# 霍特林引理 (Hotelling's Lemma)
霍特林引理 (Hotelling's Lemma) 是{{{微观经济学}}}中{{{生产者理论}}}的一个核心结果。它揭示了在某些条件下，一个企业的{{{利润函数}}}与其产出供给和要素需求之间的直接关系。该引理指出，企业的{{{利润函数}}}对某一商品（产出或投入）价格的{{{偏导数}}}，等于该商品的最优供给量（如果该商品是产出）或最优需求量的负值（如果该商品是投入要素）。
这个引理以经济学家和统计学家哈罗德·霍特林 (Harold Hotelling) 的名字命名，是{{{对偶理论}}} (Duality Theory) 的一个重要应用，为从价值函数（利润函数）推导选择函数（供给与需求函数）提供了强有力的工具。
## 数学表述
为了精确地陈述霍特林引理，我们首先需要定义企业的{{{利润最大化问题}}}。假设一个企业是{{{价格接受者}}}，它在一个竞争性市场中运营。
* 令 $p$ 为单一产出 $y$ 的价格。 * 令 $\mathbf{w} = (w_1, w_2, \dots, w_n)$ 为一个包含 $n$ 种投入要素价格的向量。 * 令 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 为相应的投入要素数量向量。 * 企业的{{{生产技术}}}由一个{{{生产函数}}} $y = f(\mathbf{x})$ 或一个更一般的{{{生产集}}} $Y$ 描述。
企业的利润 $\Pi$ 定义为总收益减去总成本： $$ \Pi = py - \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} = py - \sum_{i=1}^n w_i x_i $$
企业的目标是选择产出水平 $y$ 和投入水平 $\mathbf{x}$ 以最大化利润，受其生产技术的约束。企业的利润函数 $\pi(p, \mathbf{w})$ 被定义为在给定价格 $(p, \mathbf{w})$ 下可实现的最大利润值： $$ \pi(p, \mathbf{w}) = \max_{y, \mathbf{x}} \{ py - \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} \text{ s.t. } (y, \mathbf{x}) \text{ is feasible} \} $$
令 $y^*(p, \mathbf{w})$ 为最优产出水平（即企业的{{{供给函数}}}），令 $x_i^*(p, \mathbf{w})$ 为第 $i$ 种投入要素的最优需求水平（即企业的{{{要素需求函数}}}）。
霍特林引理指出，如果利润函数 $\pi(p, \mathbf{w})$ 在点 $(p, \mathbf{w})$ 可微，那么：
1. 产出供给函数：最优产出量是利润函数对产出价格的偏导数。 $$ y^*(p, \mathbf{w}) = \frac{\partial \pi(p, \mathbf{w})}{\partial p} $$
2. 要素需求函数：第 $i$ 种投入要素的最优需求量是利润函数对该要素价格 $w_i$ 偏导数的负值。 $$ x_i^*(p, \mathbf{w}) = -\frac{\partial \pi(p, \mathbf{w})}{\partial w_i} \quad \text{for } i=1, \dots, n $$
## 证明与直觉 (基于包络定理)
霍特林引理的证明是{{{包络定理}}} (Envelope Theorem) 的一个直接应用。包络定理是关于最优化问题中目标函数值如何随参数变化而变化的强大工具。
让我们来理解其背后的直觉。当一个价格（例如产出价格 $p$）发生微小变化时，企业的最大利润 $\pi(p, \mathbf{w})$ 会受到两种效应的影响：
* 直接效应：假设企业暂时不调整其产出和投入水平，仍然维持在原最优水平 $y^*$ 和 $\mathbf{x}^*$。价格从 $p$ 变为 $p + dp$ 会直接导致利润增加 $y^* \cdot dp$。 * 间接效应：价格 $p$ 的变化会促使企业重新调整其生产计划，选择新的最优产出和投入水平，以进一步适应新的价格环境。
包络定理告诉我们，在最优选择点上，由决策变量（此处的 $y$ 和 $\mathbf{x}$）的微小调整所带来的间接效应为零。这是因为在利润最大化点，任何对投入或产出的微小偏离所带来的一阶利润变化都等于零（这是一阶优化条件的本质）。因此，总利润的变化只由直接效应决定。
形式化证明思路： 根据利润函数的定义，我们有： $$ \pi(p, \mathbf{w}) = p \cdot y^*(p, \mathbf{w}) - \sum_{i=1}^n w_i \cdot x_i^*(p, \mathbf{w}) $$ 这里 $y^*$ 和 $\mathbf{x}^*$ 都是价格的函数。我们对 $p$ 求全导数： $$ \frac{d\pi}{dp} = y^*(p, \mathbf{w}) + p \frac{\partial y^*}{\partial p} - \sum_{i=1}^n w_i \frac{\partial x_i^*}{\partial p} $$ 我们可以将其重新整理为： $$ \frac{d\pi}{dp} = y^*(p, \mathbf{w}) + \left[ p \frac{\partial y^*}{\partial p} - \sum_{i=1}^n w_i \frac{\partial x_i^*}{\partial p} \right] $$ 企业利润最大化的一阶条件要求，在给定投入下，边际收益等于边际成本。更普遍地，在最优点上，由生产技术约束 $y=f(\mathbf{x})$ 决定的选择变量的任何微小变动组合，其对利润的一阶影响为零。这意味着中括号内的项等于零。 $$ p \frac{\partial y^*}{\partial p} - \sum_{i=1}^n w_i \frac{\partial x_i^*}{\partial p} = \left[ p \frac{\partial f(\mathbf{x}^*)}{\partial \mathbf{x}^*} - \mathbf{w} \right] \cdot \frac{\partial \mathbf{x}^*}{\partial p} = 0 $$ 因为在最优点，边际产出的价值 $p \frac{\partial f}{\partial x_i}$ 必须等于要素成本 $w_i$。因此，我们得到了霍特林引理的第一个结果： $$ \frac{\partial \pi}{\partial p} = y^*(p, \mathbf{w}) $$ 对要素价格 $w_i$ 进行类似的求导可以得到第二个结果。
## 经济学含义与应用
霍特林引理不仅是一个数学上的巧合，它具有深刻的经济学含义和广泛的应用。
1. 对偶方法：它是在生产者理论中运用对偶方法的基石。传统方法（原始问题）是直接解决利润最大化问题，即选择最优的投入和产出数量。而对偶方法则是先构建利润函数，然后通过简单的微分运算来导出供给和需求函数。在许多情况下，处理利润函数比直接求解最大化问题更为简便。
2. 供给与需求曲线的性质：霍特林引理可以用来推导供给和需求函数的重要性质。 * 供给曲线的斜率：利润函数 $\pi(p, \mathbf{w})$ 是价格 $(p, \mathbf{w})$ 的{{{凸函数}}} (Convex function)。一个凸函数的二阶偏导数是非负的。因此： $$ \frac{\partial y^*(p, \mathbf{w})}{\partial p} = \frac{\partial^2 \pi(p, \mathbf{w})}{\partial p^2} \ge 0 $$ 这证明了企业的{{{供给曲线}}}是向上倾斜的（或垂直的），即产出价格越高，企业愿意供给的产出量越多（或不变）。 * 要素需求曲线的斜率：同样基于利润函数的凸性： $$ \frac{\partial x_i^*(p, \mathbf{w})}{\partial w_i} = -\frac{\partial^2 \pi(p, \mathbf{w})}{\partial w_i^2} \le 0 $$ 这表明企业的{{{要素需求曲线}}}是向下倾斜的，即一种投入要素的价格越高，企业对该要素的需求量越少。 * 交叉价格效应的对称性：根据{{{杨氏定理}}} (Young's Theorem)，可微函数的交叉偏导数是相等的。因此： $$ \frac{\partial y^*}{\partial w_i} = \frac{\partial}{\partial w_i} \left( \frac{\partial \pi}{\partial p} \right) = \frac{\partial^2 \pi}{\partial w_i \partial p} = \frac{\partial^2 \pi}{\partial p \partial w_i} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{-\partial \pi}{\partial w_i} \right) = -\frac{\partial x_i^*}{\partial p} $$ 这个结果 $\frac{\partial y^*}{\partial w_i} = -\frac{\partial x_i^*}{\partial p}$ 意味着，要素 $i$ 的价格上涨对产出供给的影响，等于产出价格上涨对要素 $i$ 需求影响的负值。这是一个可以进行实证检验的理论约束。
3. 计量经济学应用：在实证研究中，经济学家可以假设一个灵活的利润函数形式（如{{{超越对数利润函数}}}），然后利用霍特林引理推导出整个供给和要素需求方程系统。通过对这个系统进行联合估计，可以确保估计结果在理论上是一致的，并能检验有关生产技术的各种假设。
## 一个简单的例子
假设一个企业的生产函数为 $y = \sqrt{L}$，其中 $y$ 是产出， $L$ 是劳动投入。产出价格为 $p$，劳动力的工资为 $w$。
1. 求解利润函数 企业的利润为 $\Pi = p\sqrt{L} - wL$。为了最大化利润，我们对 $L$ 求导并令其为零： $$ \frac{d\Pi}{dL} = \frac{p}{2\sqrt{L}} - w = 0 \implies \sqrt{L} = \frac{p}{2w} \implies L^* = \left(\frac{p}{2w}\right)^2 $$ 这是企业的劳动需求函数。将 $L^*$ 代入生产函数，得到供给函数： $$ y^* = \sqrt{L^*} = \frac{p}{2w} $$ 现在，把最优的 $L^*$ 和 $y^*$ 代入利润定义，得到利润函数 $\pi(p, w)$： $$ \pi(p, w) = p \cdot y^* - w \cdot L^* = p \left(\frac{p}{2w}\right) - w \left(\frac{p^2}{4w^2}\right) = \frac{p^2}{2w} - \frac{p^2}{4w} = \frac{p^2}{4w} $$
2. 应用霍特林引理 现在我们有了利润函数 $\pi(p, w) = \frac{p^2}{4w}$。让我们看看对其求导能否得到供给与需求函数。
* 推导供给函数： $$ \frac{\partial \pi}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left(\frac{p^2}{4w}\right) = \frac{2p}{4w} = \frac{p}{2w} $$ 这与我们直接求解得到的供给函数 $y^*$ 完全一致。
* 推导要素需求函数： $$ -\frac{\partial \pi}{\partial w} = -\frac{\partial}{\partial w} \left(\frac{p^2}{4w}\right) = -\left(-\frac{p^2}{4w^2}\right) = \frac{p^2}{4w^2} = \left(\frac{p}{2w}\right)^2 $$ 这与我们直接求解得到的劳动需求函数 $L^*$ 完全一致。
这个例子清晰地展示了霍特林引理如何作为连接利润函数与供给/需求函数的桥梁。
## 与谢泼德引理和罗伊恒等式的关系
霍特林引理是微观经济学中一系列“引理”的一部分，它们都揭示了价值函数与选择函数之间的对偶关系。
* {{{谢泼德引理}}} (Shephard's Lemma)：它与霍特林引理非常相似，但应用于{{{成本最小化问题}}}。它指出，企业的（补偿）要素需求函数可以通过对其{{{成本函数}}}求关于要素价格的偏导数得到。 * {{{罗伊恒等式}}} (Roy's Identity)：这是{{{消费者理论}}}中的对应概念。它表明，消费者的{{{马歇尔需求函数}}}可以通过其{{{间接效用函数}}}的偏导数之比来获得。
这三个工具共同构成了微观经济学对偶理论的支柱，展示了在不同优化问题中存在的深刻结构对称性。