# 动态博弈 (Dynamic Game)
动态博弈 (Dynamic Game) 是{{{博弈论}}}的一个核心分支，它研究的是参与人在不同时间点、按照一定顺序做出决策的战略互动情景。与所有参与人同时决策的{{{静态博弈}}} (Static Game) 不同，动态博弈的核心特征在于 行动的序列性 (Sequentiality) 和 信息的传递性 (Information Transmission)。在一个动态博弈中，后行动的参与人可以观察到（至少部分）先行动的参与人所采取的行动，并以此为依据来制定自己的最优策略。
这种时间维度上的先后顺序使得威胁、承诺、声誉等因素在博弈中扮演了至关重要的角色。因此，动态博弈为分析现实世界中更为复杂的战略互动（如企业间的市场进入与反击、国际关系中的谈判、以及法律程序中的诉讼与和解等）提供了更贴切的分析框架。
## 动态博弈的表述：扩展式博弈
为了清晰地描述动态博弈的结构，经济学家通常使用 扩展式表述 (Extensive Form Representation)，也就是我们常说的 博弈树 (Game Tree)。一个博弈树由以下几个基本要素构成：
1. 节点 (Nodes)：博弈树中的点。 * 初始节点 (Initial Node)：博弈的起点，代表第一个决策的发生。 * 决策节点 (Decision Nodes)：博弈进程中，轮到某个参与人做出行动选择的点。每个决策节点都明确指定了该由哪位参与人行动。 * 终点节点 (Terminal Nodes)：博弈的终点，代表所有决策已经完成，博弈结束。每个终点节点都对应一组特定收益。
2. 枝 (Branches)：连接节点的线段，代表在某个决策节点上可以采取的 行动 (Action)。
3. 信息集 (Information Sets)：这是理解动态博弈的关键概念。一个信息集是某个参与人的一个或多个决策节点的集合。如果多个决策节点同属于一个信息集，意味着当轮到这位参与人行动时，他/她无法区分自己究竟处于这个集合中的哪一个具体节点上。 * 当一个博弈中所有的信息集都只包含一个决策节点时，我们称之为 {{{完美信息博弈}}} (Game of Perfect Information)。这意味着每个参与人在做决策时，都确切地知道博弈进行到哪一步，以及之前所有参与人采取了什么行动。例如，{{{象棋}}}和围棋。 * 当博弈中至少存在一个信息集包含多个决策节点时，我们称之为 {{{不完美信息博弈}}} (Game of Imperfect Information)。这意味着至少有一位参与人在决策时，不完全清楚博弈的历史进程。
4. 收益 (Payoffs)：在每一个终点节点上，都会明确标示出博弈结束后，各个参与人获得的效用或回报。这通常用一个向量表示，例如 $(u_1, u_2, \ldots, u_n)$，其中 $u_i$ 是参与人 $i$ 的收益。
## 动态博弈的解概念
虽然{{{纳什均衡}}} (Nash Equilibrium) 的概念同样适用于动态博弈，但它在动态环境下存在严重缺陷。某些纳什均衡可能依赖于 不可信威胁 (Non-credible Threat)——即某个参与人声称要采取某种行动，但当博弈真的进行到那个决策点时，采取该行动实际上对其自身是不利的。理性的参与人不会执行这种对自己有害的威胁。
为了剔除这些不合理的均衡，{{{博弈论}}}发展出了更具说服力的解概念，其中最核心的是{{{子博弈精炼纳什均衡}}}。
### 子博弈精炼纳什均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE)
{{{子博弈}}} (Subgame) 是原始博弈的一部分，它本身也构成一个完整的博弈。一个子博弈必须满足： 1. 它始于一个只包含单个决策节点的信息集。 2. 它包含该决策节点之后的所有节点和分支。 3. 它不分割任何信息集。
{{{子博弈精炼纳什均衡}}} (SPNE) 的定义是：一个策略组合，该策略组合在整个博弈的每一个子博弈中都构成一个{{{纳什均衡}}}。
这个概念的精妙之处在于，它要求参与人的策略在博弈的任何一个可能阶段都是最优的，即使这个阶段在均衡路径上并不会真的出现。这自然而然地排除了所有不可信威胁，因为一个不可信威胁在其对应的子博弈中并不是最优选择，因此也就不可能构成该子博弈的纳什均衡。
### 求解方法：逆向归纳法 (Backward Induction)
对于有限期的完美信息动态博弈，寻找SPNE的标准方法是 逆向归纳法 (Backward Induction)。其步骤如下：
1. 从博弈的最后一个阶段开始分析：找到博弈树中最接近终点节点的那些决策节点。 2. 确定最后阶段的最优行动：在每一个最后的决策节点上，确定轮到行动的参与人为了最大化自身收益会选择哪个行动。 3. “剪枝”并向上回溯：将最后阶段的最优行动所带来的收益作为该决策节点的收益，并将其视为一个新的、简化的终点。然后，移动到倒数第二个阶段的决策节点，重复上述分析过程。 4. 持续回溯直至初始节点：不断重复此过程，一步步向博弈的初始节点回溯，直到确定了初始节点的参与人的最优行动。
所有在回溯过程中确定的最优行动路径组合起来，就构成了该博弈的子博弈精炼纳什均衡。
#### 示例：市场进入博弈
假设一个潜在的 进入者 (Entrant) 考虑是否进入一个由 在位者 (Incumbent) 垄断的市场。 * 阶段一：进入者选择 进入 (Enter) 或 不进入 (Stay Out)。 * 如果不进入，博弈结束。收益为：进入者 ＄0，在位者 ＄2（维持垄断利润）。 * 阶段二：如果进入者选择进入，则轮到在位者决策。在位者可以选择 斗争 (Fight)（例如发动价格战）或 默许 (Accommodate)（接受市场被瓜分）。 * 如果斗争，两败俱伤。收益为：进入者 ＄-1，在位者 ＄-1。 * 如果默许，双方瓜分市场。收益为：进入者 ＄1，在位者 ＄1。
我们使用逆向归纳法来求解SPNE： 1. 分析阶段二（在位者的决策）：在位者面临进入者已经进入的局面（这是一个子博弈）。他比较选择“斗争”的收益（＄-1）和选择“默许”的收益（＄1）。作为{{{理性人}}}，他会选择“默免”，因为 $1 > -1$。 2. 回溯到阶段一（进入者的决策）：进入者在决策时，能够预见到如果自己进入，理性的在位者将会选择“默许”，从而自己将获得 ＄1 的收益。他将这个预期的收益与“不进入”的收益（＄0）进行比较。因为 $1 > 0$，进入者会选择“进入”。
因此，这个博弈的 子博弈精炼纳什均衡 是：（进入者选择 进入；在位者选择 默许）。均衡结果是进入者进入市场，在位者默许，双方收益为 (＄1, ＄1)。
注意，(不进入, 斗争) 也是一个{{{纳什均衡}}}，因为它依赖于在位者“你敢进来我就斗争”的威胁。但这个威胁是不可信的，因此它不是一个SPNE。
## 动态博弈的扩展
### 重复博弈 (Repeated Games)
{{{重复博弈}}}是动态博弈的一种重要特例，其中同一个{{{静态博弈}}}（称为 阶段博弈, Stage Game）被重复进行多期。 * 在 {{{有限重复博弈}}} (Finitely Repeated Games) 中，如果阶段博弈有唯一的纳什均衡，那么根据逆向归纳法，每一期的唯一SPNE就是重复进行该纳什均衡。 * 在 {{{无限重复博弈}}} (Infinitely Repeated Games)（或结束概率不为1的博弈）中，情况则大为不同。由于没有明确的“最后一期”，参与人需要考虑其当前行为对未来合作关系的影响。这使得合作成为可能。{{{无名氏定理}}} (Folk Theorem) 指出，如果参与人足够有耐心（即未来的收益足够重要，{{{贴现因子}}} 足够高），那么任何比纳什均衡结果对所有人都好的收益组合，都可以通过某种策略（如“冷酷触发策略”）作为SPNE来实现。
### 不完美信息动态博弈
当博弈存在不完美信息时，逆向归纳法不再适用。此时需要更复杂的解概念，如 {{{精炼贝叶斯均衡}}} (Perfect Bayesian Equilibrium, PBE)。PBE不仅要求策略是最优的，还引入了 {{{信念}}} (Beliefs) 的概念，即参与人对于自己处于信息集中哪个节点的主观概率判断，并要求这些信念需要通过{{{贝叶斯法则}}} (Bayes' Rule) 进行理性更新。