# GARCH模型 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
广义自回归条件异方差模型 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)，简称 GARCH模型，是{{{金融计量经济学}}}中用于分析和预测{{{时间序列}}}数据{{{波动率}}} (volatility) 的一种核心统计模型。该模型由经济学家 Tim Bollerslev 在1986年提出，作为其导师 Robert Engle 在1982年提出的{{{ARCH模型}}}的推广。GARCH模型及其变体是现代{{{风险管理}}}、{{{资产定价}}}和{{{投资组合优化}}}等领域不可或缺的工具。
GARCH模型的核心思想是，一个时间序列（如金融资产的收益率）的{{{方差}}}或波动率在不同时间点上是变化的（即存在{{{异方差性}}}），并且当前的波动率与过去的波动率以及过去的市场“冲击”（shocks）相关。这与许多经典计量模型（如{{{ARMA模型}}}）所假设的{{{同方差性}}}（即方差恒定）形成了鲜明对比。
该模型尤其擅长捕捉金融时间序列中一个广为人知的现象——{{{波动率聚集}}} (Volatility Clustering)。这意味着，"大"的变化（高波动）倾向于聚集在一起，而"小"的变化（低波动）也倾向于聚集在一起，形成高波动时期和低波动时期的交替。
## 从ARCH到GARCH：模型的演进
要理解GARCH模型，必须首先了解其前身——ARCH模型 (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)。
### ARCH模型
假设我们有一个金融资产的{{{收益率}}}序列 $r_t$。我们可以将其表示为： $$ r_t = \mu_t + \epsilon_t $$ 其中 $\mu_t$ 是在时间 $t$ 的条件期望收益（可以是常数，也可以是ARMA模型等），而 $\epsilon_t$ 是{{{残差项}}}或“冲击项”，代表了在时间 $t$ 的未预期收益。
ARCH模型的核心在于对残差项 $\epsilon_t$ 的结构进行建模。具体地： $$ \epsilon_t = \sigma_t z_t $$ 其中 $z_t$ 是一个独立的、服从标准正态分布（或其它均值为0、方差为1的分布）的{{{白噪声}}}过程，而 $\sigma_t$ 是在时间 $t$ 的{{{条件标准差}}}（即波动率）。
Engle提出的 ARCH(q)模型 假设，当前的{{{条件方差}}} $\sigma_t^2$ 是过去 $q$ 期残差平方的线性函数： $$ \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 $$ * $\sigma_t^2$：在时间 $t$ 的条件方差，即 $Var(r_t | \mathcal{F}_{t-1})$，其中 $\mathcal{F}_{t-1}$ 代表截至 $t-1$ 时刻的所有可用信息。 * $\omega$：一个大于零的常数项。 * $\epsilon_{t-i}^2$：过去时期的残差平方，代表了过去的市场冲击的大小。 * $\alpha_i$：非负系数，衡量了过去的冲击对当前方差的影响程度。
ARCH模型的直观理解是：如果上一期（或过去几期）的市场冲击（$|\epsilon_{t-1}|$）很大，那么今天的条件方差 $\sigma_t^2$ 也会变大，从而导致今天的收益率 $r_t$ 更有可能出现大幅波动。这就成功地捕捉了波动率聚集的现象。
ARCH模型的局限性：在实践中，为了充分捕捉波动率的长期持续性，ARCH模型往往需要很长的阶数 $q$，这会导致模型中有过多的参数需要估计，容易出现参数不显著或违反非负约束的问题。
### GARCH模型的引入
为了解决ARCH模型需要长阶数的问题，Bollerslev提出了GARCH模型。GARCH模型在ARCH模型的基础上，引入了条件方差自身的滞后项。
一个标准的 GARCH(p, q) 模型 的条件方差方程如下： $$ \sigma_t^2 = \omega + \underbrace{\sum_{i=1}^{q} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2}_{\text{ARCH 项}} + \underbrace{\sum_{j=1}^{p} \beta_j \sigma_{t-j}^2}_{\text{GARCH 项}} $$ * ARCH项 ($\sum_{i=1}^{q} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2$)：与ARCH模型相同，衡量了过去市场冲击对当前波动率的影响。 * GARCH项 ($\sum_{j=1}^{p} \beta_j \sigma_{t-j}^2$)：这是GARCH模型的核心创新。它表示当前的条件方差也受到过去 $p$ 期条件方差自身的影响。
在金融实践中，最常用的是 GARCH(1,1) 模型，其形式简洁且有效： $$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 $$ 参数解释： * $\omega$：常数项，可以看作是长期平均方差的一个基准。 * $\alpha_1$：ARCH系数，衡量了上一期市场冲击 $\epsilon_{t-1}^2$ 对本期方差 $\sigma_t^2$ 的影响。$\alpha_1$ 越大，表示波动率对市场消息的反应越快。 * $\beta_1$：GARCH系数，衡量了上一期方差 $\sigma_{t-1}^2$ 对本期方差 $\sigma_t^2$ 的影响。$\beta_1$ 越大，表示波动率的持续性越强。
参数约束：为保证条件方差 $\sigma_t^2$ 始终为正，需要满足 $\omega > 0, \alpha_1 \ge 0, \beta_1 \ge 0$。为了保证模型的{{{协方差平稳性}}}（即波动率不会无限发散），还需要满足 $\alpha_1 + \beta_1 < 1$。
## GARCH(1,1)模型的主要特性
1. 波动率持续性 (Volatility Persistence)： 参数之和 $\alpha_1 + \beta_1$ 衡量了波动率的持续性。这个值越接近1，表明过去的冲击和波动对未来波动率的影响衰减得越慢，即波动率具有很强的记忆性或持续性。这是金融市场的一个典型特征。
2. 均值回归 (Mean Reversion)： 只要满足 $\alpha_1 + \beta_1 < 1$，GARCH模型的条件方差就会向其长期均值（或称无条件方差）回归。这个长期均值方差 $E(\sigma^2)$ 可以计算为： $$ \bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha_1 - \beta_1} $$ 这意味着，尽管短期内波动率会因市场冲击而上下波动，但长期来看，它总有一种回到其平均水平的趋势。
3. 对冲击的对称响应 (Symmetric Response)： 标准GARCH模型的一个重要局限是它的对称性。由于模型中使用的是残差的平方项 $\epsilon_{t-i}^2$，因此它无法区分正冲击（如股价意外上涨）和负冲击（如股价意外下跌）对波动率的影响。一个 $-2\%$ 的冲击和一个 $+2\%$ 的冲击对未来波动率的预测是完全相同的。然而，在现实金融市场中，普遍存在{{{杠杆效应}}} (Leverage Effect)，即负面消息（坏消息）往往比同等大小的正面消息（好消息）更能引发波动率的上升。
## GARCH模型的扩展
为了克服标准GARCH模型的对称性限制并捕捉更复杂的波动率动态，学者们提出了多种GARCH模型的扩展形式。
* {{{EGARCH模型}}} (Exponential GARCH)： 由Daniel Nelson (1991) 提出，EGARCH模型对条件方差的对数进行建模，这天然地保证了方差为正，无需对参数施加非负约束。更重要的是，它通过引入一个非对称项来捕捉杠杆效应。
* {{{GJR-GARCH模型}}} (Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH)： 由Glosten, Jagannathan和Runkle (1993) 提出，该模型在标准GARCH方程中加入一个哑变量（indicator variable），当过去的冲击为负时，该变量取值为1，否则为0。这使得负冲击可以有一个额外的、更大的影响系数，从而直接地对杠杆效应进行建模。其GJR-GARCH(1,1) 方程为： $$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \gamma \epsilon_{t-1}^2 I_{t-1} + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 $$ 其中 $I_{t-1}$ 是一个示性函数，当 $\epsilon_{t-1} < 0$ 时 $I_{t-1}=1$，否则为0。如果估计出的系数 $\gamma > 0$，则表明存在杠杆效应。
## 模型的估计与应用
* 估计方法：GARCH模型及其变体的参数通常采用{{{最大似然估计}}}（Maximum Likelihood Estimation, {{{MLE}}}) 的方法进行估计。这需要假设标准化残差 $z_t$ 的分布（如{{{正态分布}}}、{{{学生t分布}}}等），然后找到一组参数 $(\omega, \alpha_i, \beta_j)$，使得在该参数下观测到现有数据样本的概率最大。
* 主要应用： 1. {{{风险管理}}}：GARCH模型是计算{{{风险价值 (VaR)}}}和{{{预期短缺 (ES)}}}等风险度量的关键工具。通过对未来波动率的预测，金融机构可以更准确地评估其投资组合可能面临的潜在损失。 2. {{{期权定价}}}：经典的{{{布莱克-斯科尔斯模型}}}假设波动率恒定，这与现实不符。将GARCH模型的波动率预测作为输入，可以得到更符合市场实际的期权价格。 3. {{{投资组合管理}}}：通过多变量GARCH模型 (Multivariate GARCH)，可以对不同资产之间的{{{协方差}}}和{{{相关系数}}}的动态变化进行建模，为资产配置和对冲策略提供依据。