# 基 (Basis)
在{{{线性代数}}}中，一个{{{向量空间}}} $V$ 的基 (Basis) 是一个由向量组成的集合 $B = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$，这个集合中的向量需要满足两个关键条件：它们是{{{线性无关}}}的，并且它们可以{{{生成}}} (span) 整个向量空间 $V$。
从概念上讲，基为向量空间提供了一个“坐标系”。一旦我们为向量空间选定了一组基，空间中的任何一个向量都可以用这组基向量的{{{线性组合}}}来唯一地表示。这种表示形式中的系数，就被称为该向量在这组基下的{{{坐标}}} (Coordinates)。
## 形式化定义
一个向量空间 $V$ 的子集 $B \subseteq V$ 被称为 $V$ 的一个基，如果它满足以下两个条件：
1. {{{线性无关}}} (Linear Independence) 集合 $B$ 中的向量是线性无关的。这意味着，对于集合中任意有限个不同的向量 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k\} \subseteq B$，唯一能够使得方程 $$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$$ 成立的标量系数解是 $c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$。换句话说，基集合中的任何一个向量都不能被表示为其他基向量的线性组合。这保证了基集合中没有“冗余”的向量。
2. {{{生成空间}}} (Spanning Set) 集合 $B$ 是 $V$ 的一个生成集。这意味着，对于向量空间 $V$ 中的任意一个向量 $\mathbf{v}$，它都可以被表示为 $B$ 中向量的（有限）线性组合。即，存在一组标量 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 和基向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \in B$，使得： $$\mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_n\mathbf{v}_n$$ 这个条件保证了基集合足以“覆盖”或“构建”出整个向量空间中的每一个向量。
结合这两个条件，基是一个“最小的生成集”，也是一个“最大的线性无关集”。
## 示例
理解基的最好方式是通过具体的例子。
### 示例一：笛卡尔坐标系的{{{标准基}}}
最常见和直观的基是欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的标准基 (Standard Basis)，也称为自然基 (Natural Basis)。
* 在二维空间 $\mathbb{R}^2$（即平面）中，标准基是 $B = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$，其中： $$\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 平面上的任意一个向量 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ 都可以唯一地写成 $\mathbf{v} = a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2$。这里的 $(a, b)$ 就是向量 $\mathbf{v}$ 在标准基下的坐标。
* 在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，标准基是 $B = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$，其中： $$\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
### 示例二：$\mathbb{R}^2$ 的非标准基
一个向量空间通常有无穷多组不同的基。例如，对于 $\mathbb{R}^2$，集合 $B' = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ 也是一组基，其中： $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ 我们可以验证它满足两个条件： 1. 线性无关：方程 $c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 意味着 $c_1+c_2=0$ 和 $c_1-c_2=0$，解得唯一的解是 $c_1=0, c_2=0$。 2. 生成空间：对于任意向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$，我们总能找到系数 $c_1, c_2$ 使其成立。通过求解方程组，我们得到 $c_1 = \frac{x+y}{2}$ 和 $c_2 = \frac{x-y}{2}$。
例如，向量 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ 在标准基下的坐标是 $(3, 5)$。但在基 $B'$ 下，它的坐标是 $c_1 = \frac{3+5}{2} = 4$ 和 $c_2 = \frac{3-5}{2} = -1$。因此，$\mathbf{u} = 4\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$。
### 示例三：{{{多项式}}}空间中的基
向量空间的概念不仅限于几何向量。考虑所有次数不超过2的实系数多项式构成的空间，记为 $P_2(\mathbb{R})$。这个空间的一个标准基是： $$B = \{1, x, x^2\}$$ 空间中的任何一个多项式，如 $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$，都可以看作是这组基向量的线性组合，其坐标为 $(a_0, a_1, a_2)$。
## 核心性质与定理
1. 表示的唯一性 (Uniqueness of Representation) 对于一个给定的基 $B$，向量空间 $V$ 中的每一个向量 $\mathbf{v}$ 都可以被 唯一地 表示为基向量的线性组合。这是基最重要的特性之一，它使得坐标的概念得以成立。如果存在两种表示方式，通过简单的代数运算和利用基的线性无关性，可以证明这两种表示的系数必须完全相同。
2. 维度 (Dimension) 一个非常深刻的定理指出：对于一个给定的{{{有限维向量空间}}}，其所有基都包含相同数量的向量。这个不变的数值被称为该向量空间的{{{维度}}} (Dimension)。 * 例如，$\mathbb{R}^2$ 的维度是 2，因为它的所有基（无论是标准基还是非标准基）都含有2个向量。 * $P_2(\mathbb{R})$ 的维度是 3，因为它的标准基含有3个元素。 * 如果一个向量空间的基包含无限个向量，则称该空间为{{{无限维向量空间}}}。
3. 基的存在性 (Existence of a Basis) 除了只包含零向量的平凡向量空间外，任何一个向量空间都存在一组基。对于无限维空间，这个结论的证明依赖于集合论中的{{{选择公理}}}。
## 基变换 (Change of Basis)
由于同一向量在不同基下有不同的坐标，因此在不同基之间转换坐标是一个核心问题。这个转换过程通过一个称为{{{基变换矩阵}}} (Transition Matrix / Change-of-Basis Matrix)的特殊{{{矩阵}}}来完成。
假设空间 $V$ 有两组基，$B = \{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n\}$ 和 $C = \{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n\}$。任何一个向量 $\mathbf{x} \in V$ 在这两组基下有不同的坐标表示，记为 $[\mathbf{x}]_B$ 和 $[\mathbf{x}]_C$。基变换矩阵 $P_{C \leftarrow B}$ 可以将一个向量从基 $B$ 的坐标转换到基 $C$ 的坐标： $$[\mathbf{x}]_C = P_{C \leftarrow B} [\mathbf{x}]_B$$ 该矩阵的第 $j$ 列是由基 $B$ 中的第 $j$ 个向量 $\mathbf{u}_j$ 在基 $C$ 下的坐标向量 $[\mathbf{u}_j]_C$ 构成的。
## 应用
基是线性代数乃至整个数学的基石概念，其应用无处不在：
* {{{线性变换}}}的矩阵表示：任何一个{{{线性变换}}}都可以通过它作用于基向量上的效果来完全确定。选择不同的基（特别是{{{特征向量}}}组成的基），可以得到该变换的更简洁的矩阵表示（如{{{对角矩阵}}}）。 * 数据压缩与降维：在{{{机器学习}}}和{{{信号处理}}}中，像{{{主成分分析}}} (PCA) 这样的技术，其本质就是寻找一组新的基，使得数据在这组基上的表示能够最大化地保留信息，从而可以用更少的基向量来近似原始数据。 * 函数空间分析：在{{{泛函分析}}}中，函数的概念被推广。例如，{{{傅里叶级数}}}就是将周期函数表示为一组正弦和余弦函数（一组正交基）的线性组合。{{{小波分析}}}则使用另一类函数基（小波基）来分析信号。 * 计算机图形学：物体的旋转、缩放、平移等变换都是通过改变其顶点在特定坐标系（基）下的坐标来完成的。场景中的不同物体可能使用不同的局部坐标系，它们之间的转换就是基变换。