# 下水平集 (Lower Level Set)
在{{{数学}}}、{{{最优化理论}}}和{{{经济学}}}中，下水平集 (Lower Level Set) 是理解和分析函数几何特性的一个基本工具。它通过将函数的定义域划分为函数值小于或等于某个特定“水平”的区域，为我们提供了一种将函数可视化的方法，并在理论证明中扮演着至关重要的角色。
给定一个定义在集合 $S$ 上的实值{{{函数}}} $f: S \to \mathbb{R}$，以及一个实数 $\alpha \in \mathbb{R}$，该函数的$\alpha$-下水平集 (alpha-lower level set)，通常记为 $L_\alpha$，定义为：
$$ L_\alpha = \{ x \in S \mid f(x) \le \alpha \} $$
这个定义可以解读为：$L_\alpha$ 是{{{定义域}}} $S$ 中所有点 $x$ 的集合，在这些点上，函数 $f$ 的取值不大于 $\alpha$。
与之相关的概念包括： * 严格下水平集 (Strict Lower Level Set)：$\{ x \in S \mid f(x) < \alpha \}$ * {{{上水平集}}} (Upper Level Set)：$\{ x \in S \mid f(x) \ge \alpha \}$ * {{{水平集}}} (Level Set)：$\{ x \in S \mid f(x) = \alpha \}$
## 直观理解：以地形图为例
理解下水平集最直观的方式是把它想象成一张地形图。
* 把函数的{{{定义域}}} $S$ 想象成地图的平面区域（例如，由经度和纬度定义的区域）。 * 把函数值 $f(x)$ 想象成在地图上每一点 $x$ 处对应的海拔高度。 * 选择一个特定的海拔高度 $\alpha$（例如，100米）。
那么，这个函数的 $\alpha$-下水平集 $L_\alpha$ 就对应于地图上所有海拔高度小于或等于100米的区域。换句话说，如果你将海水平面上升到100米的高度，所有被淹没的陆地（以及海拔恰好为100米的海岸线）共同构成的区域，就是 $L_{100}$。
## 数学示例
示例一：一维抛物线
考虑函数 $f(x) = x^2$，其定义域为所有{{{实数}}} $\mathbb{R}$。
* 如果我们选择 $\alpha = 4$，则下水平集为： $$ L_4 = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 4 \} $$ 解这个{{{不等式}}}得到 $-2 \le x \le 2$。因此，$L_4$ 是闭区间 $[-2, 2]$。
* 如果我们选择 $\alpha = 0$，则下水平集为： $$ L_0 = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 0 \} $$ 唯一满足条件的实数是 $x=0$。因此，$L_0 = \{0\}$。
* 如果我们选择 $\alpha = -1$，则下水平集为： $$ L_{-1} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le -1 \} $$ 由于任何实数的平方都不可能为负，所以没有 $x$ 满足此条件。因此，$L_{-1} = \emptyset$ (空集)。
示例二：二维抛物面
考虑函数 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$，其定义域为二维平面 $\mathbb{R}^2$。这个函数的图形是一个开口向上的抛物面，顶点在原点。
* 如果我们选择 $\alpha = 1$，则下水平集为： $$ L_1 = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 \le 1 \} $$ 这个集合是所有到原点的距离不大于1的点的集合，即一个以原点为中心、半径为1的闭圆盘。
## 在凸性分析中的核心作用
下水平集是连接{{{凸函数}}}与{{{凸集}}}这两个核心概念的桥梁，这在{{{最优化理论}}}中具有极其重要的意义。
定理：一个定义在{{{凸集}}} $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的函数 $f: S \to \mathbb{R}$ 是一个 {{{拟凸函数}}} (Quasiconvex Function)，当且仅当它的所有下水平集 $L_\alpha$ 都是凸集。
由于每一个{{{凸函数}}}都必然是{{{拟凸函数}}}，上述定理导出一个至关重要的推论：
推论：若函数 $f$ 是一个{{{凸函数}}}，那么它的所有下水平集 $L_\alpha = \{ x \in S \mid f(x) \le \alpha \}$ 必定是{{{凸集}}}。
这个属性为我们提供了一个几何视角来判断函数是否为凸函数。如果我们可以找到某个 $\alpha$ 使得其对应的下水平集 $L_\alpha$ 不是一个凸集，那么该函数就一定不是凸函数。例如，一个具有多个局部极小值的函数，其下水平集通常会呈现为多个不相连的区域，因此不是凸集，该函数也就不是凸函数。
证明思路（凸函数 $\Rightarrow$ 下水平集是凸集）： 为了证明一个集合 $L_\alpha$ 是凸集，我们需要证明对于任意两个点 $x, y \in L_\alpha$ 和任意 $\theta \in [0, 1]$，它们的{{{凸组合}}} $\theta x + (1-\theta)y$ 也必定在 $L_\alpha$ 中。
1. 假设 $x, y \in L_\alpha$。根据下水平集的定义，我们有 $f(x) \le \alpha$ 和 $f(y) \le \alpha$。 2. 因为 $f$ 是一个凸函数，根据凸函数的定义，对于任意 $\theta \in [0, 1]$，我们有： $$ f(\theta x + (1-\theta)y) \le \theta f(x) + (1-\theta)f(y) $$ 3. 由于 $f(x) \le \alpha$ 和 $f(y) \le \alpha$，我们可以进一步推导： $$ \theta f(x) + (1-\theta)f(y) \le \theta \alpha + (1-\theta)\alpha = \alpha $$ 4. 结合步骤2和3，我们得到： $$ f(\theta x + (1-\theta)y) \le \alpha $$ 5. 这个结果恰好意味着点 $\theta x + (1-\theta)y$ 满足了进入集合 $L_\alpha$ 的条件，即 $\theta x + (1-\theta)y \in L_\alpha$。
因此，下水平集 $L_\alpha$ 是一个凸集。
## 在最优化理论中的应用
下水平集是分析和求解{{{最优化问题}}}的基础。
1. 定义可行集
在{{{约束优化}}}问题中，可行集通常可以由一个或多个函数的下水平集来表示。一个典型的{{{约束优化}}}问题形式如下： $$ \begin{aligned} \min_{x} \quad & f_0(x) \\ \text{s.t.} \quad & f_i(x) \le 0, \quad i=1, \dots, m \\ & h_j(x) = 0, \quad j=1, \dots, p \end{aligned} $$ 其中，$f_i(x) \le 0$ 这样的{{{不等式约束}}}，其所定义的点的集合 $\{x \mid f_i(x) \le 0\}$ 正是函数 $f_i$ 的0-下水平集。问题的{{{可行域}}}是所有这些下水平集和由等式约束定义的集合的交集。如果所有的函数 $f_i$ 都是{{{凸函数}}}，那么它们各自的0-下水平集都是凸集。由于凸集的交集仍然是凸集，这保证了（在没有等式约束或等式约束是{{{仿射}}}的情况下）可行域是一个凸集。这是{{{凸优化}}}问题的一个标志性特征，它保证了{{{局部最优解}}}就是{{{全局最优解}}}。
2. 保证解的存在性
在最小化一个函数 $f(x)$ 时，我们实际上是在寻找能使下水平集 $L_\alpha$ 非空的最小 $\alpha$ 值。{{{魏尔斯特拉斯极值定理}}}指出，一个定义在非空{{{紧集}}}（即有界闭集）上的{{{连续函数}}}必然能取得其最小值。
下水平集可以帮助我们将此定理应用于无界定义域。例如，如果一个连续函数 $f$ 是{{{强制函数}}}（coercive），即当 $\|x\| \to \infty$ 时，$f(x) \to \infty$，那么我们可以断言其所有下水平集都是有界的。由于连续函数的下水平集是{{{闭集}}}，这意味着它的所有下水平集都是{{{紧集}}}。因此，我们可以将最小化问题限制在任意一个非空的下水平集上（例如 $L_{f(x_0)}$，其中 $x_0$ 是定义域中任意一点），从而保证了最小值点的存在。