# 变限积分求导 (Differentiation of Integrals with Variable Limits)
变限积分求导，也称为对积分上限（或下限）求导，是{{{微积分}}}中的一个重要技巧。它指的是对一个由{{{定积分}}}定义的函数进行求导，而该积分的上限、下限或两者都是变量的函数。这个过程是{{{微积分基本定理}}}的直接推广，在理论和应用中都扮演着核心角色。其最完整的形式由{{{莱布尼茨积分法则}}} (Leibniz Integral Rule) 给出。
## 基本原理：从微积分基本定理出发
要理解变限积分求导，我们首先回顾{{{微积分第一基本定理}}}。该定理指出，如果函数 $f(t)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上{{{连续}}}，那么变上限积分函数 $$ F(x) = \int_a^x f(t) dt \quad (x \in [a, b]) $$ 在开区间 $(a, b)$ 上是可导的，并且其{{{导数}}}为： $$ F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x) $$ 这个公式是变限积分求导的最基本形式，它直观地表示：由函数 $f(t)$ 的图像与 $t$ 轴围成的面积，从一个固定点 $a$ 到一个变动点 $x$ 的变化率，恰好等于在变动点 $x$ 处的函数值 $f(x)$。
## 核心公式及其推导
基于上述基本定理，并结合{{{链式法则 (Chain Rule)}}}，我们可以推导出更一般形式的公式。
假设有一个函数 $G(x)$ 定义为： $$ G(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt $$ 其中，积分的上限 $b(x)$ 和下限 $a(x)$ 都是关于 $x$ 的可导函数，被积函数 $f(t)$ 在积分路径上连续。
我们的目标是求出 $G'(x)$。
推导过程：
1. 首先，我们引入一个在积分区间内的任意常数 $c$，利用积分的性质将原积分拆分为两部分： $$ G(x) = \int_{a(x)}^{c} f(t) dt + \int_{c}^{b(x)} f(t) dt $$
2. 利用定积分的性质 $\int_a^b = -\int_b^a$，将第一项的积分限反转： $$ G(x) = - \int_{c}^{a(x)} f(t) dt + \int_{c}^{b(x)} f(t) dt $$
3. 现在，我们定义一个辅助的变上限积分函数 $H(u) = \int_c^u f(t) dt$。根据微积分基本定理，我们知道 $H'(u) = f(u)$。
4. 将 $G(x)$ 用 $H(u)$ 表示。可以看到，第一项是 $-H(a(x))$，第二项是 $H(b(x))$。所以： $$ G(x) = H(b(x)) - H(a(x)) $$ 这里的 $b(x)$ 和 $a(x)$ 都是关于 $x$ 的函数，而 $H$ 是关于其自变量 $u$ 的函数。这形成了复合函数的形式。
5. 对 $G(x)$ 求导，根据{{{导数}}}的线性性质和链式法则： $$ G'(x) = \frac{d}{dx} [H(b(x))] - \frac{d}{dx} [H(a(x))] $$ $$ G'(x) = H'(b(x)) \cdot b'(x) - H'(a(x)) \cdot a'(x) $$
6. 最后，将 $H'(u) = f(u)$ 代入上式，我们得到最终的变限积分求导公式： $$ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) $$
这个公式的直观解释是：$G(x)$ 的变化率由两部分贡献。一部分是由于上限 $b(x)$ 移动带来的面积变化，其变化速率为 $f(b(x)) \cdot b'(x)$；另一部分是由于下限 $a(x)$ 移动带来的面积变化，其变化速率为 $f(a(x)) \cdot a'(x)$（由于是下限，方向相反，故为负号）。
## 一般形式：莱布尼茨积分法则
在更复杂的情况下，被积函数本身也可能依赖于变量 $x$，即形式为 $f(x, t)$。此时，我们需要使用更通用的{{{莱布尼茨积分法则}}} (Leibniz Integral Rule)。
对于函数： $$ F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) dt $$ 其导数为： $$ \frac{dF}{dx} = f(x, b(x)) \cdot \frac{db}{dx} - f(x, a(x)) \cdot \frac{da}{dx} + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} dt $$ 这个公式比之前的版本多出了一项 $\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} dt$。这一项的存在是因为当 $x$ 发生微小变化时，不仅积分的区间在变动，积分区间内的每一处被积函数值 $f(x,t)$ 自身也在发生变化。这一项就是对整个积分区间上所有这些由 $x$ 引起的变化的总和，需要通过对 $f(x,t)$ 求关于 $x$ 的{{{偏导数}}}并积分来计算。
显然，当被积函数与 $x$ 无关（即 $f(x, t) = f(t)$）时，$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$，莱布尼茨积分法则就退化为我们之前推导出的基本公式。
## 求解步骤与应用实例
### 求解步骤
1. 识别要素：确定被积函数 $f(t)$，下限函数 $a(x)$ 和上限函数 $b(x)$。 2. 计算导数：求出下限和上限的导数 $a'(x)$ 和 $b'(x)$。 3. 代入求值：将上限函数 $b(x)$ 代入 $f(t)$ 得到 $f(b(x))$；将下限函数 $a(x)$ 代入 $f(t)$ 得到 $f(a(x))$。 4. 组合公式：按照公式 $f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$ 进行组合，得到最终结果。
### 实例 1：标准变限积分
求函数 $F(x) = \int_{\sin x}^{x^3} e^{t^2} dt$ 的导数 $F'(x)$。
* 识别要素： * $f(t) = e^{t^2}$ * $a(x) = \sin x$ * $b(x) = x^3$ * 计算导数： * $a'(x) = \cos x$ * $b'(x) = 3x^2$ * 代入求值： * $f(b(x)) = f(x^3) = e^{(x^3)^2} = e^{x^6}$ * $f(a(x)) = f(\sin x) = e^{(\sin x)^2} = e^{\sin^2 x}$ * 组合公式： $$ F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) = e^{x^6} \cdot (3x^2) - e^{\sin^2 x} \cdot (\cos x) $$ $$ F'(x) = 3x^2 e^{x^6} - \cos x \cdot e^{\sin^2 x} $$
### 实例 2：与洛必达法则结合
计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \ln(1+t) dt}{x^2}$。
* 当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_0^0 \ln(1+t) dt = 0$，分母 $x^2 \to 0$。这是一个 $0/0$ 型的{{{不定型 (Indeterminate Form)}}}。 * 我们可以使用{{{洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)}}}，对分子和分母分别求导。 * 对分子求导，使用变限积分求导法： $$ \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \ln(1+t) dt \right) = \ln(1+x) \cdot (x)' - \ln(1+0) \cdot (0)' = \ln(1+x) $$ * 对分母求导： $$ \frac{d}{dx} (x^2) = 2x $$ * 应用洛必达法则，原极限等于新极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{2x} $$ * 这依然是一个 $0/0$ 型，可以再次使用洛必达法则，或者使用等价无穷小 $\ln(1+x) \sim x$： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} $$
## 重要性与应用
* 理论基础：变限积分求导是连接微分学和积分学的桥梁——微积分基本定理的动态应用，深刻揭示了变量、函数、导数与积分之间的内在联系。 * 求解微分方程：在某些{{{微分方程}}}的求解过程中，解的形式可能以积分形式给出，对其求导是验证解或进行后续分析的关键步骤。 * 物理与工程：在物理学中，许多物理量（如变力所做的功、随时间变化的流量）被定义为积分。当积分的边界随时间或其他参数变化时，使用变限积分求导可以计算这些物理量的变化率。 * 经济与金融：在经济模型的{{{最优化问题 (Optimization Problem)}}}中，目标函数或约束条件可能包含积分。例如，在计算累积收益或成本的变化率时，如果积分时段是可变的，就需要用到此方法。 * 高等数学：该法则是更高级课程如{{{变分法 (Calculus of Variations)}}}和{{{最优控制理论}}}的基础工具之一。