# 内生变量 (Endogenous Variable)
内生变量 (Endogenous Variable) 是在经济、金融、统计和计量经济模型中，其值由模型内部的其他变量和参数共同决定的变量。简单来说，内生变量是模型的“输出”或“解”，是模型试图解释的对象。这个概念的核心在于“内生性”，即其价值源于模型系统之内。
与内生变量相对的是{{{外生变量}}} (Exogenous Variable)，其值被视为由模型外部因素决定，是模型给定的“输入”或“前提条件”。在模型中，外生变量会影响内生变量，但反之不然。
理解内生变量与外生变量的区别是构建和解释任何{{{经济模型}}}或{{{计量经济模型}}}的基础。
## 在经济模型中的含义
在理论经济模型中，内生变量是模型求解的结果。通过一系列描述经济行为的{{{方程}}}（如效用最大化、利润最大化、市场出清等），我们可以解出这些变量的{{{均衡}}}值。
考虑一个基础的{{{凯恩斯主义}}}宏观经济模型：
1. 国民收入恒等式: $Y = C + I + G$ 2. 消费函数: $C = \alpha + \beta (Y - T)$, 其中 $0 < \beta < 1$
在这个模型系统中： * $Y$ (国民收入) 和 $C$ (消费) 是 内生变量。它们的值是相互关联的，并由整个系统的方程共同决定。消费依赖于收入，而收入又包含消费。 * $I$ (投资)、$G$ (政府支出) 和 $T$ (税收) 是 外生变量。在这个简化模型中，我们假设它们的值是由模型外部的政策制定者或市场情绪决定的，是给定的数值。 * $\alpha$ (自主消费) 和 $\beta$ ({{{边际消费倾向}}}) 是模型的 参数。
为了看出 $Y$ 是如何被“内生地”决定的，我们可以求解该模型。将消费函数代入国民收入恒等式： $$ Y = (\alpha + \beta (Y - T)) + I + G $$ 通过代数运算，我们可以解出 $Y$ 的{{{均衡}}}值，这被称为模型的约简式 (Reduced Form)： $$ Y (1 - \beta) = \alpha - \beta T + I + G $$ $$ Y_{eq} = \frac{\alpha - \beta T + I + G}{1 - \beta} $$ 这个结果清晰地表明，内生变量 $Y$ 的均衡值是由模型中的参数 ($\alpha, \beta$) 和外生变量 ($T, I, G$) 共同决定的。
## 在计量经济学中的问题：内生性偏误
当我们将理论模型转化为用于数据分析的{{{计量经济模型}}}时，“内生变量”的含义会带来一个非常关键的问题，通常被称为 内生性问题 (Endogeneity Problem)。
在标准的{{{线性回归模型}}}中： $$ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_k x_k + \epsilon $$ {{{普通最小二乘法}}} (Ordinary Least Squares, OLS) 的一个核心假设是，所有的解释变量 $x_j$ 都与{{{误差项}}} $\epsilon$ 不相关，即满足{{{零条件均值假设}}} $E(\epsilon | x_1, \ldots, x_k) = 0$。这意味着解释变量必须是{{{外生}}}的。
如果某个解释变量 $x_j$ 与误差项 $\epsilon$ 相关 ($Cov(x_j, \epsilon) \neq 0$)，那么这个解释变量 $x_j$ 就是一个 内生解释变量。在这种情况下，使用OLS进行估计会导致其估计出的系数 $\hat{\beta}_j$ 产生{{{偏误}}} (biased) 并且是{{{不一致的}}} (inconsistent)。这意味着即使样本量趋于无穷大，估计出的系数也不会收敛到真实的参数值。因此，基于这个模型的任何结论，特别是关于{{{因果关系}}}的推断，都将是不可靠的。
## 内生性问题的来源
导致解释变量成为内生变量（即与误差项相关）的主要原因有以下几点：
1. {{{遗漏变量偏误}}} (Omitted Variable Bias) 这是最常见的内生性来源。当一个未被包含在模型中（即遗漏了）的变量 $z$ 同时影响因变量 $y$ 和模型中的某个解释变量 $x$ 时，问题就出现了。由于 $z$ 被遗漏，它的影响就被包含在了误差项 $\epsilon$ 中。因为 $x$ 和 $z$ 相关，所以 $x$ 自然就和包含 $z$ 影响的误差项 $\epsilon$ 相关了。 * 示例：研究“教育年限”($x$) 对“工资”($y$) 的影响。一个很可能被遗漏的变量是“个人能力”($z$)。能力既会影响一个人接受教育的年限，也会直接影响其工资水平。在回归模型 $wage = \beta_0 + \beta_1 education + \epsilon$ 中，“能力”的影响被包含在 $\epsilon$ 里。由于教育年限和能力正相关，导致 $education$ 是一个内生解释变量，$Cov(education, \epsilon) \neq 0$。
2. {{{联立性}}}或同时性 (Simultaneity) 当因变量 $y$ 和解释变量 $x$ 之间存在双向因果关系或反馈循环时，就会产生联立性。$x$ 影响 $y$，同时 $y$ 也反过来影响 $x$。 * 示例：在{{{宏观经济学}}}中，研究“总消费”($C$) 和“国民收入”($Y$) 的关系。我们知道消费是收入的函数，但同时，消费也是构成收入的一个主要部分。在一个回归模型 $C = \beta_0 + \beta_1 Y + \epsilon$ 中，任何影响消费的随机冲击（包含在 $\epsilon$ 中）都会通过国民收入核算恒等式进而影响 $Y$。因此，$Y$ 与 $\epsilon$ 相关，是一个内生解释变量。
3. {{{测量误差}}} (Measurement Error) 如果一个解释变量 $x$ 的测量存在随机误差，那么我们实际用于回归的观测值就不是真实的 $x^*$，而是 $x = x^* + e$，其中 $e$ 是测量误差。在回归模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ 中，真实的模型应该是 $y = \beta_0 + \beta_1 x^* + u$。代入后得到 $y = \beta_0 + \beta_1 (x - e) + u$，因此回归的误差项变为 $\epsilon = u - \beta_1 e$。由于我们使用的解释变量 $x = x^* + e$ 与新的误差项 $\epsilon = u - \beta_1 e$ 都含有 $e$，它们之间必然相关 ($Cov(x, \epsilon) = -\beta_1 Var(e) \neq 0$)。这使得带有测量误差的解释变量 $x$ 成为内生变量，并导致系数估计趋向于零，称为{{{衰减偏误}}} (Attenuation Bias)。
## 解决内生性问题的方法
由于内生性问题会严重破坏回归结果的可靠性，计量经济学发展了多种方法来处理它：
* {{{工具变量法}}} (Instrumental Variables, IV)：这是解决内生性问题的经典方法。其核心是找到一个或多个“工具变量”($Z$)。一个有效的工具变量必须满足两个条件： 1. 相关性 (Relevance)：工具变量 $Z$ 必须与内生解释变量 $X$ 相关, 即 $Cov(Z, X) \neq 0$。 2. 排他性约束 (Exclusion Restriction)：工具变量 $Z$ 必须与模型的误差项 $\epsilon$ 不相关, 即 $Cov(Z, \epsilon) = 0$。这意味着 $Z$ 只能通过影响 $X$ 来间接影响 $Y$，而不能有直接影响 $Y$ 的渠道。 常用的IV估计方法是{{{两阶段最小二乘法}}} (Two-Stage Least Squares, 2SLS)。
* {{{面板数据模型}}} (Panel Data Models)：当有多个个体在多个时间点的数据时，可以使用{{{固定效应模型}}} (Fixed Effects Model) 或{{{差分模型}}} (First-Difference Model) 来消除不随时间变化的遗漏变量（如个人能力），从而解决由这类遗漏变量引致的内生性问题。
* 准实验方法 (Quasi-experimental Methods)：包括{{{双重差分法}}} (Difference-in-Differences, DID)、{{{断点回归设计}}} (Regression Discontinuity Design, RDD) 等，这些方法利用自然实验或政策干预等外部冲击作为识别策略，巧妙地规避了内生性问题。
* {{{广义矩估计}}} (Generalized Method of Moments, GMM)：是IV方法的一个更广义的框架，在更弱的假设下也能提供一致的估计量。
总之，识别模型中的内生变量，并正确处理由此引发的内生性问题，是进行严谨的、具有因果推断意义的实证研究的关键步骤。