# t检验 (t-test)
t检验 (t-test)，是一种在{{{统计学}}}中广泛应用的{{{inferential statistics}}}方法，属于{{{statistical hypothesis testing}}}的一种。它的核心用途是判断两个群体的{{{mean}}}之间是否存在统计学上的显著差异。具体来说，t检验通过比较样本数据，来推断其所代表的{{{population}}}均值是否存在差异。
t检验是由英国统计学家[[威廉·西利·戈塞特]]（[[William Sealy Gosset]]）在1908年以笔名“Student”发表的，因此t分布有时也被称为 学生t分布 (Student's t-distribution)。t检验特别适用于样本量较小（通常 $n < 30$）且总体{{{standard deviation}}}未知的情况。当样本量增大时，{{{t-distribution}}}会趋近于正态分布。
## t检验的核心逻辑
t检验的基本思想是将观测到的“信号”（Signal）与背景“噪声”（Noise）进行比较。
- 信号 (Signal)：我们关心的效应，即两个样本均值之间的差异。差异越大，信号越强。 - 噪声 (Noise)：数据的随机变异性或不确定性，通常用样本均值的{{{standard error}}}来衡量。数据的变异性越大，噪声越强。
t检验计算出的统计量被称为 t值 (t-value)，其基本公式可以概括为：
$$ t = \frac{\text{信号}}{\text{噪声}} = \frac{\text{样本均值之差}}{\text{均值之差的标准误}} $$
一个绝对值较大的t值意味着，观测到的均值差异相比于数据的随机波动来说非常显著，这为我们拒绝{{{null hypothesis}}}（即假设总体均值没有差异）提供了更有力的证据。
## t检验的基本假设
为了保证t检验结果的有效性和准确性，样本数据通常需要满足以下几个基本假设：
1. 独立性 (Independence)：所有观测值都是相互独立的。例如，在一个独立样本t检验中，一个组的成员不应以任何方式影响另一组的成员。 2. 正态性 (Normality)：数据应来自于一个近似{{{normality}}}分布的总体。然而，根据{{{Central Limit Theorem}}}，当样本量足够大时（例如 $n > 30$），即使原始总体分布不是正态的，样本均值的分布也会趋于正态，因此t检验对于偏离正态性的情况具有一定的稳健性。可以通过夏皮罗-威尔克检验（Shapiro-Wilk test）或Q-Q图来检验正态性。 3. 方差齐性 (Homogeneity of Variances)：在进行独立样本t检验时，假定两个独立总体的{{{variance}}}是相等的。这个假设可以通过{{{Levene's test}}}或F检验来验证。如果这个假设不成立，应使用不受方差齐性假设限制的{{{Welch's t-test}}}。 4. 数据尺度 (Scale of Measurement)：因变量必须是连续变量（如身高、体重、分数）或有序分类变量（如李克特量表得分）。
## t检验的类型
根据研究设计和数据特征，t检验主要分为三种类型：
### 1. 单样本t检验 (One-Sample t-test)
用途：用于检验单个样本的均值($\bar{x}$)是否与一个已知的或假设的总体均值($\mu_0$)存在显著差异。
零假设 ($H_0$)：$H_0: \mu = \mu_0$ （样本所代表的总体的均值等于假设值） 备择假设 ($H_1$)：$H_1: \mu \neq \mu_0$ （双尾检验），或 $H_1: \mu > \mu_0$ 或 $H_1: \mu < \mu_0$ （单尾检验）
计算公式： $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$ 其中： - $\bar{x}$ 是样本均值。 - $\mu_0$ 是已知的或假设的总体均值。 - $s$ 是样本标准差。 - $n$ 是样本量。
该检验的{{{degrees of freedom}}} (df) 为 $n-1$。
示例：某制造商声称其生产的电池平均寿命为500小时。我们随机抽取了25节电池进行测试，测得其平均寿命为485小时，样本标准差为30小时。我们可以使用单样本t检验来判断这批电池的平均寿命是否显著低于500小时。
### 2. 独立样本t检验 (Independent Samples t-test)
用途：用于比较两个独立组的均值是否存在显著差异。例如，比较实验组和对照组的测试成绩。
零假设 ($H_0$)：$H_0: \mu_1 = \mu_2$ （两个总体的均值相等） 备择假设 ($H_1$)：$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
计算公式 (假设方差相等)： 当假定两个总体的方差相等时，我们首先计算一个合并标准差 (Pooled Standard Deviation, $s_p$)： $$ s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}} $$ 然后计算t值： $$ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $$ 其中： - $\bar{x}_1$ 和 $\bar{x}_2$ 分别是两个样本的均值。 - $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 分别是两个样本的方差。 - $n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的样本量。 该检验的自由度 (df) 为 $n_1 + n_2 - 2$。
Welch's t-test (假设方差不相等)：当方差齐性假设不满足时，应使用 Welch's t-test，它不依赖于方差相等的假设，因此在实际应用中更为稳健和推荐。其t值计算公式为： $$ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $$ 其自由度的计算也更为复杂，采用Welch-Satterthwaite方程。
示例：一项研究想要比较两种不同教学方法对学生数学成绩的影响。随机抽取40名学生，分为两组，每组20人，分别接受不同的教学方法。学期结束后，通过独立样本t检验比较两组学生的平均成绩。
### 3. 配对样本t检验 (Paired Samples t-test)
用途：用于比较两个相关样本或重复测量的均值是否存在显著差异。通常用于“同组前后对比”或“配对设计”的研究。例如，比较同一组病人在服药前后的血压变化。
这种检验的逻辑是将配对数据的差异值 ($d_i = x_{i, \text{after}} - x_{i, \text{before}}$) 作为一个新的单样本，然后对这个差异样本进行单样本t检验，看其均值是否显著不为零。
零假设 ($H_0$)：$H_0: \mu_d = 0$ （总体差异的均值为零） 备择假设 ($H_1$)：$H_1: \mu_d \neq 0$
计算公式： $$ t = \frac{\bar{d} - 0}{s_d / \sqrt{n}} = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} $$ 其中： - $\bar{d}$ 是配对差异的平均值。 - $s_d$ 是配对差异的标准差。 - $n$ 是配对的数量。
该检验的自由度 (df) 为 $n-1$。
示例：为了评估一种新的降压药的效果，研究人员测量了15名高血压患者服药前的收缩压，然后在他们服用该药物一个月后再次测量其收缩压。通过配对样本t检验，可以判断该药物是否对降低收缩压有显著效果。
## 结果的解释
t检验的结果通常包含三个关键信息：t值、自由度 (df) 和{{{p-value}}}。
1. 确定显著性水平 ($\alpha$)：在进行检验之前，研究者需要预先设定一个{{{significance level}}}，通常为 $\alpha = 0.05$。这个值代表了我们愿意承担的犯{{{Type I error}}}（即错误地拒绝了真实的零假设）的最大概率。 2. 计算p值：根据计算出的t值和对应的自由度，可以在t分布表中或使用统计软件查出一个p值。p值表示在零假设为真的情况下，获得当前样本结果或更极端结果的概率。 3. 做出决策： * 如果 $p \leq \alpha$，我们拒绝零假设。这意味着样本均值之间的差异是统计显著的，不太可能是由随机抽样误差引起的。 * 如果 $p > \alpha$，我们未能拒绝零假设。这意味着没有足够的证据表明均值之间存在显著差异，观测到的差异可能仅仅是偶然。
## t检验、z检验与效应量
- t检验与{{{z-test}}}的比较：t检验和z检验非常相似，其主要区别在于是否已知总体的标准差($\sigma$)。当$\sigma$已知时，应使用z检验；当$\sigma$未知，需要用样本标准差($s$)来估计时，应使用t检验。对于大样本（如 $n > 30$），t分布近似于标准正态分布，此时t检验和z检验的结果会非常接近。
- 统计显著性 vs. 实践意义：一个统计上显著的结果（即p值很小）并不一定意味着该差异在现实世界中具有重要的实践意义。特别是在样本量非常大的情况下，即使是非常微小的、没有实际价值的差异也可能在统计上是显著的。
- {{{effect size}}}：为了衡量差异的大小或效应的强度，研究者通常会报告{{{effect size}}}指标，如{{{Cohen's d}}}。效应量是一个标准化的度量，不受样本量的影响，它告诉我们两个均值之间相差多少个标准差，从而帮助我们评估结果的实践重要性。
- 多重比较问题：当需要比较两个以上群体的均值时（例如，比较A、B、C三种教学方法），不应反复进行多次t检验，因为这会显著增加犯{{{Type I error}}}的概率。在这种情况下，应使用{{{ANOVA}}}（方差分析）进行总体检验，如果ANOVA结果显著，再通过事后检验（Post-hoc tests）来确定具体哪些组别之间存在差异。