# 样本 (Sample)
在{{{统计学}}} (Statistics) 和{{{计量经济学}}} (Econometrics) 中，样本是指从一个更大的集合——{{{总体}}} (Population)——中选取出来的、由一个或多个观测值组成的子集。研究样本的目的是为了通过分析这个子集的特征来推断或估计总体的特征。样本是进行{{{统计推断}}} (Statistical Inference) 的基础，几乎所有实证研究都依赖于从样本中获取信息。
## 为什么使用样本
理论上，研究整个总体（即进行{{{普查}}} (Census)）可以获得最准确的信息。然而，在绝大多数实际应用中，对整个总体进行研究是不现实的，甚至是不可行的。使用样本的主要原因包括：
* 经济性 (Cost-Effectiveness)：调查一个较小的样本通常比调查整个总体要便宜得多。例如，在进行全国性的消费者信心调查时，访问几千个家庭的成本远低于访问全国所有家庭。 * 时效性 (Timeliness)：收集和分析样本数据比处理总体数据要快得多，这使得决策者能够更快地获得所需信息。例如，在选举前的民意调查中，快速获得结果至关重要。 * 可行性 (Feasibility)：在某些情况下，总体是无限的或难以确定的。例如，研究某一特定基因突变在人类中的普遍性，其总体是全人类，无法完全接触。 * 破坏性检验 (Destructive Testing)：有些研究需要在测试过程中损坏或消耗掉被测物品。例如，为了测试一批灯泡的平均寿命，我们不能将所有灯泡都点亮直到它们烧坏，否则将没有任何产品可供销售。在这种情况下，只能抽取一个样本进行测试。
因此，我们的目标是选择一个具有代表性的样本，通过科学地分析这个样本，来对我们真正感兴趣的总体做出可靠的结论。
## 核心概念与术语
为了准确地理解样本，必须掌握以下几个关键术语：
* {{{总体}}} (Population)：研究者感兴趣的所有个体、项目或事件的完整集合。例如，一个国家的所有选民、一家工厂生产的所有芯片、某地区的所有患有特定疾病的病人。我们通常用大写字母 $N$ 表示总体的大小。 * {{{抽样单位}}} (Sampling Unit)：构成总体的基本单位，也是抽样时被抽取的基本对象。它可以是个人、家庭、公司或产品。 * {{{样本容量}}} (Sample Size)：一个样本中所包含的抽样单位的数量，通常用小写字母 $n$ 表示。样本容量的大小是影响统计推断精度的关键因素。 * {{{参数}}} (Parameter)：用于描述总体特征的数值度量。例如，总体平均值（$\mu$）、总体方差（$\sigma^2$）、总体比例（$P$）。参数通常是未知的固定值，是我们需要通过样本来估计的目标。 * {{{统计量}}} (Statistic)：用于描述样本特征的数值度量。例如，样本平均值（$\bar{x}$）、样本方差（$s^2$）、样本比例（$\hat{p}$）。统计量是从样本数据中计算出来的，它的值会随着样本的不同而变化，因此它是一个{{{随机变量}}} (Random Variable)。统计量的主要用途是作为相应总体参数的{{{估计量}}} (Estimator)。
一个核心原则是：我们使用样本统计量 ($\bar{x}, s^2, \hat{p}$) 来估计或推断未知的总体参数 ($\mu, \sigma^2, P$)。
## 样本的代表性与偏差
一个好的样本必须能够代表它所来自的总体。一个代表性样本 (Representative Sample) 是指其关键特征的分布与总体中这些特征的分布非常相似。如果样本不具有代表性，那么基于该样本得出的任何结论都可能是错误的，这种错误被称为{{{抽样偏差}}} (Sampling Bias)。
* {{{抽样误差}}} (Sampling Error)：这是由抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的自然差异。即使抽样过程完全科学，仅仅因为我们观察的是一部分而非全部，样本平均值 $\bar{x}$ 几乎总会与总体平均值 $\mu$ 有所不同。这种误差是不可避免的，但可以通过增加样本容量 $n$ 来减小。 * {{{抽样偏差}}} (Sampling Bias)：这是由抽样方法中的系统性错误导致的，它会使得样本系统性地偏离总体，从而无法代表总体。这种偏差无法通过增加样本容量来消除，只能通过改进抽样设计来避免。常见的抽样偏差包括： * {{{选择偏差}}} (Selection Bias)：抽样过程本身系统性地排除了总体的某些部分。例如，只在白天通过固定电话进行调查会排除那些主要使用手机或白天不在家的人。 * {{{幸存者偏差}}} (Survivorship Bias)：只关注那些“幸存”下来的观测对象，而忽略了那些“失败”或“消失”的对象。 * {{{无应答偏差}}} (Non-response Bias)：被选中的样本个体拒绝参与调查，或无法被联系上，并且这些人的特征与参与调查的人有系统性差异。
## 抽样方法 (Sampling Methods)
抽样方法主要分为两大类：概率抽样和非概率抽样。
### 概率抽样 (Probability Sampling)
在概率抽样中，总体中的每个单位都有一个已知的、非零的被选入样本的概率。这种方法是进行有效统计推断的科学基础，因为它允许我们量化抽样误差。
* {{{简单随机抽样}}} (Simple Random Sampling, SRS)：最基本的概率抽样方法。总体中的每个单位都有完全相等的机会被选中。这类似于从帽子里抽签。在实践中，通常使用计算机随机数生成器来实现。
* {{{系统抽样}}} (Systematic Sampling)：将总体单位排序后，随机选择一个起始点，然后按照一个固定的间隔 $k$（抽样间距）进行抽取。抽样间距 $k$ 的计算公式通常是 $k \approx N/n$。这种方法操作简单，但在总体列表存在周期性模式时可能产生偏差。
* {{{分层抽样}}} (Stratified Sampling)：首先将总体根据某一重要特征划分为若干个互不重叠的子群，称为“层” (Strata)，然后在每个层内独立进行简单随机抽样。这种方法可以确保所有重要子群都在样本中有代表，并且通常能比简单随机抽样得到更精确的估计（即更小的抽样误差）。
* {{{整群抽样}}} (Cluster Sampling)：将总体划分为若干个“群” (Clusters)，通常是基于地理位置或其他自然形成的聚集。然后随机抽取若干个群，并将被抽中群内的所有单位或部分单位作为样本。这种方法在总体分布广泛时可以极大地节约成本，但其抽样误差通常比同样样本容量的简单随机抽样要大。
### 非概率抽样 (Non-probability Sampling)
在非概率抽样中，单位被选中的概率是未知的，选择过程带有主观性。因此，基于非概率样本的统计推断在理论上是无效的，其结果不能被可靠地推广到总体。但这类方法在探索性研究、定性研究或资源极其有限的情况下仍有应用。
* {{{方便抽样}}} (Convenience Sampling)：研究者选择最容易接触到的个体作为样本，例如在街角随意访问路人。这种方法的偏差风险极高。 * {{{判断抽样}}} (Purposive Sampling)：研究者利用自己的专业判断选择他们认为最能代表总体的个体。 * {{{滚雪球抽样}}} (Snowball Sampling)：用于难以接触的特殊总体（如无家可归者、特定社群成员）。研究者先找到少数几个初始成员，然后请他们推荐其他符合条件的成员。 * {{{配额抽样}}} (Quota Sampling)：类似于分层抽样，研究者预先设定样本中不同类别（如性别、年龄段）的配额。但与分层抽样不同的是，在每个类别内，研究者采用方便或判断抽样的方式来完成配额，而非随机抽样。
## 样本在推断统计中的应用
样本的最终目的是服务于{{{推断统计学}}} (Inferential Statistics)。其核心逻辑是使用从样本中计算出的统计量，对总体的未知参数进行估计和检验。
这个过程依赖于一个至关重要的理论概念——{{{抽样分布}}} (Sampling Distribution)。一个统计量（如样本均值 $\bar{x}$）的抽样分布，是指从同一总体中抽取所有可能的、大小为 $n$ 的样本，计算出每个样本的该统计量的值，这些所有可能的值所形成的概率分布。
根据{{{中心极限定理}}} (Central Limit Theorem)，当样本容量 $n$ 足够大时，样本均值 $\bar{x}$ 的抽样分布近似于一个{{{正态分布}}} (Normal Distribution)，无论原始总体的分布形状如何。这个强大的定理使得我们能够：
1. 构建{{{置信区间}}} (Confidence Interval)：提供一个包含总体参数真实值的估计范围，并给出该范围的可信度（例如95%置信）。 2. 进行{{{假设检验}}} (Hypothesis Testing)：根据样本证据，对关于总体参数的某个论断（假设）是接受还是拒绝做出决策。
总之，样本是连接我们已知数据和未知世界的一座桥梁。通过严谨的抽样方法和科学的统计推断，我们可以从有限的观测中获得关于广阔总体的深刻洞见。