# 对称矩阵 (Symmetric Matrix)
对称矩阵 (Symmetric Matrix) 是{{{线性代数}}}中一类非常重要的{{{方阵}}} (Square Matrix)。一个方阵 $A$ 如果等于其自身的{{{转置}}} (Transpose)，则称其为对称矩阵。
具体而言，如果一个 $n \times n$ 的方阵 $A = (a_{ij})$ 满足： $$ A = A^T $$ 或者从元素层面来看，对于所有的 $i$ 和 $j$（其中 $1 \le i, j \le n$），都有： $$ a_{ij} = a_{ji} $$ 那么 $A$ 就是一个对称矩阵。这个性质意味着矩阵的元素关于其{{{主对角线}}} (Main Diagonal)（从左上到右下的对角线）是对称的。
### 示例 一个 $2 \times 2$ 的对称矩阵： $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} $$ 一个 $3 \times 3$ 的对称矩阵： $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad B^T = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} $$
## 基本性质
对称矩阵具有许多优良的代数性质：
1. 线性组合: * 任意两个 $n \times n$ 对称矩阵的和仍然是 উহা矩阵。如果 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵，则 $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$。 * 一个对称矩阵的{{{标量乘法}}} (Scalar Multiplication) 结果仍然是对称矩阵。如果 $A$ 是对称矩阵，c 是一个标量，则 $(cA)^T = cA^T = cA$。 * 因此，所有 $n \times n$ 的实对称矩阵构成了所有 $n \times n$ 实矩阵的{{{向量空间}}}的一个{{{子空间}}} (Subspace)。这个子空间的维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。
2. 矩阵乘积: * 两个对称矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积 $AB$ 不一定是对称矩阵。$AB$ 是对称矩阵的充分必要条件是 $A$ 和 $B$ {{{交换}}} (Commute)，即 $AB = BA$。 * 证明: $(AB)^T = B^T A^T$。因为 $A$ 和 $B$ 是对称的，所以 $B^T=B$ 和 $A^T=A$。因此 $(AB)^T = BA$。若要使 $AB$ 成为对称矩阵，则必须有 $(AB)^T = AB$，这等价于 $BA = AB$。 * 对于任意一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$（不一定是方阵），$A^T A$ 和 $A A^T$ 都是对称矩阵。 * 证明: $(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$。同理，$(A A^T)^T = (A^T)^T A^T = A A^T$。这个性质在统计学中极为重要，因为{{{协方差矩阵}}}就是以这种形式构造的。
3. 逆矩阵: * 如果一个对称矩阵 $A$ 是{{{可逆矩阵}}} (Invertible Matrix)，那么它的{{{逆矩阵}}} (Inverse Matrix) $A^{-1}$ 也一定是对称矩阵。 * 证明: 我们知道 $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$。因为 $A$ 是对称的，所以 $A^T=A$。因此，$(A^{-1})^T = A^{-1}$。
## 谱定理 (Spectral Theorem)
对称矩阵最重要的特性体现在其{{{特征值}}} (Eigenvalues) 和{{{特征向量}}} (Eigenvectors) 上，这由{{{谱定理}}} (Spectral Theorem) 深刻地揭示。谱定理是线性代数的核心结果之一。
对于一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$，谱定理包含以下三个核心结论：
1. 所有特征值均为实数：对称矩阵的特征值不可能是非实数的{{{复数}}} (Complex Numbers)。 * 简要证明思路：假设 $\lambda$ 是一个特征值，$\mathbf{v}$ 是对应的特征向量，满足 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$。通过考察表达式 $\mathbf{v}^* A \mathbf{v}$（其中 $\mathbf{v}^*$ 是 $\mathbf{v}$ 的{{{共轭转置}}}），可以证明 $\lambda$ 必须等于其自身的共轭，因此 $\lambda$ 是{{{实数}}} (Real Number)。
2. 不同特征值对应的特征向量相互正交：如果 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是两个不同的特征值，它们对应的特征向量 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 必定是{{{正交}}} (Orthogonal) 的，即它们的点积为零 ($\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0$)。 * 简要证明思路：考虑标量 $\mathbf{v}_1^T A \mathbf{v}_2$。一方面，它等于 $\lambda_2(\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2)$。另一方面，利用 $A=A^T$，它也等于 $\lambda_1(\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2)$。因此我们有 $(\lambda_1 - \lambda_2)(\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2) = 0$。因为 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以必然有 $\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0$。
3. 正交可对角化：一个 $n \times n$ 的实矩阵是 উহা矩阵的充分必要条件是它可以被{{{正交对角化}}} (Orthogonally Diagonalizable)。 * 这意味着存在一个{{{正交矩阵}}} (Orthogonal Matrix) $P$ 和一个{{{对角矩阵}}} (Diagonal Matrix) $D$，使得： $$ A = PDP^T $$ * 这里的正交矩阵 $P$ 的列是由 $A$ 的 $n$ 个相互正交且单位化的特征向量组成的{{{标准正交基}}} (Orthonormal Basis)。 * 对角矩阵 $D$ 的对角线元素是与 $P$ 中特征向量一一对应的特征值。 * 由于正交矩阵满足 $P^{-1} = P^T$，这个分解也可以写成 $A = PDP^{-1}$，这正是标准的对角化形式。
这个分解也被称为矩阵的{{{谱分解}}} (Spectral Decomposition) 或{{{特征分解}}} (Eigen-decomposition)。它可以被展开为： $$ A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mathbf{u}_i \mathbf{u}_i^T $$ 其中 $\lambda_i$ 是特征值，$\mathbf{u}_i$ 是对应的单位特征向量。这个形式揭示了对称矩阵可以被看作是一系列由其特征向量定义的、沿着特定方向的拉伸或压缩的线性组合。
## 应用
对称矩阵的优美性质使其在众多科学与工程领域中扮演着核心角色。
* 二次型与优化： 任何一个{{{二次型}}} (Quadratic Form) $q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 都可以由一个对称矩阵 $A$ 来定义。二次型的正负性质完全由 $A$ 的特征值决定。 * 如果 $A$ 的所有特征值都为正，则称 $A$ 为{{{正定矩阵}}} (Positive Definite Matrix)，此时二次型 $q(\mathbf{x}) > 0$ 对所有非零向量 $\mathbf{x}$ 成立。 * 如果 $A$ 的所有特征值都为非负，则称 $A$ 为{{{半正定矩阵}}} (Positive Semi-definite Matrix)。 这在多变量微积分和{{{优化理论}}} (Optimization) 中至关重要，例如，一个函数的{{{Hesse矩阵}}} (Hessian Matrix) 是对称的，其正定性是判断一个临界点是否为局部极小值的关键。
* 统计学与数据科学： {{{协方差矩阵}}} (Covariance Matrix) 和{{{相关系数矩阵}}} (Correlation Matrix) 都是对称且半正定的。它们描述了多个{{{随机变量}}} (Random Variables) 之间的线性关系。在{{{主成分分析}}} (Principal Component Analysis, PCA) 中，人们通过对协方差矩阵进行谱分解，找到数据方差最大的方向（即特征值最大的特征向量），从而实现数据降维。
* 物理与工程学： 在经典力学中，刚体的惯性张量是一个对称矩阵。在连续介质力学中，应力和应变张量也是对称的。在量子力学中，可观测的物理量（如能量、动量）由{{{厄米特算子}}}表示，其在有限维空间中的矩阵表示就是{{{厄米特矩阵}}} (Hermitian Matrix)，这是对称矩阵在复数域的推广。
* 图论： 一个无向图的{{{邻接矩阵}}} (Adjacency Matrix) 是一个对称矩阵。矩阵的元素 $a_{ij}=1$ 表示顶点 $i$ 和 $j$ 之间有边相连。该矩阵的谱（特征值集合）可以揭示图的许多重要结构特性，如连通性、社群结构等。
## 复数域的推广：厄米特矩阵
对称矩阵的概念可以推广到复数域。一个复数方阵 $A$ 如果等于其自身的{{{共轭转置}}} (Conjugate Transpose) $A^*$（也记作 $A^H$），则称其为{{{厄米特矩阵}}} (Hermitian Matrix)。 $$ A = A^* $$ 厄米特矩阵同样拥有实数特征值，并且可以被{{{酉矩阵}}} (Unitary Matrix) 对角化，这是正交矩阵在复数域的对应概念。