# 比例 (Ratio and Proportion)
在数学和许多应用学科中，比例是一个核心概念，用于描述数量之间的乘法关系。然而，“比例”一词在中文语境中可能涵盖两个既有联系又有所区别的数学对象：比 (Ratio) 和 比例式 (Proportion)。本讲义将分别对这两个概念进行详细阐述。
广义上，比例描述了一个整体中各个部分之间的数量关系，或某个部分与整体之间的关系。例如，食谱中的“面粉与水的比例为2:1”或地图上的“比例尺为1:100000”。
---
## 第一部分：比 (Ratio)
比 (Ratio) 是对两个或多个数量的比较，它表示一个量是另一个量的多少倍或几分之几。
### 定义与表示法
如果有两个数 $a$ 和 $b$（其中 $b \ne 0$），那么 $a$ 与 $b$ 的比可以记作：
$$ a : b $$
或者表示为{{{分数}}}的形式：
$$ \frac{a}{b} $$
在这两种表示法中，读作“a比b”。 * 前项 (Antecedent): 在比 $a:b$ 中，位于前面的数 $a$ 称为比的前项。 * 后项 (Consequent): 位于后面的数 $b$ 称为比的后项。后项不能为0，因为在分数形式中，它对应于{{{分母}}}。
例如，一个班级有15名男生和20名女生，那么男生与女生的人数之比是 $15:20$。
### 比值 (Value of a Ratio)
用比的前项除以后项所得的商，称为比值。它是一个具体的数值，可以为整数、分数或小数。比值衡量了前项是后项的多少倍。
对于比 $a:b$，其比值为： $$ \text{比值} = a \div b = \frac{a}{b} $$ 例如，比 $15:20$ 的比值是 $15 \div 20 = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75$。
重要区别：比（如 $15:20$）表示一种关系，而比值（如 $0.75$）是这种关系量化后的一个具体数值。
### 比的基本性质 (Fundamental Property of a Ratio)
比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变。这个性质与分数的{{{基本性质}}}是完全一致的。
数学上表示为： 对于任意非零数 $k$，$k \neq 0$： $$ a : b = (a \cdot k) : (b \cdot k) $$ $$ a : b = (a \div k) : (b \div k) $$
这个性质最重要的应用是化简比。一个比通常要化简为其最简整数比，即前项和后项为{{{互质}}}的整数。 例如，将 $15:20$ 化简： $$ 15:20 = (15 \div 5) : (20 \div 5) = 3:4 $$ $3:4$ 是 $15:20$ 的最简整数比。
### 注意事项
1. 单位统一：在对两个物理量求比时，必须先将它们的单位统一。例如，比较 1 米和 50 厘米的长度，应先将 1 米转换为 100 厘米，然后求比为 $100:50 = 2:1$。 2. 无量纲性：比值本身是一个{{{无量纲数}}}，因为它表示的是倍数关系，单位在除法运算中被抵消了。
---
## 第二部分：比例式 (Proportion)
比例式 (Proportion) 是一个表示两个比相等的{{{方程}}}。
### 定义与表示法
如果比 $a:b$ 等于比 $c:d$，那么这四个数 $a, b, c, d$ 就构成了一个比例式，可以记作： $$ a:b = c:d $$ 或者写成分数形式： $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$ 读作“a比b等于c比d”。
* 比例的外项 (Extremes): 在比例式 $a:b=c:d$ 中，位于两端的两项 $a$ 和 $d$ 称为外项。 * 比例的内项 (Means): 位于中间的两项 $b$ 和 $c$ 称为内项。
### 比例的基本性质 (Fundamental Property of a Proportion)
在一个比例式中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。这被称为比例的基本性质，是解决比例问题的关键。
如果 $a:b = c:d$，那么： $$ a \cdot d = b \cdot c $$ 证明： 从 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 开始，将等式两边同时乘以 $b \cdot d$（其中 $b \neq 0, d \neq 0$）： $$ \frac{a}{b} \cdot (b \cdot d) = \frac{c}{d} \cdot (b \cdot d) $$ $$ a \cdot d = c \cdot b $$ 此性质常用于在比例式中求解未知数。
### 连比 (Continued Ratio)
当三个或更多的量相互比较时，就构成了连比。例如，$a:b:c$。 连比可以看作是多个比的组合。例如，$a:b:c$ 蕴含了 $a:b$、$b:c$ 和 $a:c$ 三个关系。
一个常见的题型是合并两个比。例如，已知 $A:B = 2:3$ 且 $B:C = 4:5$，求 $A:B:C$。 1. 找到共同项 $B$ 在两个比中的值，分别是 3 和 4。 2. 求这两个值的{{{最小公倍数}}}，即 $\text{LCM}(3, 4) = 12$。 3. 利用比的基本性质，将两个比的共同项统一为12。 * $A:B = 2:3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$ * $B:C = 4:5 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12:15$ 4. 合并得到连比：$A:B:C = 8:12:15$。
---
## 应用举例 (Applications and Examples)
### 1. 解比例方程
求解比例式中的未知数 $x$： $$ 8 : 12 = x : 18 $$ 根据比例的基本性质（外项积等于内项积）： $$ 8 \times 18 = 12 \times x $$ $$ 144 = 12x $$ $$ x = \frac{144}{12} = 12 $$
### 2. 按比例分配
将一笔 ＄600 的奖金分给甲、乙两人，分配比例为 $2:3$。求两人各得多少？ 1. 计算总份数：总份数为 $2 + 3 = 5$ 份。 2. 计算每份的量：每份的金额为 ＄$600 \div 5 = $＄120。 3. 按比例计算： * 甲得到 $2$ 份，金额为 $2 \times$ ＄$120 = $＄240。 * 乙得到 $3$ 份，金额为 $3 \times$ ＄$120 = $＄360。 4. 检验：＄$240 + $＄$360 = $＄600，且 $240 : 360 = 2:3$，计算正确。
### 3. {{{几何学}}}应用
* {{{相似图形}}} (Similar Figures): 两个多边形如果相似，它们的对应角相等，且对应边成比例。这是{{{几何学}}}中比例概念最重要的应用之一。 * {{{比例尺}}} (Map Scale): 地图上的距离与实际距离之比。例如，比例尺 $1:100,000$ 表示图上 1 厘米代表实际距离 100,000 厘米（即 1 公里）。
### 4. 经济与金融应用
{{{金融分析}}}中广泛使用比率来评估公司的业绩和财务状况。这些比率本质上是两个财务数据之间的比。 * {{{市盈率}}} (Price-to-Earnings Ratio): 公司股价与其每股收益的比，即 $P/E = \frac{\text{股价}}{\text{每股收益}}$。它常被用来评估{{{股票}}}的相对估值。 * {{{负债权益比}}} (Debt-to-Equity Ratio): 公司的总负债与股东权益的比，即 $D/E = \frac{\text{总负债}}{\text{股东权益}}$。它衡量了公司的{{{杠杆水平}}}和偿债能力。