# 信息博弈 (Games of Incomplete Information)
信息博弈，更准确地应称为 不完全信息博弈 (Games of Incomplete Information)，是{{{博弈论}}}的一个核心分支。它研究的是这样一类策略互动情境：至少有一位参与人对其他参与人的某些特征不完全了解。这些未知的特征通常被称为参与人的 "类型" (Type)，可以包括但不限于其他参与人的{{{支付函数}}}、偏好、目标、或其拥有的资源。
在经典的博弈论模型中，我们通常假设所有参与人都拥有 完全信息 (Complete Information)，即每位参与人都知道所有其他参与人的支付函数（即知道游戏规则、每个人的可能策略以及每种策略组合对应的结果）。然而，在现实世界的经济和金融活动中，这种假设往往不成立。例如，在{{{拍卖}}}中，竞拍者不知道其他人的最高支付意愿；在劳动市场中，雇主不完全了解求职者的真实能力；在保险市场中，保险公司不清楚投保人的真实风险水平。这些情境都属于不完全信息博弈的范畴。
## 不完全信息 vs. 不完美信息
在学习信息博弈时，至关重要的是要区分两个容易混淆的概念：不完全信息和不完美信息。
* 不完全信息 (Incomplete Information)：指参与人对其他参与人的 类型（如支付函数）不了解。例如，在扑克牌游戏中，你不知道对手手中的牌是什么，这改变了你对他们可能行动的收益评估，因此这是不完全信息。信息的缺失是关于博弈的根本结构（"who the players are"）。
* 不完美信息 (Imperfect Information)：指参与人在行动时，不知道其他参与人（或自己）在博弈的早期阶段已经采取了的 行动。例如，在“石头剪刀布”中，双方同时出拳，因此在出拳的瞬间，你不知道对手出了什么。信息的缺失是关于博弈的进程历史（"what has happened so far"）。一个典型的{{{扩展式博弈}}}如果含有非单一节点的{{{信息集}}}，就是不完美信息博弈。
所有不完全信息博弈都必然是不完美信息博弈，但反之不成立。这个转换是理解和分析不完全信息博弈的关键。
## 海萨尼转换 (Harsanyi Transformation)
处理不完全信息博弈的主要分析工具是由诺贝尔经济学奖得主约翰·海萨尼 (John Harsanyi) 提出的 海萨尼转换。该方法巧妙地将一个 不完全信息博弈 转换成一个等价的 不完美信息博弈，从而可以使用标准的分析工具。这种转换后的博弈被称为 贝叶斯博弈 (Bayesian Game)。
转换过程如下：
1. 引入虚拟参与人"自然" (Nature)：我们引入一个非策略性的、行动完全随机的虚拟参与人，称为“自然”。 2. "自然"的行动：在博弈开始之前，“自然”首先行动，它根据一个所有参与人都知道的{{{概率分布}}}，为每一位参与人随机选择一个“类型”。 3. 私人信息：每位参与人都被告知了自己的类型，但不知道“自然”为其他参与人选择的类型。他们只知道其他参与人可能类型的{{{先验概率}}}分布。 4. 博弈开始：在“自然”完成类型的分配后，各位参与人根据自己的类型和其他参与人类型的概率分布，开始进行策略选择。
通过这个转换，原本“我不知道你的支付函数是什么”的问题，就变成了“我知道你可能的支付函数有几种，也知道每一种出现的概率，但我不知道在博atis弈开始时‘自然’究竟选择了哪一种”。这使得博弈成为一个不完美信息博弈，因为参与人不知道“自然”的初始行动。
## 贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium)
在不完全信息博弈（或贝叶斯博弈）中，标准的{{{纳什均衡}}}概念不再适用，因为它没有考虑参与人关于其他参与人类型的不确定性。取而代之的核心解概念是 贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium, BNE)。
一个贝叶斯纳什均衡是一个 策略组合，其中每个参与人的策略都规定了其 每一种可能类型 下应该采取的行动。这个策略组合必须满足以下条件：
对于每一位参与人，并且对于其每一种可能的类型，该类型下规定的行动，是在给定其他所有参与人的策略（即其他参与人各种类型下会采取的行动）以及关于其他参与人类型的{{{贝叶斯信念}}}（概率分布）的情况下，能够最大化其{{{期望效用}}}（或期望支付）的行动。
简而言之，BNE 要求每个类型的参与人都做到 事后最优 (ex-post optimal)，即在知道了自己的类型后，根据对别人类型的猜测做出最优反应。
### 数学表述
假设有 $N$ 个参与人，每个参与人 $i$ 的类型空间为 $T_i$。类型 $t_i \in T_i$ 是参与人 $i$ 的私人信息。所有参与人对类型向量 $t=(t_1, t_2, \ldots, t_N)$ 的联合概率分布 $p(t)$ 是共同知识。
一个策略 $s_i(t_i)$ 是一个函数，它指定了参与人 $i$ 在其类型为 $t_i$ 时将采取的行动 $a_i$。
一个策略组合 $s^* = (s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \ldots, s_N^*(\cdot))$构成一个贝叶斯纳什均衡，如果对任意参与人 $i$ 和其任意类型 $t_i \in T_i$，其策略 $s_i^*(t_i)$ 都是最优的，即：
$$ E_{t_{-i}} [u_i(s_i^*(t_i), s_{-i}^*(t_{-i}), t_i, t_{-i}) | t_i] \ge E_{t_{-i}} [u_i(a_i, s_{-i}^*(t_{-i}), t_i, t_{-i}) | t_i] $$
对所有可能的行动 $a_i$ 成立。其中： * $t_{-i}$ 代表除参与人 $i$ 之外所有其他参与人的类型向量。 * $s_{-i}^*(\cdot)$ 代表除参与人 $i$ 之外所有其他参与人的均衡策略。 * $u_i(\cdot)$ 是参与人 $i$ 的支付函数。 * $E_{t_{-i}}[\cdot | t_i]$ 表示在已知自己类型为 $t_i$ 的条件下，对其他参与人所有可能类型 $t_{-i}$ 的分布求期望。这个期望的计算使用了{{{贝叶斯定理}}}和先验概率 $p(t)$。
## 信息博弈的类型与应用
不完全信息博弈可以根据博弈的进行方式，分为静态和动态两大类。
### 1. 静态贝叶斯博弈 (Static Bayesian Games)
参与人同时做出决策，或者在不知道他人行动的情况下做出决策。
* 应用案例：古诺竞争的贝叶斯模型 (Bayesian Cournot Duopoly) 假设两个寡头企业进行产量竞争。企业1的边际成本 $c_1$ 是共同知识，但企业2的边际成本 $c_2$ 可能是高成本 $c_H$ 或低成本 $c_L$，其概率分别为 $p$ 和 $1-p$。企业2知道自己的成本，但企业1不知道。企业1必须基于对企业2是高成本还是低成本的预期来决定自己的最优产量。企业2的策略则是一个函数，规定了自己在是高成本和低成本时分别的最优产量。求解这个博弈就是要找到一个贝叶斯纳什均衡。
* 应用案例：{{{拍卖理论}}} (Auction Theory) 在第一价格或第二价格密封拍卖中，每个竞拍者知道自己的评价（支付意愿），但不知道其他人的评价。每个竞拍者的最优出价策略取决于其对其他人评价分布的信念。
### 2. 动态贝叶斯博弈 (Dynamic Bayesian Games)
参与人按一定顺序行动，后行动者可以观察到先行动者的部分或全部行动，并以此更新自己关于先行动者类型的信念。这类博弈的均衡概念通常是{{{精炼贝叶斯均衡}}} (Perfect Bayesian Equilibrium, PBE)，它对参与人在每个信息集上的信念和策略都提出了更严格的要求。
* {{{信号博弈}}} (Signaling Games)：拥有私人信息的一方（Informed Party）先行动，试图通过其行动（信号）向没有信息的一方（Uninformed Party）传递关于其类型的信息。 * 经典模型：{{{斯彭斯就业市场信号模型}}} (Spence Job Market Signaling Model)。高能力和低能力的求职者（知情方）通过选择不同水平的教育（信号）来向雇主（不知情方）传递信息。如果教育对低能力者来说成本更高，那么高能力者就可能通过获得高学历来将自己与低能力者区分开，从而获得更高的薪水。这可能形成 分离均衡 (Separating Equilibrium)。如果信号成本差异不大，所有类型的求职者可能都会选择相同的教育水平，形成 混同均衡 (Pooling Equilibrium)。
* {{{筛选博弈}}} (Screening Games)：没有信息的一方（Uninformed Party）先行动，通过设计一个合约菜单或机制，来让拥有私人信息的另一方（Informed Party）进行自我选择，从而“筛选”出他们的类型。 * 经典应用：{{{委托-代理问题}}} (Principal-Agent Problem) 中的{{{逆向选择}}} (Adverse Selection)。例如，一个保险公司（不知情方，代理人）提供两种保险合同：一种是高保费、全覆盖；另一种是低保费、高免赔额。高风险客户（知情方，委托人）倾向于选择前者，而低风险客户倾向于选择后者，从而实现了客户类型的筛选。
信息博弈是现代微观经济学、金融学和{{{产业组织理论}}}的基石，它为分析现实世界中广泛存在的{{{信息不对称}}} (Information Asymmetry) 问题提供了强大的理论框架，并深刻地影响了{{{契约理论}}} (Contract Theory)、公司金融、市场设计等诸多领域的研究。