论中，有时会区分瓦尔拉斯定律的强弱形式。 * 弱形式 (Weak Form): 这是我们上面推导的版本，它指出只要每个经济主体的支出等于其收入（预算约束成立），那么市场上总超额需求的价值就等于零。这是一个基于会计恒等式的逻辑必然。 * 强形式 (Strong Form): 该形式更进一步，它基于消费者的{{{非饱和性偏好}}} (Non-satiation) 假设，即消费者总是“多多益善”。在这种假设下，理性的消费者一定会花光其全部预算，而不会将一部分收入闲置。因此，预算约束始终以等式形式被满足。
在大多数标准的{{{微观经济学}}}模型中，非饱和性是一个基本假设，因此强弱形式的界限通常是模糊的，两者都可以适用。
## 在经济学中的应用与重要性
瓦尔拉斯定律是现代经济学，特别是{{{阿罗-德布鲁模型}}} (Arrow-Debreu Model) 的理论基石。它不仅是证明{{{一般均衡}}}存在性的关键环节，也为宏观和微观经济分析提供了底层逻辑。
* 逻辑一致性: 该定律为经济模型提供了一个内置的逻辑一致性检验。任何声称在某组价格下所有市场都存在超额需求（或都存在超额供给）的理论都是不成立的。 * 宏观经济关联: 在宏观经济模型中，比如一个包含产品市场、劳动力市场和金融资产（如债券）市场的模型，瓦尔拉斯定律意味着我们不能孤立地分析一个市场。例如，如果产品市场和劳动力市场都实现了均衡，那么根据定律，债券市场也必然处于均衡状态。这为分析政府预算赤字、储蓄与投资等宏观问题提供了重要的理论框架。