# 凹函数 (Concave Function)
凹函数 (Concave Function) 是{{{数学}}}分析、{{{最优化理论}}}和{{{经济学}}}中的一个基本概念。一个实值{{{函数}}} $f$ 如果其定义域为{{{凸集}}}，并且对于其定义域中的任意两点 $x_1$ 和 $x_2$，连接 $(x_1, f(x_1))$ 和 $(x_2, f(x_2))$ 的线段上的任意一点，都位于函数图像的下方（或正好在图像上），那么该函数就被称为凹函数。
凹函数在数学上是对“向上弯曲”或“递减的增长率”这一直观概念的严谨刻画。它与{{{凸函数}}} (Convex Function) 的概念正好相反。
## 形式化定义 (Formal Definition)
设函数 $f$ 的定义域 $D$ 是一个{{{凸集}}}（例如，一个区间或整个{{{实数}}}轴 $\mathbb{R}$）。如果对于定义域 $D$ 中的任意两点 $x_1, x_2$，以及对于任意 $\lambda \in [0, 1]$，恒有如下不等式成立：
$$ f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \ge \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) $$
那么，函数 $f$ 就被称为一个 凹函数 。
* 严格凹函数 (Strictly Concave Function)：如果对于任意不同的两点 $x_1 \neq x_2$ 和任意 $\lambda \in (0, 1)$，上述不等式中的大于等于号（$\ge$）变为严格大于号（$>$），即： $$ f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) > \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) $$ 则称该函数为 严格凹函数。
## 几何直观 (Geometric Intuition)
凹函数的定义具有非常清晰的几何意义。表达式 $\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$ 表示的是连接 $x_1$ 和 $x_2$ 的线段上的任意一点。而 $\lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$ 则表示连接函数图像上两点 $(x_1, f(x_1))$ 和 $(x_2, f(x_2))$ 的弦（chord）上的点。
因此，凹函数的定义意味着，连接函数图像上任意两点的弦，必定位于这两点之间的函数图像下方（或与之重合）。对于严格凹函数，该弦（除了端点）必定完全位于函数图像的下方。
## 与凸函数的关系
凹函数与凸函数之间存在一个简单而重要的关系： 一个函数 $f$ 是凹函数，当且仅当其相反数 $-f$ 是一个{{{凸函数}}}。这个性质非常有用，因为关于凸函数的许多理论和结论都可以通过取负号直接应用到凹函数上。
## 凹函数的判定准则 (Tests for Concavity)
在实践中，我们通常使用{{{导数}}}来判断一个函数是否为凹函数。
#### 一. 一阶导数准则 (First-Order Condition)
如果函数 $f$ 在其定义域上是可微的，那么 $f$ 是凹函数当且仅当对于其定义域中的任意两点 $x$ 和 $x_0$，下式成立：
$$ f(x) \le f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$
这个不等式的几何意义是：函数 $f$ 的图像总是位于其任意一点的切线的下方（或与切线重合）。
#### 二. 二阶导数准则 (Second-Order Condition)
如果函数 $f$ 在其定义域上是二阶可微的，那么判定凹性变得非常简单： * $f$ 是 凹函数 当且仅当其{{{二阶导数}}}非正，即对于定义域中的所有 $x$，都有 $f''(x) \le 0$。 * 如果对于定义域中的所有 $x$，都有 $f''(x) < 0$，那么 $f$ 是 严格凹函数。（反之不一定成立，例如 $f(x)=-x^4$ 是严格凹函数，但 $f''(0)=0$）。
这是判断单变量函数凹凸性最常用、最便捷的方法。
#### 三. 多变量函数的凹性 (For Multivariable Functions)
对于定义在凸集 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的多变量函数 $f: D \to \mathbb{R}$，其凹性判定准则可以推广：
1. 一阶条件：如果 $f$ 可微，则 $f$ 是凹函数当且仅当对于所有 $\mathbf{x}, \mathbf{x}_0 \in D$： $$ f(\mathbf{x}) \le f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) $$ 其中 $\nabla f(\mathbf{x}_0)$ 是函数在 $\mathbf{x}_0$ 点的{{{梯度}}}。
2. 二阶条件：如果 $f$ 二阶可微，则 $f$ 是凹函数当且仅当其{{{海森矩阵}}} (Hessian Matrix) $H_f(\mathbf{x})$ 在定义域 $D$ 内是{{{负半定}}} (Negative Semidefinite) 的。如果海森矩阵处处是{{{负定}}} (Negative Definite) 的，那么 $f$ 是严格凹函数。
## 保持凹性的运算 (Operations that Preserve Concavity)
1. 求和：如果 $f_1, f_2, \dots, f_k$ 都是凹函数，那么它们的和 $f_1 + f_2 + \dots + f_k$ 也是凹函数。 2. 非负数乘积：如果 $f$ 是一个凹函数， $c \ge 0$ 是一个非负常数，那么 $c \cdot f$ 也是一个凹函数。 3. 逐点最小值：如果 $f_1$ 和 $f_2$ 是凹函数，那么由 $g(x) = \min\{f_1(x), f_2(x)\}$ 定义的函数 $g$ 也是一个凹函数。
## 重要性与应用
凹函数在许多领域都扮演着至关重要的角色。
* {{{最优化理论}}} (Optimization Theory)：对于凹函数而言，任何一个{{{局部最大值}}}都必然是{{{全局最大值}}}。这一优良性质使得寻找凹函数的最大值变得相对容易。在{{{凸优化}}}中，最大化一个凹函数（或最小化一个凸函数）是核心问题，有众多高效的算法可以解决。
* {{{经济学}}} (Economics)： * {{{效用函数}}} (Utility Function)：在微观经济学中，消费者的效用函数通常被假设为凹函数。这反映了 {{{边际效用递减}}} (Diminishing Marginal Utility) 的原理，即每增加一单位商品的消费，所带来的额外满足感（边际效用）是递减的。 * {{{风险厌恶}}} (Risk Aversion)：一个凹的效用函数直接对应于风险厌恶的经济行为。根据{{{詹森不等式}}} (Jensen's Inequality) for concave functions ($E[f(X)] \le f(E[X])$)，一个拥有凹效用函数的决策者，其财富随机变量的期望效用，会小于或等于其期望财富所对应的效用。这意味着他宁愿选择一份确定的财富，也不愿去冒风险参与一个具有相同{{{期望值}}}的赌博。 * {{{生产函数}}} (Production Function)：凹的生产函数可以用来描述 {{{规模报酬递减}}} (Diminishing Returns to Scale) 的现象。
* {{{统计学}}}与{{{概率论}}} (Statistics and Probability)： * 许多重要的函数都是凹函数，如对数函数 $\ln(x)$ 和熵函数。 * 在{{{最大似然估计}}} (Maximum Likelihood Estimation) 中，经常需要最大化{{{似然函数}}}。通过对其取{{{对数}}}，将其转化为最大化一个对数似然函数。如果该对数似然函数是凹函数，那么找到的解就能保证是全局最优解。
## 示例 (Examples)
1. 平方取负函数： $f(x) = -x^2$。这是一个典型的严格凹函数。 我们可以用二阶导数来验证： $f'(x) = -2x$ $f''(x) = -2$ 由于对于所有的 $x$, $f''(x) = -2 < 0$，所以该函数在整个实数域上是严格凹函数。
2. 平方根函数： $f(x) = \sqrt{x}$，定义域为 $x \ge 0$。 其一阶和二阶导数分别为： $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ 在其定义域 $x > 0$ 内，$f''(x) < 0$ 恒成立。因此，$f(x)=\sqrt{x}$ 是一个严格凹函数。这在经济学中常被用作效用函数或生产函数的形式，因为它体现了边際效用/产出的递减。