# 几何平均数 (Geometric Mean)
几何平均数 (Geometric Mean) 是一种衡量{{{集中趋势}}} (Central Tendency) 的平均数，特别适用于处理那些本质上具有乘法关系或指数增长特性的数据集，例如{{{增长率}}}、{{{比率}}}或{{{复利}}}。它通过将 $n$ 个数值的{{{乘积}}}开 $n$ 次方根来计算。
与更为人熟知的{{{算术平均数}}} (Arithmetic Mean) 不同，后者通过加总所有数值然后除以其个数来计算，几何平均数关注的是数据间的比例关系。因此，在{{{金融}}}学、经济学、生物学等领域中，当分析随时间变化的百分比或增长因子时，几何平均数是更为恰当的度量。
## 定义与计算
对于一组包含 $n$ 个正数的数据集 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，其几何平均数 $G$ 的计算公式为：
$$ G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{\frac{1}{n}} $$
需要特别注意，这个定义要求所有 $x_i$ 均为正数。如果数据集中包含0，几何平均数将为0。如果包含负数，则可能导致结果为虚数或无定义，因此几何平均数通常不用于包含负值的数据集。
### 对数形式
在实际计算中，尤其是当数值非常大或非常小时，直接计算乘积可能会导致数值溢出。此时，利用{{{对数}}} (Logarithm) 的性质可以极大地简化计算。几何平均数的对数等于数据集中各数值对数的算术平均数。
$$ \ln(G) = \ln\left(\left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{\frac{1}{n}}\right) = \frac{1}{n} \ln\left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i) $$
因此，我们可以先计算各数值对数的算术平均值，然后取其反对数（指数）来得到几何平均数：
$$ G = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\right) $$
这种对数关系揭示了几何平均数的本质：它将一个乘法问题转化为一个加法问题进行处理。
## 应用场景与释义
几何平均数的核心应用在于其能够正确地平均“比率”。下面通过一个典型的投资回报率例子来说明其重要性。
场景：计算平均年化投资回报率
假设一项初始投资为 ＄100,000。 * 第一年，投资增值 20% (增长因子为 1.20)，年末价值变为 ＄120,000。 * 第二年，投资贬值 10% (增长因子为 0.90)，年末价值变为 ＄108,000。 * 第三年，投资增值 15% (增长因子为 1.15)，年末价值变为 ＄124,200。
错误的计算方式：使用算术平均数
如果我们用算术平均数来计算年均增长率： $$ \text{算术平均增长率} = \frac{20\% + (-10\%) + 15\%}{3} = \frac{25\%}{3} \approx 8.33\% $$ 根据这个结果，三年的最终价值应为 ＄100,000 $\times (1.0833)^3 \approx$ ＄127,122，这与实际的最终价值 ＄124,200 不符。因此，算术平均数给出了一个被高估的、误导性的结果。
正确的计算方式：使用几何平均数
我们应该对增长因子（1+回报率）使用几何平均数来找到恒定的年均增长因子。 $$ \text{几何平均增长因子} = \sqrt[3]{1.20 \times 0.90 \times 1.15} = \sqrt[3]{1.242} \approx 1.0749 $$ 这个结果意味着，平均而言，这项投资每年以 7.49% 的速度增长。我们可以验证这个结果： $$ \text{最终价值} = \text{＄}100,000 \times (1.0749)^3 \approx \text{＄}100,000 \times 1.242 = \text{＄}124,200 $$ 这个结果与实际的最终价值完全吻合。因此，几何平均数准确地反映了在整个投资期间，能够产生相同最终结果的恒定年度{{{投资回报率}}} (Return on Investment)。
其他重要应用场景包括： * 计算通货膨胀率：在计算多年的平均{{{通货膨胀率}}}时。 * 构建金融指数：一些市场{{{指数}}}，特别是等权重指数，会使用几何平均法来计算。 * 科学与工程：在处理物理或生物过程中具有指数变化规律的数据时，例如细胞增长、放射性衰变等。
## 主要性质
1. 与算术平均数的关系：算术-几何平均数不等式 对于任何一组非负实数，其{{{算术平均数}}}总是大于或等于其几何平均数。等号成立的唯一情况是当且仅当数据集中所有数值都相等时。这被称为{{{算术-几何平均数不等式}}} (AM-GM Inequality)。 $$ \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n} $$ 这个不等式意味着，对于波动的数据集，算术平均数会比几何平均数更大。数据的波动性越大，两者之间的差距也越大。
2. 对异常值的敏感性 与算术平均数相比，几何平均数对极大{{{异常值}}} (Outlier) 的敏感度较低。例如，对于数据集 {2, 4, 8, 256}，其算术平均数为 67.5，而几何平均数为 $\sqrt[4]{8192} \approx 9.51$。几何平均数更好地反映了数据的中心位置。 然而，几何平均数对接近零的数值极其敏感。只要数据集中有一个值为0，无论其他值多大，几何平均数都将为0。
3. 标度不变性 如果将数据集中的每个数值都乘以一个正常数 $c$，那么新的几何平均数将是原几何平均数乘以 $c$。 $$ G(cx_1, cx_2, \ldots, cx_n) = c \cdot G(x_1, x_2, \ldots, x_n) $$
## 与其他平均数的比较
在{{{统计学}}}中，选择哪种平均数取决于数据的性质和分析的目的。
* {{{算术平均数}}} (Arithmetic Mean)：适用于数据呈加法关系或大致对称分布的情况。它回答了“如果所有值都相等，它们会是多少才能得到相同的总和？”的问题。 * 几何平均数 (Geometric Mean)：适用于数据呈乘法关系、比率、或指数增长的情况。它回答了“如果每个时期的增长率都相同，它会是多少才能得到相同的最终结果？”的问题。 * {{{调和平均数}}} (Harmonic Mean)：适用于平均速率、速度或其他比率的倒数有意义的情况。
总而言之，几何平均数是数据分析工具箱中一个不可或缺的工具，尤其是在处理随时间变化的百分比和金融回报时，它提供了比算术平均数更精确和有意义的度量。