# 伯努利试验 (Bernoulli Trial)
伯努利试验 (Bernoulli Trial) 是{{{概率论}}}和{{{统计学}}}中的一个基本概念，指的是一个只有两种可能结果的{{{随机试验}}}。为了便于分析，这两种结果通常被标记为"成功" (Success) 和"失败" (Failure)。
一个试验要被视为伯努利试验，必须满足以下三个关键条件：
1. 两种互斥结果：试验的结果必须是两种可能性之一，且这两种结果是相互排斥的。例如，抛掷一枚硬币，结果要么是正面，要么是反面，不可能同时是两者。 2. 概率恒定：在每次独立的试验中，"成功"的{{{概率}}}是恒定的，通常用 $p$ 表示。因此，"失败"的概率也必然是恒定的，即 $q = 1-p$。 3. 独立性：每次试验的结果必须与其他试验的结果相互{{{独立性 (概率论)}}}。这意味着一次试验的结果不会影响后续任何一次试验的结果。
伯努利试验构成了许多更复杂的概率模型的基础，是理解一系列重要{{{离散概率分布}}}的基石。这个概念以17世纪瑞士数学家[[雅各布·伯努利]]的名字命名。
## 数学形式化
为了对伯努利试验进行数学描述，我们通常引入一个{{{随机变量}}} $X$ 来表示试验的结果。按照惯例，我们将"成功"编码为1，"失败"编码为0。
* $X = 1$ 表示试验结果为"成功"。 * $X = 0$ 表示试验结果为"失败"。
这个随机变量 $X$ 服从的分布被称为 {{{伯努利分布}}} (Bernoulli Distribution)。其{{{概率质量函数}}} (Probability Mass Function, PMF) 可以表示为：
$$ P(X=k) = \begin{cases} p & \text{if } k=1 \\ 1-p & \text{if } k=0 \end{cases} $$
这个函数也可以更紧凑地写成一个公式：
$$ f(k; p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{for } k \in \{0, 1\} $$
其中 $k$ 是试验的结果（0或1），$p$ 是成功的概率。当 $k=1$ 时，该公式为 $p^1(1-p)^0 = p$；当 $k=0$ 时，该公式为 $p^0(1-p)^1 = 1-p$。
### 核心性质
与伯努利分布相关的随机变量 $X$ 具有以下重要性质：
* {{{期望}}} (Expected Value)： 伯努利随机变量的期望值是其“成功”的概率 $p$。 $$ E[X] = \sum_{k \in \{0,1\}} k \cdot P(X=k) = (1 \cdot p) + (0 \cdot (1-p)) = p $$ 这个结果直观地表示，如果进行大量伯努利试验，成功的平均比例将趋近于 $p$。
* {{{方差}}} (Variance)： 伯努利随机变量的方差衡量了其结果的不确定性或离散程度。 首先计算 $E[X^2]$: $$ E[X^2] = \sum_{k \in \{0,1\}} k^2 \cdot P(X=k) = (1^2 \cdot p) + (0^2 \cdot (1-p)) = p $$ 根据方差公式 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$，我们得到： $$ Var(X) = p - p^2 = p(1-p) $$ 方差在 $p=0.5$ 时达到最大值 $0.25$，此时结果的不确定性最高。当 $p$ 接近0或1时，方差趋近于0，因为结果变得越来越确定。
## 伯努利试验的应用实例
为了更好地理解这个抽象概念，以下是一些现实世界中的例子：
* 抛掷硬币：这是最典型的例子。抛掷一枚{{{公平硬币}}}，若将“正面朝上”视为成功，则 $p=0.5$。如果硬币是不均匀的，则 $p$ 可能是其他值。 * 产品质量检测：从生产线上随机抽取一个产品进行检测。若将“产品有缺陷”定义为成功，则 $p$ 是产品的{{{次品率}}}。 * 医疗试验：给一位患者施用一种新药。若将“患者病情好转”视为成功，则 $p$ 代表了该药物的{{{疗效}}}概率。 * 金融市场预测：预测某只{{{股票}}}在下一个交易日是上涨还是下跌。若将“上涨”视为成功，那么在有效的{{{市场假说}}}下，对未来短期走势的预测概率 $p$ 可能接近0.5。 * 选举投票：随机询问一位选民是否支持某位候选人。若将“支持”视为成功，则 $p$ 代表该候选人在选民中的{{{支持率}}}。
## 作为多种分布的基础
伯努利试验之所以在概率论中至关重要，是因为它是一系列更复杂、应用更广泛的概率分布的构建模块。
* {{{二项分布}}} (Binomial Distribution)： 描述了在 $n$ 次独立重复的伯努利试验中，“成功”发生的确切次数。例如，抛掷10次硬币，恰好出现6次正面的概率就由二项分布描述。伯努利分布是二项分布在 $n=1$ 时的特例。
* {{{几何分布}}} (Geometric Distribution)： 描述了在连续的伯可努利试验中，为了获得第一次成功所需要进行的试验次数。例如，你需要投掷多少次骰子才能第一次掷出“6”。
* {{{负二项分布}}} (Negative Binomial Distribution)： 也称为帕斯卡分布，是几何分布的推广。它描述了在连续的伯努利试验中，为了获得第 $r$ 次成功所需要进行的试验总次数。
* {{{泊松分布}}} (Poisson Distribution)： 在特定条件下，二项分布可以由泊松分布来近似。当伯努利试验的次数 $n$ 非常大，而单次成功的概率 $p$ 非常小时（即事件是{{{稀有事件}}}），二项分布的计算变得复杂。此时，可以使用泊松分布作为其近似，其中泊松分布的参数 $\lambda$ 等于 $np$。
综上所述，伯努利试验虽然简单，但它为我们分析和理解由一系列独立、二元结果组成的随机现象提供了强大的数学框架。