# 平均数 (Mean/Average)
平均数 (Mean/Average) 是{{{统计学}}}和数学中的一个核心概念，是用于描述一组数据{{{中心趋势}}} (central tendency) 的关键{{{指标}}}之一。它旨在提供一个能够代表整个{{{数据集}}} (dataset) “典型”或“中心”位置的单一数值。虽然在日常用语中“平均”一词可以泛指多种集中趋势的度量，但在学术语境下，它通常特指算术平均数。然而，根据数据的性质和分析目的，存在多种不同类型的平均数。
## 平均数的主要类型
不同的场景需要使用不同类型的平均数来准确反映数据的中心位置。最常见的包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和加权平均数。
### 1. 算术平均数 (Arithmetic Mean)
这是最常用、最广为人知的平均数。它的计算方法是将数据集中所有数值相加，然后除以数值的个数。
* 总体算术平均数 (Population Mean)：当数据包含研究对象{{{总体}}} (population) 的所有成员时，平均数用希腊字母 $\mu$ (mu) 表示。 $$ \mu = \frac{\sum_{i=1}^{N}x_i}{N} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} $$ 其中，$N$ 是总体中的个体总数，$x_i$ 是第 $i$ 个个体的值。
* 样本算术平均数 (Sample Mean)：当数据来自从总体中抽取的{{{样本}}} (sample) 时，平均数用 $\bar{x}$ (x-bar) 表示。 $$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $$ 其中，$n$ 是样本中的个体数量。$\bar{x}$ 通常被用作总体平均数 $\mu$ 的一个{{{点估计}}} (point estimate)。
特性与应用场景： * 应用场景：适用于数值型数据，其数值之间的关系是相加的，例如身高、体重、考试分数、温度等。 * 优点：计算简单，理解直观，并且在数学上具有优良的性质（如作为总体均值的{{{无偏估计量}}}）。 * 缺点：对{{{极端值}}} (outliers) 非常敏感。一个或几个异常大或异常小的值就能极大地影响算术平均数的结果，使其偏离数据的主体，从而可能无法代表大多数数据点的真实情况。
### 2. 几何平均数 (Geometric Mean)
几何平均数特别适用于处理比率、百分比变化或具有乘法关系的数据，常见于{{{金融学}}}和经济增长分析。它通过将所有数值相乘后开 $n$ 次方根得到。
* 公式： $$ G = \left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} $$ 其中，$\prod$ 表示连乘。为保证结果是实数，所有 $x_i$ 通常要求为正数。
特性与应用场景： * 应用场景： * 投资回报率：计算一项投资在多个时期的平均{{{年化回报率}}}。例如，一项资产第一年增值20%（增长因子为1.20），第二年贬值10%（增长因子为0.90），其两年的平均增长因子是 $\sqrt{1.20 \times 0.90} = \sqrt{1.08} \approx 1.039$。这意味着年均回报率约为3.9%，而不是算术平均的 (20% - 10%)/2 = 5%。 * 比率数据：计算各种比率的平均值。 * 特性： * 几何平均数总是小于或等于算术平均数（当且仅当所有数值相等时取等号）。 * 它受极端值的影响比算术平均数小。 * 如果数据集中有任何一个值为0，几何平均数即为0。
### 3. 调和平均数 (Harmonic Mean)
调和平均数是所有数值的倒数的算术平均数的倒数。它适用于处理速率或比率的平均问题，特别是当分子固定而分母变化时。
* 公式： $$ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} $$
特性与应用场景： * 应用场景： * 平均速度：计算在相同距离下不同速度的平均速度。例如，某人以60 km/h的速度行驶一段距离，再以40 km/h的速度返回原点。其全程的平均速度是调和平均数：$H = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = 48$ km/h。使用算术平均会得到错误的答案50 km/h。 * 市盈率：在{{{金融}}}中，计算一个投资组合的平均{{{市盈率}}} (P/E ratio) 时，如果每只股票投入相同金额的资金，则适合使用调和平均数。 * 特性： * 调和平均数给予较小的值更大的权重。 * 对极端的小值非常敏感。
### 4. 加权平均数 (Weighted Mean)
当数据集中的每个数值具有不同的重要性（即权重）时，应使用加权平均数。
* 公式： $$ \bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n}w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i} $$ 其中，$x_i$ 是第 $i$ 个数值，$w_i$ 是其对应的权重。
特性与应用场景： * 应用场景： * 学业成绩：计算总成绩时，期末考试的权重通常高于平时作业。 * 投资组合回报率：计算投资组合的总体回报率时，每项资产的回报率需要根据其在组合中所占的资金比例进行加权。 * 消费者价格指数 (CPI)：计算{{{通货膨胀率}}}时，不同商品和服务的价格变动需要根据其在居民消费支出中的比重进行加权。 * 注：算术平均数可以看作是所有权重都相等（例如，$w_i=1$）的特殊加权平均数。
## 均值不等式 (AM-GM-HM Inequality)
对于一组正数，这三种主要平均数之间存在一个固定的关系，称为均值不等式：
$$ \text{算术平均数 (AM)} \ge \text{几何平均数 (GM)} \ge \text{调和平均数 (HM)} $$
这个不等式中的等号当且仅当数据集中所有数值都相等时成立。它在数学{{{优化}}}等领域有重要应用。
## 平均数与概率论
在{{{概率论}}}中，平均数的概念与{{{期望值}}} (Expected Value) 密切相关。
* 一个{{{随机变量}}} (Random Variable) 的期望值 $E[X]$ 是其{{{概率分布}}}的理论平均数。 * 根据{{{大数定律}}} (Law of Large Numbers)，当从一个总体中抽取的样本量 $n$ 足够大时，样本平均数 $\bar{x}$ 会趋近于总体的期望值 $\mu$。这为使用样本信息推断总体特征提供了理论基础。
## 如何选择合适的平均数
* 当处理普通数值、增长量或没有极端值的数据时，使用算术平均数。 * 当处理增长率、回报率或具有乘法关系的数据时，使用几何平均数。 * 当处理速度、效率等比率数据时，使用调和平均数。 * 当数据点的重要性不同时，必须使用加权平均数。
由于算术平均数对极端值敏感，当数据分布呈现显著的{{{偏态}}} (skewness) 时，中位数 ({{{Median}}}) 往往是比平均数更好的中心趋势度量。为了克服此缺点，统计学中还发展了如{{{截尾平均数}}} (Trimmed Mean)等更为稳健的平均数估计方法。