# 单样本t检验 (One-Sample t-Test)
单样本t检验 (One-Sample t-Test)，也称为单样本均值t检验，是{{{推断统计学}}}中一种基础且广泛应用的{{{假设检验}}}方法。它的核心目标是，依据一个从{{{总体}}}中抽取的{{{随机样本}}}的数据，来判断该总体的{{{均值}}}（$μ$）是否与一个已知的、理论上的或假设的特定数值（$μ_0$）存在{{{统计显著性}}}差异。
此检验之所以称为 "t"检验，是因为它使用{{{t统计量}}}作为检验统计量，其抽样分布遵循{{{t分布}}}。使用t分布的关键前提是 总体的{{{标准差}}}（$σ$）未知，需要用{{{样本标准差}}}（$s$）来估计。如果总体标准差已知，则应使用{{{z检验}}}。单样本t检验由统计学家[[威廉·戈塞]]（William Sealy Gosset）以笔名"Student"发表，因此t分布有时也被称为"学生t分布"。
## 核心思想与应用场景
单样本t检验的基本逻辑是：比较 样本均值 ($\bar{x}$) 与 假设的总体均值 ($μ_0$) 之间的差距。我们想知道这个差距仅仅是由于抽样的随机性造成的，还是因为它确实反映了总体均值与假设值之间的真实差异。t检验通过将这个差距标准化，来评估其发生的概率。
典型的应用场景包括：
* 质量控制：一个生产商声称其生产的灯泡平均寿命为1000小时。质量检测部门随机抽取一批灯泡，检验其平均寿命是否显著低于1000小时。 * 生物医学：一种药物的说明书指出，其降低血压的平均效果为10 mmHg。研究人员对一组患者进行试验，检验该药物的实际降压效果是否与声称的10 mmHg有显著差异。 * 金融学：某{{{投资组合}}}的历史年均回报率为8%。在采用新的交易策略后，分析师想检验新策略下的年均回报率是否显著高于8%。 * 教育学：某标准化考试的全国平均分为500分。一所学校想知道其学生的平均分是否显著高于全国平均水平。
## 检验的步骤
执行一次完整的单样本t检验通常遵循以下五个步骤：
一. 建立假设 (State the Hypotheses)
假设检验总是从建立两个相互对立的假设开始：
* {{{原假设}}} ($H_0$)：也称零假设，它通常是“无差异”或“无效果”的陈述。在单样本t检验中，原假设总是表述为总体均值$μ$等于假设值$μ_0$。 $$ H_0: \mu = \mu_0 $$ * {{{备择假设}}} ($H_1$ 或 $H_a$)：也称对立假设，它是我们希望通过样本证据来支持的陈述。备择假设有三种形式，取决于研究问题的方向性： 1. {{{双尾检验}}} (Two-tailed test)：检验总体均值是否 不等于 假设值。 $$ H_1: \mu \neq \mu_0 $$ 2. {{{右尾检验}}} (Right-tailed test)：检验总体均值是否 大于 假设值。 $$ H_1: \mu > \mu_0 $$ 3. {{{左尾检验}}} (Left-tailed test)：检验总体均值是否 小于 假设值。 $$ H_1: \mu < \mu_0 $$
二. 选择显著性水平 (Choose a Significance Level)
{{{显著性水平}}}（用希腊字母 $α$ 表示）是在原假设为真的情况下，错误地拒绝原假设的概率，即犯{{{第一类错误}}}的概率。通常选取的$α$值为0.05、0.01或0.10。$α=0.05$表示我们愿意承担5%的风险，错误地认为存在差异而实际上没有。
三. 计算检验统计量 (Calculate the Test Statistic)
单样本t检验的检验统计量（t统计量）计算公式如下：
$$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$
其中： * $\bar{x}$ 是{{{样本均值}}} (sample mean)。 * $\mu_0$ 是原假设中设定的总体均值 (hypothesized population mean)。 * $s$ 是{{{样本标准差}}} (sample standard deviation)。 * $n$ 是{{{样本量}}} (sample size)。
这个公式的分子 $(\bar{x} - \mu_0)$ 是样本均值与假设均值之间的绝对差异。分母 $s / \sqrt{n}$ 是{{{均值标准误}}} (standard error of the mean)的估计值，它度量了样本均值作为总体均值估计值时的平均抽样误差。因此，t统计量可以被直观地理解为：样本均值与假设均值的差异，是其抽样误差的多少倍。
四. 确定决策规则 (Determine the Decision Rule)
为了判断计算出的t统计量是否足够极端以至于可以拒绝原假设，我们有两种常用的方法：
* 临界值法 (Critical Value Approach) 1. 确定{{{自由度}}} (Degrees of Freedom, $df$)，对于单样本t检验，$df = n - 1$。 2. 根据显著性水平$α$、检验类型（双尾、左尾或右尾）和自由度$df$，从t分布表中查出{{{临界值}}} (critical value)。 3. 将计算出的t统计量与临界值进行比较： * 双尾检验：如果 $|t| > t_{\alpha/2, df}$，则拒绝$H_0$。 * 右尾检验：如果 $t > t_{\alpha, df}$，则拒绝$H_0$。 * 左尾检验：如果 $t < -t_{\alpha, df}$，则拒绝$H_0$。
* {{{p值}}}法 (p-value Approach) 1. 计算p值。p值是在原假设$H_0$为真的前提下，获得当前观察到的t统计量或比其更极端（更不利于$H_0$）的统计量的概率。 2. 对于给定的t统计量和自由度$df$，p值可以由统计软件或t分布表计算得出。 3. 将p值与显著性水平$α$进行比较：如果 $p \le \alpha$，则拒绝$H_0$。这是现代统计实践中更常用的方法。
五. 得出结论 (Make a Conclusion)
最后一步是将统计决策转化为对研究问题的具体回答。 * 如果拒绝$H_0$，我们得出结论：在$α$的显著性水平上，有充分的统计证据表明总体均值与假设值$μ_0$存在显著差异（具体方向取决于备择假设）。 * 如果未能拒绝$H_0$，我们得出结论：在$α$的显著性水平上，没有充分的统计证据表明总体均值与假设值$μ_0$存在显著差异。这并不意味着证明了$H_0$是真的，只是说我们没有足够证据来推翻它。
## 单样本t检验的假设条件 (Assumptions)
为了保证单样本t检验结果的有效性和可靠性，以下假设条件应当得到满足：
1. 随机样本 (Random Sample)：数据必须来自一个从目标总体中进行的{{{简单随机抽样}}}。 2. 独立性 (Independence)：样本中的各个观测值之间应当相互独立。这意味着一个观测值的结果不应影响另一个。 3. 正态性 (Normality)：数据来源的总体应服从{{{正态分布}}}。然而，根据{{{中心极限定理}}} (Central Limit Theorem)，当样本量足够大时（通常认为 $n > 30$），即使总体不服从正态分布，t检验的结果也具有相当的稳健性（robustness）。对于小样本，需要通过{{{Q-Q图}}}或{{{夏皮罗-威尔克检验}}} (Shapiro-Wilk test)等方法检验数据的正态性。 4. 连续变量 (Continuous Variable)：被测量的变量应该是连续的或至少是区间/比率尺度的。
## 与置信区间的关系
单样本t检验与{{{置信区间}}} (Confidence Interval) 之间存在密切的对偶关系。一个为总体均值$μ$构建的 $(1-\alpha) \times 100\%$ 的置信区间，提供了一个包含$μ$真实值的 plausible range（合理范围）。
其计算公式为： $$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$
这种关系可以这样理解： * 如果在显著性水平$α$下进行的双尾t检验 拒绝 了原假设 $H_0: \mu = \mu_0$，那么假设值$μ_0$必然会落在 $(1-\alpha) \times 100\%$ 置信区间的 外部。 * 反之，如果检验 未能拒绝 原假设 $H_0: \mu = \mu_0$，那么假设值$μ_0$必然会落在 $(1-\alpha) \times 100\%$ 置信区间的 内部。
因此，计算置信区间不仅可以用来进行假设检验，还能提供更多关于总体均值可能大小的信息，这比单纯的“拒绝/不拒绝”结论更为丰富。