词条：百分位数 · 卓越的经济金融统计考研辅导

# 百分位数 (Percentile)

百分位数 (Percentile) 是{{{描述统计学}}}中用于衡量个体在群体中所处相对位置的{{{位置度量}}}。具体而言，第 $k$ 百分位数 ($P_k$) 是一个数值，该数值将一组{{{排序}}}后的观测数据分割开，使得至少有 $k\%$ 的数据小于或等于该值，同时至少有 $(100-k)\%$ 的数据大于或等于该值。

百分位数提供了关于{{{数据分布}}}形态的详细信息，超越了如{{{平均数}}}或{{{标准差}}}等集中趋势和离散程度的度量。它在教育、心理学、经济学、医学等多个领域有着广泛的应用。

## 计算方法

计算百分位数有多种方法，不同的统计软件（如 Excel, Python, R）可能采用略有差异的{{{插值}}}算法。此处介绍一种在入门教材中广泛使用的方法（线性插值法的变体）。

对于一个包含 $N$ 个观测值的数据集，计算其第 $P$ 百分位数 ($P_P$) 的步骤如下：

1. 排序数据：首先，将所有观测值从低到高进行升序排列。我们将排序后的数据集记为 $\{x'_{(1)}, x'_{(2)}, \dots, x'_{(N)}\}$，其中 $x'_{(1)}$ 是最小值，$x'_{(N)}$ 是最大值。

2. 计算位置索引 (Rank)：计算百分位数在排序数据集中的位置索引 $L$。公式为： $$ L = \frac{P}{100} \times N $$ 其中 $P$ 是所求的百分位数（例如，求第 75 百分位数，则 $P=75$），$N$ 是数据集中观测值的总数。

3. 确定百分位数值：根据 $L$ 的计算结果来确定最终的百分位数值。

如果 $L$ 不是整数：将 $L$ 的值向上取整得到一个整数 $k$（例如，如果 $L=4.2$，则 $k=5$）。第 $P$ 百分位数的值就是排序数据集中第 $k$ 个位置上的值，即 $P_P = x'_{(k)}$。
如果 $L$ 是整数：第 $P$ 百分位数的值是排序数据集中第 $L$ 个值与第 $(L+1)$ 个值的{{{算术平均值}}}。即： $$ P_P = \frac{x'_{(L)} + x'_{(L+1)}}{2} $$

注意：这种 “取平均值” 的方法是为了确保百分位数的定义得到更平滑的满足。其他方法，例如微软 Excel 使用的 `PERCENTILE.INC` 和 `PERCENTILE.EXC` 函数，采用了不同的线性插值公式，可能会导致计算结果有微小差异。

## 计算示例

假设我们有一组关于学生考试成绩的数据，共 10 个样本 ($N=10$)： $$ \{88, 72, 95, 65, 78, 85, 91, 59, 81, 83\} $$

第一步：排序数据 将数据从小到大排序： $$ \{59, 65, 72, 78, 81, 83, 85, 88, 91, 95\} $$ 排序后的数据为 $x'_{(1)}=59, x'_{(2)}=65, \dots, x'_{(10)}=95$。

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示例一：计算第 40 百分位数 ($P_{40}$)

1. 计算位置索引 $L$： $$ L = \frac{40}{100} \times 10 = 4 $$ 2. 确定数值：因为 $L=4$ 是一个整数，我们需要取第 4 个值和第 5 个值的平均值。 $$ P_{40} = \frac{x'_{(4)} + x'_{(5)}}{2} = \frac{78 + 81}{2} = 79.5 $$ 因此，该组成绩的第 40 百分位数是 79.5。这意味着大约 40% 的学生分数低于或等于 79.5。

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示例二：计算第 82 百分位数 ($P_{82}$)

1. 计算位置索引 $L$： $$ L = \frac{82}{100} \times 10 = 8.2 $$ 2. 确定数值：因为 $L=8.2$ 不是一个整数，我们将其向上取整至 9。第 82 百分位数的值是排序数据中的第 9 个值。 $$ P_{82} = x'_{(9)} = 91 $$ 因此，该组成绩的第 82 百分位数是 91。这意味着大约 82% 的学生分数低于或等于 91。

## 百分位数的解读与应用

百分位数的核心价值在于提供了一个关于数据“相对位置”的清晰度量。

* 相对表现评估：在{{{教育测量}}}中，标准化考试（如 SAT、GRE）的成绩报告通常会提供百分位数排名。如果一个学生的分数处于第 90 百分位数，这意味着他的分数高于或等于 90% 的考生。 * 理解数据分布：通过观察一系列百分位数（如 $P_{10}, P_{25}, P_{50}, P_{75}, P_{90}$），可以了解{{{数据分布}}}的对称性、{{{偏度}}}和离散程度。例如，如果 $P_{90}-P_{50}$ 的差距远大于 $P_{50}-P_{10}$ 的差距，这可能表明数据呈{{{右偏分布}}}。 * 识别{{{异常值}}} (Outliers)：极高（如 $P_{99}$）或极低（如 $P_1$）的百分位数常被用来定义或识别数据集中的{{{异常值}}}或极端值。 * 经济学应用：在分析{{{收入分配}}}或{{{财富分配}}}时，百分位数是关键工具。例如，“收入最高的 1%” 就是指收入水平处于第 99 百分位数以上的人群。 * 医学应用：儿科医生使用生长图表（Growth Charts）来监测儿童的成长，这些图表就是基于身高和体重的百分位数来评估儿童是否发育正常。 * 金融风险管理：{{{风险价值}}} (Value at Risk, VaR) 模型便是一个基于百分位数的概念。例如，一个投资组合的单日 95% VaR 为＄100万，意味着在正常市场条件下，有 95% 的把握该投资组合在未来一天的损失不会超过＄100万。

## 相关概念

百分位数是一系列分位数 (Quantiles) 中最精细的一种。其他相关的概念包括：

* {{{四分位数}}} (Quartiles)：将数据分为四等份的分割点。 * 第一四分位数 (Q1) = 第 25 百分位数 ($P_{25}$) * 第二四分位数 (Q2) = 第 50 百分位数 ($P_{50}$)，即{{{中位数}}} (Median) * 第三四分位数 (Q3) = 第 75 百分位数 ($P_{75}$) * {{{四分位距}}} (Interquartile Range, IQR) 被定义为 $Q3 - Q1$，是衡量数据离散程度的稳健统计量。

* {{{十分位数}}} (Deciles)：将数据分为十等份的分割点。第一十分位数 ($D_1$) 对应第 10 百分位数 ($P_{10}$)，第二十分位数 ($D_2$) 对应第 20 百分位数 ($P_{20}$)，以此类推。

* 百分位数 (Percentile) vs. {{{百分位秩}}} (Percentile Rank)：这是一个非常容易混淆的概念。 * 百分位数是一个数值。它是数据集中与特定百分比相对应的值（例如，分数 91 是第 82 百分位数）。 * 百分位秩是一个百分比。它指数据集中低于或等于某个特定值的观测值所占的比例（例如，分数 91 的百分位秩是 82%）。