# 单位矩阵 (Identity Matrix)
单位矩阵 (Identity Matrix)，在{{{线性代数}}}中通常记为 $I$ 或 $I_n$，是一个特殊的{{{方阵}}}。它的主要特征是其{{{主对角线}}}上的元素全部为 1，而所有非主对角线上的元素全部为 0。单位矩阵在{{{矩阵乘法}}}中的作用，类似于数字 1 在普通乘法中的作用，因此它也被称为乘法单位元 (Multiplicative Identity)。
一个 $n \times n$ 的单位矩阵 $I_n$ 可以表示为： $$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$ 其中，下标 $n$ 表示这个方阵的{{{维度}}}（行数和列数）。在上下文清晰的情况下，下标 $n$ 常常被省略，直接用 $I$ 表示。
### 示例
* $I_1 = (1)$ * $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ * $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ * $I_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
## 核心性质：乘法单位元
单位矩阵最核心的性质是，任何{{{矩阵}}}与单位矩阵相乘（在维度允许的情况下），结果都等于其本身。这就像任何数字乘以 1 结果不变一样。
形式上，对于任意一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$： $$ A I_n = A $$ $$ I_m A = A $$
重要提示：请注意在矩阵乘法中，左乘和右乘的单位矩阵维度可能不同。 * 当单位矩阵在右侧时 ($A I_n$)，其维度 $n$ 必须与矩阵 $A$ 的列数相匹配。 * 当单位矩阵在左侧时 ($I_m A$)，其维度 $m$ 必须与矩阵 $A$ 的行数相匹配。
### 理解乘法过程
我们通过一个具体的例子来理解为什么 $A I = A$。假设有一个 $2 \times 3$ 的矩阵 $A$： $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} $$ 我们用 $A$ 右乘一个 $3 \times 3$ 的单位矩阵 $I_3$： $$ A I_3 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 根据{{{矩阵乘法}}}的规则，结果矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，是 $A$ 的第 $i$ 行与 $I_3$ 的第 $j$ 列的对应元素乘积之和。
* 计算结果矩阵的第一行第一列： $(a_{11} \times 1) + (a_{12} \times 0) + (a_{13} \times 0) = a_{11}$ * 计算结果矩阵的第一行第二列： $(a_{11} \times 0) + (a_{12} \times 1) + (a_{13} \times 0) = a_{12}$ * 计算结果矩阵的第一行第三列： $(a_{11} \times 0) + (a_{12} \times 0) + (a_{13} \times 1) = a_{13}$
以此类推，我们会发现结果矩阵的每一项都恰好等于原始矩阵 $A$ 的对应项。 $$ A I_3 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = A $$ 同理，可以用 $I_2 A$ 来验证左乘的情况。
## 其他重要性质与应用
除了作为乘法单位元，单位矩阵还具有许多其他重要的数学性质。
1. {{{行列式}}} (Determinant) 任何单位矩阵的行列式都等于 1。 $$ \det(I_n) = 1 $$ 这很容易理解，因为单位矩阵是一个上三角矩阵（也是下三角矩阵），其行列式等于主对角线上元素的乘积，即 $1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1$。
2. {{{逆矩阵}}} (Inverse Matrix) 单位矩阵是它自身的逆矩阵。 $$ I^{-1} = I $$ 这源于逆矩阵的定义 $A A^{-1} = I$。将 $A$ 替换为 $I$，我们得到 $I I^{-1} = I$。由于 $I \times B = B$ 对于任何矩阵 $B$ 都成立，因此 $I^{-1}$ 必须等于 $I$。
3. 在求解逆矩阵中的作用 单位矩阵是求解{{{逆矩阵}}}过程中的核心工具。例如，在使用高斯-若尔当消元法 (Gauss-Jordan Elimination) 寻找矩阵 $A$ 的逆 $A^{-1}$ 时，我们会构造一个增广矩阵 $[A | I]$。然后，通过一系列的初等{{{行操作}}} (Elementary Row Operations)，将左侧的 $A$ 矩阵变换为单位矩阵 $I$。当左侧变为 $I$ 时，右侧的矩阵就自动变成了 $A^{-1}$。 $$ [A | I] \xrightarrow{\text{行操作}} [I | A^{-1}] $$
4. {{{线性变换}}} (Linear Transformation) 在几何上，单位矩阵代表恒等变换 (Identity Transformation)。当用单位矩阵乘以一个{{{向量}}}时，该向量保持不变。这意味着它所代表的线性变换不会对{{{向量空间}}}中的任何向量产生旋转、缩放、反射或剪切等效果。 $$ I \vec{v} = \vec{v} $$
5. {{{特征值}}}与{{{特征向量}}} (Eigenvalues and Eigenvectors) 单位矩阵 $I_n$ 的所有{{{特征值}}}都等于 1。这是因为对于任何非零向量 $\vec{v}$，都有 $I\vec{v} = \vec{v} = 1 \cdot \vec{v}$，这完全符合特征值方程 $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ 的定义，其中特征值 $\lambda = 1$。因此，对于单位矩阵，$n$ 维空间中任何非零向量都是其对应于特征值 1 的{{{特征向量}}}。
## 形式化定义
单位矩阵的元素 $(I_n)_{ij}$（即第 $i$ 行第 $j$ 列的元素）可以用{{{克罗内克δ函数}}} (Kronecker Delta) $\delta_{ij}$ 来简洁地定义： $$ (I_n)_{ij} = \delta_{ij} $$ 其中，克罗内克δ函数的定义为： $$ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i=j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases} $$ 这个定义精确地描述了单位矩阵对角线上为 1，其他位置为 0 的结构。