# 系统抽样 (Systematic Sampling)
系统抽样 (Systematic Sampling)，又称为 等距抽样 或 机械抽样，是一种{{{概率抽样}}}方法。它的核心思想是按照一个固定的间隔（或步长）从一个有序的{{{总体}}}列表中抽取{{{样本}}}单元。与{{{简单随机抽样}}}相比，系统抽样在操作上通常更为简便、高效，尤其适用于大型总体。
系统抽样首先从总体中随机选择一个起始点，然后每隔 $k$ 个单位选择下一个抽样单元，直到达到预定的{{{样本容量}}}。这里的 $k$ 被称为抽样间隔 (Sampling Interval)。
## 系统抽样的步骤
执行系统抽样的过程可以分解为以下几个明确的步骤：
1. 确定总体和样本容量： 明确要研究的{{{总体}}}大小，记为 $N$。 确定所需的{{{样本}}}大小，记为 $n$。 获取一个包含所有总体单元的列表，即{{{抽样框}}} (Sampling Frame)。这个列表必须是完整的，并且没有重复。
2. 计算抽样间隔 (k)： 抽样间隔 $k$ 是通过将总体大小 $N$ 除以样本容量 $n$ 来计算的： $$ k = \frac{N}{n} $$ * 如果 $k$ 是整数：这意味着总体可以被完美地划分为 $n$ 个等长的部分，每个部分的长度为 $k$。 * 如果 $k$ 不是整数：在实际操作中，通常会将 $k$ 向下取整，即 $k = \lfloor N/n \rfloor$。这可能会导致最终的样本容量略大于或小于预定的 $n$，但这种差异通常很小，可以接受。另一种处理方法是使用循环系统抽样，以确保样本容量精确为 $n$。
3. 随机选择起始点： 在列表的第 1 个单元到第 $k$ 个单元之间，随机选择一个整数作为起始点，记为 $r$。这个随机选择的起始点是系统抽样中唯一的随机化步骤，它保证了每个单元都有被抽中的机会。 $$ 1 \le r \le k $$
4. 抽取后续样本： 从随机起始点 $r$ 开始，依次加上抽样间隔 $k$ 来确定后续所有被抽中的单元。样本的序号将是： $$ r, \ r+k, \ r+2k, \ r+3k, \ \dots, \ r+(n-1)k $$ 持续这个过程，直到抽取满 $n$ 个样本单元。
### 示例
假设我们要从一所拥有 $N=1000$ 名学生的中学里抽取一个容量为 $n=50$ 的样本，以调查他们的学习习惯。我们已经获取了按学号排列的全校学生名单。
1. 总体和样本容量：$N = 1000$, $n = 50$。 2. 计算抽样间隔：$k = N/n = 1000 / 50 = 20$。 3. 选择随机起始点：在 1 到 20 之间随机选择一个整数。假设我们选中的是 $r=13$。 4. 抽取样本： * 第一个被抽中的学生是名单上的第 13 位。 * 第二个是第 $13 + 20 = 33$ 位。 * 第三个是第 $33 + 20 = 53$ 位。 * 依此类推，直到抽取出第 50 名学生，即第 $13 + (50-1) \times 20 = 13 + 980 = 993$ 位。 * 最终的样本将由名单上序号为 13, 33, 53, 73, $...$, 993 的学生组成。
## 系统抽样的优势
1. 简单易行：与需要生成 $n$ 个随机数的{{{简单随机抽样}}}不同，系统抽样只需要生成一个随机数（起始点）。这使得抽样过程，尤其是在没有计算机辅助的手工抽样中，变得非常简单和快速。 2. 样本分布均匀：系统抽样强制样本单元在整个{{{抽样框}}}中均匀分布。这种"隐性分层"的效果可以避免样本过于集中在总体的某一部分，因此在很多情况下，其样本的{{{代表性}}}可能优于简单随机抽样，从而得到更精确的估计。 3. 成本效益高：由于操作简便，特别是在进行实地调查（例如对街道上的行人进行抽样）时，系统抽样可以节省大量的时间和人力成本。
## 系统抽样的风险与劣势
系统抽样最大的风险来自于周期性 (Periodicity) 或循环性 (Cyclicity)。
1. 周期性偏差 (Periodicity Bias)：如果总体列表中的单元排列存在某种与抽样间隔 $k$ 相吻合的周期性模式，那么系统抽样可能会产生严重{{{偏差}}}的样本。 * 示例：假设一个城市住宅区的调查，抽样框是按“楼-单元-户”排列的。如果每栋楼有 10 户，而我们选择的抽样间隔 $k$ 恰好也是 10 或其倍数。那么，如果我们随机选择的起始点是每栋楼的第 1 户（如 101, 201, 301），我们最终的样本可能全部是楼头或拐角的住户，这些住户在采光、面积、价格等方面可能具有系统性差异，从而导致样本完全不具有代表性。
2. 对抽样框顺序的依赖：系统抽样的结果高度依赖于抽样框的排列顺序。如果列表的顺序是随机的，系统抽样的效果近似于简单随机抽样。如果列表按某个与研究变量相关的变量排序（例如按收入高低排序），系统抽样可以获得类似{{{分层抽样}}}的好处，提高样本效率。但如果存在未被察觉的周期性，则结果会很差。
3. 抽样误差估计困难：从理论上讲，由于只有一个随机起始点，一个系统样本实际上是一个“单点”选择（选择了 $k$ 个可能的群组中的一个）。这使得从单个系统样本中直接估计{{{抽样误差}}}（如{{{方差}}}）变得非常困难。在实践中，研究者常常使用简单随机抽样的方差公式来近似，但这只是一个近似值，其准确性取决于总体的结构。
## 与其他抽样方法的比较
* VS {{{简单随机抽样}}} (Simple Random Sampling, SRS)： 系统抽样操作更简单，且通常能提供更好的总体覆盖度。但在存在周期性风险时，SRS 更为稳健，因为它完全随机，不受列表顺序影响。
* VS {{{分层抽样}}} (Stratified Sampling)： 分层抽样通过将总体显式地划分为互不重叠的“层”，然后在每层内独立抽样，来确保各子群体的代表性。系统抽样在某种程度上实现了“隐性分层”，特别是当抽样框按某个重要变量排序时。然而，分层抽样对各层的控制更精确，但操作也更复杂。
* VS {{{整群抽样}}} (Cluster Sampling)： 整群抽样是随机抽取整个“群组”（如一个班级、一个村庄），并调查群组内的所有或部分单元。系统抽样则是从整个总体中抽取分布均匀的个体单元。两者在样本的地理或逻辑分布上截然不同。
## 如何规避系统抽样的风险
* 随机化列表：在进行系统抽样前，先将抽样框完全随机打乱。这样做可以消除任何潜在的周期性，使系统抽样的效果等同于简单随机抽样。但缺点是，这会丧失系统抽样操作简便和隐性分层的优势。 * 仔细检查列表：在使用系统抽样前，应仔细检查抽样框的排列方式，判断是否存在任何可能的周期性规律。 * 使用多个随机起点：可以从总体中抽取多个规模较小的系统样本，每个样本使用不同的随机起点，然后将它们合并。这增加了样本的随机性，并允许更稳健的方差估计。