# 抽样 (Sampling)
抽样 (Sampling) 是{{{统计学}}}和研究方法中的一个核心过程。它指的是从一个更大的群体，即 {{{总体}}} (Population) 中，按照一定规则选取一部分个体或元素，形成一个 {{{样本}}} (Sample)，然后通过对这个样本进行观察、测量和分析，来推断总体的特征和规律。抽样是现代科学研究，尤其是在{{{社会科学}}}、{{{市场调研}}}、{{{质量控制}}}和{{{金融学}}}中，获取数据和形成结论的基础。
## 为什么要进行抽样？
在实际研究中，对总体中的每一个成员都进行调查，即进行 {{{普查}}} (Census)，往往是不现实的，甚至是不可能的。抽样是解决这一问题的有效方法，其主要优势体现在以下几个方面：
1. 成本效益 (Cost-Effectiveness)：相比于普查，抽样研究所需的人力、物力和财力要少得多。这使得研究在有限的资源下成为可能。 2. 及时性 (Timeliness)：抽样可以大大缩短数据收集和处理的时间，使得研究结果能够更快地被用于决策，尤其适用于需要快速反应的领域，如民意测验或经济指标预测。 3. 可行性 (Feasibility)：当总体是无限的，或者研究过程具有破坏性时（例如，测试产品的寿命或强度），普查是根本不可行的。例如，为了检测一批灯泡的平均寿命，我们不能将所有灯泡都测试至损坏。 4. 准确性 (Accuracy)：一个设计精良、执行严格的抽样调查，有时甚至比一个组织粗糙的普查更为准确。因为在抽样中，可以投入更多资源来培训调查员、优化测量工具、减少 {{{非抽样误差}}} (如测量误差、记录错误)，从而提高数据质量。
## 核心概念
在深入了解抽样方法之前，必须明确几个基本概念：
* {{{总体}}} (Population)：研究者感兴趣的、具有共同特征的全部个体、事件或观测值的集合。例如，一个国家的所有选民、一家工厂生产的所有零件、某股票在过去十年的每日收益率。总体可以是 有限总体 或 无限总体。 * {{{样本}}} (Sample)：从总体中按照某种方法抽取的一部分个体的集合。样本必须对总体具有良好的 代表性 (Representativeness)，否则基于样本的推断将是无效的。 * {{{抽样单位}}} (Sampling Unit)：构成总体的基本单元，也是抽样时被抽取的对象。它可以是个人、家庭、公司或一件产品。 * {{{抽样框}}} (Sampling Frame)：一份包含总体中所有抽样单位的清单、地图或目录。一个高质量的抽样框是实施概率抽样的前提。抽样框的质量（是否完整、是否重复、是否过时）直接影响样本的代表性。 * {{{参数}}} (Parameter)：用于描述总体特征的数值。例如，总体平均值 $ \mu $、总体比例 $ P $、总体标准差 $ \sigma $。参数通常是未知的、固定的常量，是我们的推断目标。 * {{{统计量}}} (Statistic)：用于描述样本特征的数值。例如，样本平均值 $ \bar{x} $、样本比例 $ p $、样本标准差 $ s $。统计量是根据样本数据计算出来的，它是一个{{{随机变量}}}，因为其数值会随着所抽取样本的不同而变化。我们使用统计量来估计未知的总体参数。
## 抽样方法的主要类型
抽样方法主要分为两大类：概率抽样 和 非概率抽样。其根本区别在于，抽样单位被选中的概率是否已知且非零。
### 概率抽样 (Probability Sampling)
在概率抽样中，总体中的每一个单位都有一个已知的、非零的概率被选入样本。这种方法基于随机选择原则，其结果可以用于进行正式的{{{统计推断}}}，即从样本推广到总体，并能够科学地计算{{{抽样误差}}}。
1. {{{简单随机抽样}}} (Simple Random Sampling, SRS) * 定义：最基本、最简单的概率抽样方法。它确保总体中每个单位都有相等的机会被选中，并且任何大小为 $n$ 的可能样本都有相同的被选中概率。 * 方法：常通过抽签、使用{{{随机数表}}}或计算机生成随机数来实现。 * 优点：理论上最简单，易于理解，是其他复杂抽样方法的基础。 * 缺点：需要一份完整的抽样框；当总体规模巨大或地理分布广泛时，实施成本高昂；可能无法确保所有重要子群体的代表性。
2. {{{系统抽样}}} (Systematic Sampling) * 定义：将总体单位排序后，随机选择一个起始点，然后按照一个固定的间隔（抽样间距 $k$）来选取样本单位。抽样间距 $k$ 通常由总体大小 $N$ 和样本大小 $n$ 决定，即 $ k \approx N/n$。 * 方法：例如，从一个有1000名学生的名单中抽取100人，可以计算 $k=1000/100=10$。随机从1到10中选择一个起始号（如3），然后依次抽取第3、13、23、$...$、993号学生。 * 优点：操作比简单随机抽样更简便、快捷，尤其适用于大型总体。在抽样框中的单位是随机排列时，其效果接近于简单随机抽样。 * 缺点：如果抽样框中的排列存在某种周期性，且这个周期恰好与抽样间距 $k$ 相近，则可能导致样本产生严重{{{偏误}}} (Bias)。
3. {{{分层抽样}}} (Stratified Sampling) * 定义：将总体按照某一或某些特征（如年龄、性别、地区、收入水平）划分为若干个互不重叠的子群，称为“层”(Strata)。然后在每个层内独立进行简单随机抽样或系统抽样。 * 方法：可以将选民按年龄分为“青年”、“中年”、“老年”三层，然后根据各层在总体中的比例（或根据研究需要）在每层中抽取一定数量的样本。 * 优点：可以提高样本的代表性，确保所有重要子群体都被包含在内；当层内同质性高、层间异质性高时，分层抽样能以更小的样本量获得比简单随机抽样更高的{{{估计精度}}}（即更小的抽样误差）。 * 缺点：需要关于总体的先验知识来进行分层；设计和实施过程比简单随机抽样更复杂。
4. {{{整群抽样}}} (Cluster Sampling) * 定义：将总体划分为若干个群组（Cluster），这些群组通常是自然形成的或地理上的单元（如城市、学校、社区）。然后随机抽取一部分群组，并将被抽中群组内的所有单位（单阶段整群抽样）或部分单位（多阶段整群抽样）作为样本。 * 方法：要调查某市中学生的学习状况，可以先将全市所有中学作为群，随机抽取几所中学，然后调查这几所中学里的所有学生。 * 优点：当总体地理分布广泛、难以获取完整的个体抽样框时，此法非常实用且成本较低。 * 缺点：与同样样本量的简单随机抽样相比，整群抽样的抽样误差通常更大，因为同一群组内的单位往往具有相似性（{{{组内相关性}}}）。
### 非概率抽样 (Non-probability Sampling)
非概率抽样是根据研究者的主观判断、方便性或其他非随机原则来选择样本。这种方法无法计算抽样误差，其结果不能从统计学上推广到整个总体，主要用于探索性研究或当概率抽样不可行时。
1. {{{方便抽样}}} (Convenience Sampling)：研究者选择最容易接触到的个体作为样本，如在街头拦截行人进行访问。 2. {{{判断抽样}}} (Judgmental or Purposive Sampling)：研究者凭自己的专业知识和判断，有意选择那些他们认为最具代表性或最能提供所需信息的个体。 3. {{{滚雪球抽样}}} (Snowball Sampling)：用于寻找难以接触的特定群体（如特定疾病患者、无家可归者）。研究者先找到少数几个符合条件的个体，然后通过他们来引荐更多的研究对象。 4. {{{配额抽样}}} (Quota Sampling)：类似于分层抽样，先将总体按某些特征划分成不同类别并确定各类别的样本配额。但之后在每个类别中采用方便抽样或判断抽样的方式来选取样本单位，而非随机抽样。
## 抽样误差与非抽样误差
用样本统计量估计总体参数时，不可避免地会产生误差。误差分为两类：
* {{{抽样误差}}} (Sampling Error)：由于只观察了总体的一部分（样本）而非全部而产生的误差。它是样本统计量与待估总体参数之间的差异。抽样误差是随机的，在概率抽样下，其大小可以通过统计公式（如{{{标准误}}})来估计。增加样本量通常可以减小抽样误差。 * {{{非抽样误差}}} (Non-sampling Error)：指除了抽样误差之外的所有其他类型的误差，它可能发生在研究的任何阶段。即使是普查也无法避免非抽样误差。主要来源包括： * 覆盖误差 (Coverage Error)：抽样框不完整或不准确。 * 无应答误差 (Non-response Error)：被选中的样本单位拒绝参与或无法联系。 * 测量误差 (Measurement Error)：问卷设计不当、提问方式有诱导性、受访者提供不准确信息等。 * 数据处理误差 (Data Processing Error)：数据录入、编码或计算过程中的错误。
## 抽样理论的基石：中心极限定理
抽样推断的理论基础是强大的 {{{中心极限定理}}} (Central Limit Theorem, CLT)。该定理指出：
> 从任何一个均值为 $ \mu $、方差为 $ \sigma^2 $ 的总体中，抽取大小为 $n$ 的样本，当样本量 $n$ 足够大时，样本均值 $ \bar{X} $ 的 {{{抽样分布}}} (Sampling Distribution) 近似服从一个{{{正态分布}}}，其均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2/n $。
这个定理的伟大之处在于，无论原始总体的分布形状如何（偏态、均匀等），只要样本量足够大，样本均值的分布都是近似正态的。这使得我们可以利用正态分布的性质来构建{{{置信区间}}}和进行{{{假设检验}}}，从而对未知的总体参数做出科学的推断。