# 决策理论 (Decision Theory)
决策理论 (Decision Theory) 是一个研究决策过程的跨学科领域，它综合运用了{{{数学}}}、{{{统计学}}}、{{{经济学}}}、心理学和{{{管理科学}}}的原理，旨在为决策者在不确定环境中做出最优选择提供一个系统性和{{{理性}}}的框架。它不直接告诉我们应该选择什么，而是提供了一套分析工具和方法论，用以评估不同行动方案的潜在后果，并根据明确的目标和标准来确定最佳行动。
决策理论的核心是回答以下问题：在一个给定的问题背景下，一个理性的决策者应当如何选择行动方案以最大化其期望的收益或效用？该理论可以分为两大分支：
* {{{规范性决策理论}}} (Normative Decision Theory)：研究理性决策者应该如何做决策。它假定决策者是完全理性的，并寻求最优解。本文主要关注这一分支。 * {{{描述性决策理论}}} (Descriptive Decision Theory)：研究人们实际上是如何做决策的，常常会考虑心理偏见、认知局限等非理性因素。这是{{{行为经济学}}}和心理学的重要研究内容。
## 决策问题的基本构成要素
一个典型的决策问题可以被分解为以下三个核心要素：
1. 行动 (Actions or Alternatives)：决策者可以选择的全部可能方案的集合。这些行动是相互排斥的，决策者必须从中选择一个。我们通常用 $A = \{A_1, A_2, \ldots, A_m\}$ 来表示。 2. 自然状态 (States of Nature)：决策者无法控制的、可能影响决策结果的未来环境或事件的集合。这些状态通常被假定为是相互排斥且穷尽所有可能性的。我们通常用 $S = \{S_1, S_2, \ldots, S_n\}$ 来表示。 3. 收益 (Payoffs or Outcomes)：将特定的行动与特定的自然状态相结合所产生的后果或价值。对于每一个行动 $A_i$ 和每一个自然状态 $S_j$，都有一个对应的收益 $O_{ij}$。这些收益可以是金钱、利润、成本，也可以是更抽象的{{{效用}}}值。
这些要素通常被组织在一个 {{{收益矩阵}}} (Payoff Matrix) 中，以便清晰地进行分析。
| | 自然状态 $S_1$ | 自然状态 $S_2$ | $...$ | 自然状态 $S_n$ | | :--------------- | :------------------: | :------------------: | :---: | :------------------: | | 行动 $A_1$ | $O_{11}$ | $O_{12}$ | $...$ | $O_{1n}$ | | 行动 $A_2$ | $O_{21}$ | $O_{22}$ | $...$ | $O_{2n}$ | | $...$ | $...$ | $...$ | $...$ | $...$ | | 行动 $A_m$ | $O_{m1}$ | $O_{m2}$ | $...$ | $O_{mn}$ |
## 决策环境的分类
根据决策者对自然状态发生可能性的了解程度，决策环境可以分为以下几类：
* 确定性下的决策 (Decision Making under Certainty)：每种行动的后果都是唯一且确定的。决策者知道哪个自然状态将会发生。这是一种最简单的情况，决策者只需选择能带来最高收益的行动即可。
* 风险下的决策 (Decision Making under Risk)：决策者不知道哪个自然状态会发生，但知道每种自然状态发生的{{{概率}}}。这是统计决策理论中最常见的情景。
* 不确定性下的决策 (Decision Making under Uncertainty)：决策者不知道哪个自然状态会发生，也无法获得或估计其发生的概率。在这种情况下，决策者的个人态度（如乐观或悲观）将对其选择产生重要影响。
* 冲突下的决策 (Decision Making under Conflict)：决策结果不仅取决于自己的行动和自然状态，还取决于一个或多个其他理性决策者的行动。这种情况是{{{博弈论}}} (Game Theory) 的研究核心。
## 不确定性下的决策准则
当自然状态的概率未知时，决策者可以依据其风险偏好采用不同的决策准un则：
1. 最大化最大收益准则 (Maximax Criterion)：这是一种极其乐观的准则。决策者关注每种行动可能带来的最好结果，并选择那个“最好中的最好”的行动。 $$ \text{选择行动 } A_i \text{ 使得 } \max_i \{ \max_j O_{ij} \} $$
2. 最大化最小收益准则 (Maximin Criterion / Wald's Criterion)：这是一种极其悲观或保守的准则。决策者关注每种行动可能带来的最坏结果，并选择那个“最坏中的最好”的行动，以确保在最不利的情况下也能获得尽可能高的收益。这与博弈论中的{{{最小最大化策略}}}思想相通。 $$ \text{选择行动 } A_i \text{ 使得 } \max_i \{ \min_j O_{ij} \} $$
3. 最小化最大后悔值准则 (Minimax Regret Criterion / Savage's Criterion)：该准则旨在使决策者“事后的遗憾”最小化。后悔值（或称机会损失）是指在某一特定自然状态下，选择某一行动所带来的收益与选择该状态下最优行动所能获得的最大收益之间的差额。 * 第一步：构建一个后悔矩阵 (Regret Matrix) $R_{ij}$。对于每一个自然状态 $S_j$（即矩阵的每一列），后悔值计算如下： $$ R_{ij} = (\max_k O_{kj}) - O_{ij} $$ * 第二步：找出每个行动（行）的最大后悔值。 * 第三步：选择那个使最大后悔值最小的行动。 $$ \text{选择行动 } A_i \text{ 使得 } \min_i \{ \max_j R_{ij} \} $$
4. 赫维茨准则 (Hurwicz Criterion)：这是介于乐观与悲观之间的一种折中准则。它引入一个乐观系数 $\alpha$ ($0 \le \alpha \le 1$)，代表决策者的乐观程度。$\alpha=1$ 表示完全乐观（等同于Maximax），$\alpha=0$ 表示完全悲观（等同于Maximin）。对于每个行动，计算一个加权平均值： $$ H(A_i) = \alpha \cdot (\max_j O_{ij}) + (1-\alpha) \cdot (\min_j O_{ij}) $$ 决策者将选择使 $H(A_i)$ 最大的行动。
5. 拉普拉斯准则 (Laplace Criterion)：也称为等可能性准则。它基于“无充分理由原则”(Principle of Insufficient Reason)，假定所有自然状态发生的概率相等，即 $P(S_j) = 1/n$。然后计算每个行动的{{{期望值}}}，并选择期望收益最大的行动。 $$ \text{选择行动 } A_i \text{ 使得 } \max_i \left\{ \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} O_{ij} \right\} $$
## 风险下的决策准则
当自然状态的概率 $P(S_j)$ 已知时，决策分析的核心是利用这些概率信息。
* 期望货币价值准则 (Expected Monetary Value, EMV)：这是风险下决策最常用的准则。它计算每个行动的期望收益（或加权平均收益），决策者应选择EMV最高的行动。 $$ EMV(A_i) = \sum_{j=1}^{n} P(S_j) \cdot O_{ij} $$ 选择行动 $A^*$ 使得 $EMV(A^*) = \max_i \{EMV(A_i)\}$。
* 期望机会损失准则 (Expected Opportunity Loss, EOL)：该准则计算每个行动的期望后悔值。决策者应选择EOL最小的行动。一个重要的结论是，最大化EMV的行动总是与最小化EOL的行动相同。 $$ EOL(A_i) = \sum_{j=1}^{n} P(S_j) \cdot R_{ij} $$ 选择行动 $A^*$ 使得 $EOL(A^*) = \min_i \{EOL(A_i)\}$。
* 完美信息的期望价值 (Expected Value of Perfect Information, EVPI)：EVPI衡量的是，如果决策者能够获得关于未来自然状态的完美信息，其期望收益能够增加多少。它代表了为获得完美信息所愿意支付的最高价格。 1. 首先，计算拥有完美信息时的期望收益 (Expected Value with Perfect Information, EVwPI)。假设我们总能预知将要发生的自然状态 $S_j$，并因此选择在该状态下收益最高的行动。 $$ EVwPI = \sum_{j=1}^{n} P(S_j) \cdot (\max_k O_{kj}) $$ 2. 然后，EVPI是EVwPI与在不确定情况下最优行动的EMV（即max EMV）之差。 $$ EVPI = EVwPI - \max_i\{EMV(A_i)\} $$ 一个非常有用的恒等式是：EVPI等于最优行动的期望机会损失(EOL)。 $$ EVPI = EOL(\text{最优行动}) $$
## 效用理论与决策
尽管EMV准则在许多商业决策中非常有用，但它假定决策者对金钱的态度是线性的（即多赚一元钱的价值恒定），且是{{{风险中性}}}的。然而，现实中人们往往表现出{{{风险规避}}} (Risk Aversion)。例如，大多数人会选择确定性地获得＄100万，而不是一个有50%概率获得＄200万、50%概率一无所有的赌博，尽管两者的EMV相同。
为了解释这种现象，{{{效用理论}}} (Utility Theory) 被引入决策分析。
* {{{效用}}} (Utility)：是衡量个人从某一结果中获得的满足感或主观价值的标度。 * {{{效用函数}}} (Utility Function) $U(x)$：将客观的收益（如金钱）映射到主观的效用值上。 * 对于 风险规避者，效用函数是凹的 ($U''(x) < 0$)，体现了{{{边际效用递减}}}。 * 对于 风险中性者，效用函数是线性的 ($U''(x) = 0$)，EMV最大化等同于效用最大化。 * 对于 风险偏好者，效用函数是凸的 ($U''(x) > 0$)，体现了{{{边际效用递增}}}。
在效用理论框架下，决策准则从最大化EMV转变为 最大化期望效用 (Expected Utility, EU)： $$ EU(A_i) = \sum_{j=1}^{n} P(S_j) \cdot U(O_{ij}) $$ 决策者应选择能够带来最高期望效用的行动方案。这一准则能够更好地解释和指导在涉及重大风险时，个体或组织如何进行决策。