# 样本比例 (Sample Proportion)
样本比例 (Sample Proportion)，在{{{统计学}}}中通常用 $\hat{p}$ (读作 "p-hat") 表示，是一个关键的{{{统计量}}}。它指的是在一个{{{样本}}}中，具有某一特定属性的个体所占的比例。样本比例是用于估计未知的{{{总体比例}}} (Population Proportion) $p$ 的{{{点估计}}}量。
举例来说，如果我们想知道一个城市所有选民中支持某位候选人的真实比例（总体比例 $p$），我们可能无法调查所有人。于是，我们进行一次{{{随机抽样}}}，抽取 1000 名选民（{{{样本量}}} $n=1000$），发现其中有 550 人支持该候选人（{{{成功次数}}} $x=550$）。那么，这次调查的样本比例 $\hat{p}$ 就是 $550/1000 = 0.55$。
## 计算公式
样本比例的计算非常直观。其计算公式为：
$$ \hat{p} = \frac{x}{n} $$
其中： * $x$代表在样本中拥有该特定属性的个体数量（也称为"成功"的次数）。 * $n$代表总的{{{样本量}}} (sample size)。
这个值 $\hat{p}$ 是一个介于 0 和 1 之间的数值，也可以表示为百分比。它描述了在我们的特定样本中观察到的现象的频率。
## 样本比例的抽样分布 (Sampling Distribution of the Sample Proportion)
在{{{推断统计学}}}中，我们不仅仅关心单次抽样得到的样本比例，更关心的是这个统计量本身的性质。如果我们从同一个{{{总体}}}中反复抽取无数个大小为 $n$ 的样本，每次都会计算出一个样本比例 $\hat{p}$。这些 $\hat{p}$ 值会各不相同，它们所形成的分布就是 样本比例的抽样分布。
根据{{{中心极限定理}}} (Central Limit Theorem) 的一个重要推论，在满足特定条件下，这个抽样分布具有以下优良性质：
1. 形状 (Shape)：当样本量足够大时，样本比例 $\hat{p}$ 的抽样分布近似于一个{{{正态分布}}} (Normal Distribution)。 * 条件：这个近似成立的经验法则是 "成功-失败条件" (Success/Failure Condition)。即样本中预期的成功次数和失败次数都必须足够大，通常要求 $np \ge 10$ 和 $n(1-p) \ge 10$。由于在实际应用中总体比例 $p$ 是未知的，我们通常用 $\hat{p}$ 来检验这个条件，即 $n\hat{p} \ge 10$ 和 $n(1-\hat{p}) \ge 10$。
2. 中心 (Center)：样本比例抽样分布的{{{期望值}}}（均值）等于总体的真实比例 $p$。 $$ \mu_{\hat{p}} = E(\hat{p}) = p $$ 这个性质表明，样本比例 $\hat{p}$ 是总体比例 $p$ 的一个{{{无偏估计量}}} (Unbiased Estimator)。这意味着，虽然单次抽样的 $\hat{p}$ 可能高于或低于真实的 $p$，但从长期来看，所有可能样本的 $\hat{p}$ 的平均值会精确地等于 $p$。
3. 离散度 (Spread)：样本比例抽样分布的{{{标准差}}}，被称为 比例的标准误 (Standard Error of the Proportion)，其计算公式为： $$ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$ 这个{{{标准误}}}衡量了样本比例 $\hat{p}$ 作为总体比例 $p$ 的估计值的平均误差或波动性。样本量 $n$ 越大，标准误越小，意味着我们的估计越精确。 * 独立性条件：为了使用此公式，样本中的观测值应相互独立。当进行无放回抽样时，如果样本量 $n$ 不超过总体大小 $N$ 的 10%（即 $n \le 0.10N$），我们可以认为观测值是近似独立的。
## 在推断统计中的应用
样本比例及其抽样分布的理论是进行总体比例推断的基础，主要应用于两个方面：{{{置信区间}}}的构造和{{{假设检验}}}的执行。
### 1. 构造置信区间
我们使用样本比例来构造一个区间，以一定的置信水平（如95%）估计总体比例 $p$ 的真实范围。这个区间就是{{{置信区间}}} (Confidence Interval)。
由于真实的 $p$ 未知，我们用 $\hat{p}$ 来估计标准误。因此，用于计算的标准误被称为 估计的标准误 (Estimated Standard Error): $SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
一个总体比例的置信区间的通用公式是：
$$ \text{点估计} \pm \text{误差范围} \quad \Rightarrow \quad \hat{p} \pm z^* \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $$
其中： * $\hat{p}$ 是样本比例。 * $z^*$ 是与所需置信水平相对应的{{{临界值}}} (Critical Value)。例如，对于95%的置信水平，该值来自于标准正态分布， $z^* \approx 1.96$。 * $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 是比例的估计标准误。 * $z^* \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 称为{{{误差范围}}} (Margin of Error)。
示例：某大学随机调查了 400 名学生，其中 120 人表示他们每天都喝咖啡。请为该大学所有学生中每天喝咖啡的真实比例构造一个95%的置信区间。
* 计算样本比例：$\hat{p} = \frac{120}{400} = 0.30$。 * 检验条件：$n\hat{p} = 400 \times 0.30 = 120 \ge 10$ 且 $n(1-\hat{p}) = 400 \times 0.70 = 280 \ge 10$。条件满足，分布近似正态。 * 确定临界值：对于95%置信度，$z^* = 1.96$。 * 计算置信区间： $$ 0.30 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.30(1-0.30)}{400}} = 0.30 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.21}{400}} \approx 0.30 \pm 1.96 \times 0.0229 \approx 0.30 \pm 0.045 $$ 置信区间为 $(0.255, 0.345)$。 * 解释：我们有95%的信心认为，该大学所有学生中每天喝咖啡的真实比例在 25.5% 到 34.5% 之间。
### 2. 进行假设检验
我们也可以使用样本比例来检验关于总体比例 $p$ 的某个声明或假设是否成立。这称为{{{假设检验}}} (Hypothesis Testing)。
检验过程涉及设立{{{零假设}}} ($H_0$) 和{{{备择假设}}} ($H_a$)，并计算一个{{{z统计量}}} (z-statistic) 来衡量我们的样本结果与零假设的偏离程度。
检验统计量的公式为：
$$ z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} $$
其中： * $\hat{p}$ 是从数据中计算出的样本比例。 * $p_0$ 是在零假设中我们假设的总体比例。 * $n$ 是样本量。
注意：在假设检验中，计算标准误时我们使用的是零假设中的 $p_0$，而不是样本的 $\hat{p}$。这是因为检验的前提是假设零假设为真。
## 与样本均值的区别
需要将样本比例与{{{样本均值}}} ($\bar{x}$) 区分开来：
* 样本比例 ($\hat{p}$)：用于处理{{{分类数据}}} (Categorical Data)，特别是只有两种可能结果的二元数据（例如：是/否，通过/未通过，患病/健康）。它代表了“成功”类别的频率。 * 样本均值 ($\bar{x}$)：用于处理{{{定量数据}}} (Quantitative Data) 或称数值型数据（例如：身高、体重、收入、考试分数）。它代表了样本数值的算术平均值。