# 支出函数 (Expenditure Function)
支出函数 (Expenditure Function) 是{{{微观经济学}}}中{{{消费者理论}}}的一个核心概念。它衡量的是在给定的一组商品{{{价格}}}下，为了达到一个特定的{{{效用}}}水平，消费者所必须花费的最小货币支出。
支出函数的本质是一个{{{优化问题}}}的解，即所谓的支出最小化问题 (Expenditure Minimization Problem, EMP)。具体来说，消费者试图在满足其效用不低于某一特定水平（即{{{约束条件}}})的前提下，选择一篮子消费品，使其总支出最小。
## 数学定义
假设一个消费者的{{{偏好}}}可以用一个{{{效用函数}}} $u(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 来表示，其中 $x_i$ 是商品 $i$ 的消费量。市场中各商品的价格为向量 $p = (p_1, p_2, \dots, p_n)$。我们想要计算达到效用水平 $\bar{u}$ 所需的最小支出。
支出函数 $e(p, \bar{u})$ 定义为：
$$ e(p, \bar{u}) = \min_{x_1, \dots, x_n} \sum_{i=1}^{n} p_i x_i $$
其约束条件为：
$$ u(x_1, \dots, x_n) \geq \bar{u} $$
函数的自变量是价格向量 $p$ 和目标效用水平 $\bar{u}$，函数值是实现该效用所需的最小金额。解决这个最小化问题所得到的最优商品组合 $(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*)$ 被称为{{{希克斯需求函数}}} (Hicksian Demand Function)，记作 $h(p, \bar{u})$。
## 与效用最大化的对偶关系
支出最小化问题 (EMP) 与经典的{{{效用最大化问题}}} (Utility Maximization Problem, UMP) 构成了经济学中一个重要的{{{对偶关系 (Duality)}}}。
* 效用最大化 (UMP)：在给定的收入（预算）$m$ 和价格 $p$下，最大化效用。其解是{{{马歇尔需求函数}}} $x(p, m)$ 和{{{间接效用函数}}} $v(p, m)$。 * 支出最小化 (EMP)：在给定的目标效用 $\bar{u}$ 和价格 $p$下，最小化支出。其解是{{{希克斯需求函数}}} $h(p, \bar{u})$ 和支出函数 $e(p, \bar{u})$。
这两个问题如同一个硬币的两面。在相同的价格和偏好下，通过最大化效用得到的最大效用值，恰好是最小化支出问题中的目标效用；而最小化支出得到的金额，恰好是最大化效用问题中的预算。这种关系可以用以下等式表示：
1. $e(p, v(p, m)) = m$：为达到在价格 $p$ 和收入 $m$ 下所能实现的最大效用 $v(p, m)$ 所需的最小支出，正好是收入 $m$ 本身。 2. $v(p, e(p, \bar{u})) = \bar{u}$：用达到效用 $\bar{u}$ 所需的最小支出 $e(p, \bar{u})$ 作为收入，所能实现的最大效用，正好是目标效用 $\bar{u}$ 本身。
因此，支出函数和间接效用函数在功能上是互为反函数。
## 支出函数的性质
支出函数具有几个非常重要且有用的数学性质：
1. 对价格 $p$ 是非递减的 (Non-decreasing in $p$)：如果任何一种商品的价格 $p_i$ 上涨（其他条件不变），要达到相同的效用水平，所需的最小支出不会减少。即 $\frac{\partial e}{\partial p_i} \geq 0$。
2. 对价格 $p$ 是一次齐次的 (Homogeneous of degree 1 in $p$)：如果所有商品的价格都同比例增长 $\lambda$ 倍（其中 $\lambda > 0$），那么要达到相同的效用水平，所需的最小支出也恰好增长 $\lambda$ 倍。 $$ e(\lambda p, \bar{u}) = \lambda e(p, \bar{u}) $$ 直观上，如果所有价格和你的总支出都翻倍，你正好可以购买和以前完全相同的商品组合，从而获得相同的效用。
3. 对价格 $p$ 是凹函数 (Concave in $p$)：这是支出函数最精妙的性质之一。它反映了当某商品价格上涨时，理性的消费者会通过调整消费组合（即用相对便宜的商品替代该商品）来减缓支出增长的趋势。如果消费者不作任何调整，支出将随价格线性增长；但由于存在{{{替代效应}}}，实际支出的增长速度会更慢，这便体现在函数的凹性上。
4. 对效用 $\bar{u}$ 是严格递增的 (Strictly increasing in $\bar{u}$)：要达到更高的效用水平，必须花费更多的钱（假设所有价格为正）。即 $\frac{\partial e}{\partial \bar{u}} > 0$。这个偏导数本身也具有重要意义，它等于效用函数在支出最小化问题中的{{{拉格朗日乘数法}}}中的乘子 $\lambda$，代表了增加一单位效用所需的{{{边际成本}}}。
5. 连续性 (Continuous)：支出函数对于价格 $p$ 和效用 $\bar{u}$ 都是连续的。
## 谢泼德引理 (Shephard's Lemma)
谢泼德引理是连接支出函数和希克斯需求函数的重要桥梁，它是{{{包络定理}}}在消费者理论中的一个直接应用。
该引理指出，支出函数对某商品价格 $p_i$ 的偏导数，等于为了达到给定效用水平而对该商品的最优需求量，即希克斯需求量 $h_i(p, \bar{u})$。
$$ \frac{\partial e(p, \bar{u})}{\partial p_i} = h_i(p, \bar{u}) $$
直观理解：假设商品 $i$ 的价格上涨了极小的一个单位（例如 1 美分）。为了维持原有的效用水平不变，你需要多少额外的钱来进行"补偿"？答案是你需要恰好能够支付你正在消费的每一单位商品 $i$ 所需的额外 1 美分。因此，总的额外补偿额就是 $1 \text{ 美分} \times h_i(p, \bar{u})$。这正是偏导数的含义。
## 应用
支出函数及其性质在经济学中有着广泛的应用：
* 推导补偿需求曲线：通过谢泼德引理，只要我们知道支出函数的形式，就可以通过求导直接得到{{{补偿需求曲线}}}（即希克斯需求曲线）。 * 福利变化的度量：支出函数是衡量价格变化对消费者福利影响的理论基础。经济学家使用{{{补偿变化}}} (Compensating Variation, CV) 和 {{{等价变化}}} (Equivalent Variation, EV) 来量化福利影响，而这两个指标都是直接用支出函数定义的。 * 补偿变化 (CV)：价格从 $p^0$ 变为 $p^1$ 后，为使消费者回到初始效用水平 $u^0$ 所需的货币补偿。 $$ CV = e(p^1, u^0) - e(p^0, u^0) $$ * 等价变化 (EV)：在价格变化前，从消费者那里拿走多少钱，其福利损失等同于价格从 $p^0$ 变为 $p^1$ 所带来的影响。 $$ EV = e(p^1, u^1) - e(p^0, u^1) $$ * 构建斯拉茨基方程：支出函数是推导{{{斯拉茨基方程}}}的关键，该方程将价格变化对{{{马歇尔需求}}}的影响分解为{{{替代效应}}}和{{{收入效应}}}。
## 示例：柯布-道格拉斯效用函数
让我们推导一个具体的支出函数。假设消费者的效用函数是{{{柯布-道格拉斯效用函数}}}： $$ u(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^{1-\alpha} $$ 其中 $0 < \alpha < 1$。我们的目标是求解： $$ \min_{x_1,x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2 \quad \text{s.t.} \quad x_1^\alpha x_2^{1-\alpha} \geq \bar{u} $$ 利用{{{拉格朗日乘数法}}}，或者更直接地利用最优条件（{{{边际替代率}}}等于价格比），我们得到： $$ MRS_{1,2} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = \frac{\alpha x_1^{\alpha-1} x_2^{1-\alpha}}{(1-\alpha) x_1^\alpha x_2^{-\alpha}} = \frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{x_2}{x_1} = \frac{p_1}{p_2} $$ 由此可得： $$ p_2 x_2 = \frac{1-\alpha}{\alpha} p_1 x_1 $$ 将此关系代入支出表达式 $e = p_1 x_1 + p_2 x_2$ 中，可以分别用 $e$ 来表示 $p_1 x_1$ 和 $p_2 x_2$： $$ e = p_1 x_1 + \frac{1-\alpha}{\alpha} p_1 x_1 = \frac{1}{\alpha} p_1 x_1 \implies p_1 x_1 = \alpha e $$ $$ e = \frac{\alpha}{1-\alpha} p_2 x_2 + p_2 x_2 = \frac{1}{1-\alpha} p_2 x_2 \implies p_2 x_2 = (1-\alpha) e $$ 这表明，在柯布-道格拉斯偏好下，消费者在每种商品上的支出占总支出的比例是固定的。从上式解出 $x_1$ 和 $x_2$： $$ x_1^* = \frac{\alpha e}{p_1} \quad , \quad x_2^* = \frac{(1-\alpha) e}{p_2} $$ 注意这里的 $e$ 还是未知的最小支出。我们将这对最优解代入效用约束条件中： $$ \bar{u} = \left(\frac{\alpha e}{p_1}\right)^\alpha \left(\frac{(1-\alpha) e}{p_2}\right)^{1-\alpha} $$ 整理此式以解出 $e$： $$ \bar{u} = e \cdot \left(\frac{\alpha}{p_1}\right)^\alpha \left(\frac{1-\alpha}{p_2}\right)^{1-\alpha} $$ 最终得到支出函数： $$ e(p_1, p_2, \bar{u}) = \bar{u} \left(\frac{p_1}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{p_2}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha} $$ 我们可以验证这个函数是否满足之前提到的性质，例如对价格的一次齐次性，以及通过谢泼德引理求导得到希克斯需求函数。