# 成本函数 (Cost Function)
成本函数 (Cost Function) 是{{{微观经济学}}}中{{{生产者理论}}}的一个核心概念。它是一个数学函数，表示在给定的{{{要素价格}}}和生产技术的条件下，一个厂商生产特定数量的产出 ($q$) 所需的 最低 {{{经济成本}}}。
成本函数通常记为 $C(q)$，当要素价格被视为变量时，则记为 $C(w, r, $...$, q)$，其中 $w$ 和 $r$ 分别代表{{{劳动}}}和{{{资本}}}的价格。这个函数并非凭空产生，而是从一个更基本的经济问题——成本最小化——中推导出来的。因此，成本函数内含了关于企业{{{生产技术}}}（通过{{{生产函数}}}体现）和其面临的市场{{{要素价格}}}的全部信息。
## 成本函数的推导：成本最小化问题
要理解成本函数的本质，必须先理解企业如何做出决策。一个理性的企业在生产任何给定数量的产出时，都希望以尽可能低的成本来完成。这个过程可以被建模为一个受约束的优化问题。
假设一个企业使用两种生产要素：{{{资本}}} ($K$) 和{{{劳动}}} ($L$)。 * 其生产技术由{{{生产函数}}} $q = f(K, L)$ 描述，该函数表明投入的资本和劳动与最大可能产出 ($q$) 之间的关系。 * 企业在要素市场上是价格接受者，面临的资本租金率为 $r$，劳动工资率为 $w$。 * 企业的总成本 (Total Cost) 为 $TC = rK + wL$。
该企业的 成本最小化问题 可以表述为： 在产出水平必须为 $q_0$ 的约束下，选择 $K$ 和 $L$ 的投入量，以最小化总成本。
用数学语言表达为： $$ \min_{K,L} (rK + wL) \quad \text{subject to} \quad f(K,L) = q_0 $$
解决这个优化问题（通常使用{{{拉格朗日乘数法}}}）可以得到最优的要素投入组合，即{{{条件要素需求函数}}} (Conditional Factor Demand Functions)： * 资本的条件需求： $K^* = K(r, w, q_0)$ * 劳动的条件需求： $L^* = L(r, w, q_0)$
这些函数告诉我们，为了以最低成本生产 $q_0$ 单位的产出，在给定的要素价格 $r$ 和 $w$ 下，企业应该雇佣多少资本和劳动。
最后，将这些最优投入量代回到总成本表达式中，我们就得到了 成本函数： $$ C(r, w, q_0) = r \cdot K^*(r, w, q_0) + w \cdot L^*(r, w, q_0) $$
在许多分析中，要素价格 $r$ 和 $w$ 被假定为常数，因此成本函数被简化为仅是产出 $q$ 的函数，记为 $C(q)$。
## 不同类型的成本
从总成本函数 $C(q)$ 出发，我们可以派生出几个在经济分析中至关重要的成本概念。
1. 固定成本 (Fixed Costs, FC)：不随产出水平 $q$ 变化的成本。即使企业不生产任何东西 ($q=0$)，这部分成本仍然存在。例如，厂房的租金、长期设备的折旧等。 $$ FC = C(0) $$
2. 可变成本 (Variable Costs, VC)：随产出水平 $q$ 变化的成本。例如，原材料、计件工人的工资等。 $$ VC(q) = C(q) - FC $$
3. 平均成本 (Average Costs, AC)：也称为单位成本，是生产每单位产出的平均花费。 * 平均总成本 (Average Total Cost, ATC): $ATC(q) = \frac{C(q)}{q}$ * 平均固定成本 (Average Fixed Cost, AFC): $AFC(q) = \frac{FC}{q}$。随着 $q$ 的增加，AFC 会持续下降。 * 平均可变成本 (Average Variable Cost, AVC): $AVC(q) = \frac{VC(q)}{q}$。 * 三者关系：$ATC(q) = AFC(q) + AVC(q)$。
4. 边际成本 (Marginal Cost, MC)：生产额外一单位产出所引起的总成本的增加量。在连续的情况下，它是成本函数对产出 $q$ 的一阶{{{导数}}}。 $$ MC(q) = \frac{dC(q)}{dq} $$ 边际成本衡量了增加生产的成本，是企业决定生产多少的关键变量。根据{{{利润最大化}}}原则，一个完全竞争市场中的企业会在其边际成本等于市场价格 ($P=MC$) 的点上进行生产。
重要关系：边际成本曲线 ($MC$) 会在其最低点分别与平均可变成本曲线 ($AVC$) 和平均总成本曲线 ($ATC$) 相交。 * 当 $MC < ATC$ 时，$ATC$ 曲线是下降的。 * 当 $MC > ATC$ 时，$ATC$ 曲线是上升的。 * 因此，当 $MC = ATC$ 时，$ATC$ 达到其最小值。这个逻辑同样适用于 $MC$ 和 $AVC$。
## 短期成本函数与长期成本函数
在生产者理论中，时间和要素的可调整性是关键区别。
* 短期成本函数 (Short-Run Cost Function, SRTC) 在{{{短期}}}内，至少有一种生产要素的数量是固定的，通常假定为资本 $\bar{K}$。企业只能通过改变可变要素（如劳动 $L$）来调整产量。因此，短期成本函数是在至少一种要素固定的前提下推导出的成本函数。短期内，由于资本存量无法调整到最优水平，其成本通常会高于长期成本。
* 长期成本函数 (Long-Run Cost Function, LRTC) 在{{{长期}}}内，所有生产要素都是可变的。企业可以自由选择最优的资本和劳动组合来生产任何产出水平。我们之前推导的一般成本函数 $C(r, w, q)$ 就是长期成本函数。
关系：长期平均成本曲线 (LRAC) 是所有可能的短期平均成本曲线 (SRAC) 的 {{{包络线}}} (Envelope)。这意味着，对于任何一个产出水平，长期平均成本总是小于或等于短期平均成本 ($LRAC(q) \le SRAC(q)$)。这体现了企业在长期内拥有更大决策灵活性的价值。当短期固定的要素量恰好是该产出水平下的长期最优选择时，等号成立。
## 成本函数的性质
作为从成本最小化问题推导出来的结果，成本函数具有一些重要的数学性质：
1. 关于产出的性质：成本函数 $C(q)$ 是产出 $q$ 的非减函数。即生产更多，成本不会减少。 2. 关于要素价格的性质： * $C(r, w, q)$ 是要素价格的非减函数。要素价格上涨，最低成本不会下降。 * 关于要素价格的{{{齐次性}}}：成本函数是要素价格的 一次齐次函数。这意味着，如果所有要素价格（$r$ 和 $w$）同比例上涨（例如，都翻倍），那么生产同样产出 $q$ 的最低总成本也会同比例上涨（也翻倍）。 * 关于要素价格的凹性：成本函数是要素价格的{{{凹函数}}}。 3. {{{谢泼德引理}}} (Shephard's Lemma)：这是一个强大的{{{对偶性}}}结果，它将成本函数与条件要素需求函数联系起来。该引理指出，成本函数对某要素价格的偏导数等于该要素的条件需求量。 $$ \frac{\partial C(r, w, q)}{\partial w} = L^*(r, w, q) \quad \text{和} \quad \frac{\partial C(r, w, q)}{\partial r} = K^*(r, w, q) $$ 这个引理非常有用，因为它意味着如果我们知道了成本函数，我们就可以直接推导出企业对各种要素的需求。