# 期望效用理论 (Expected Utility Theory)
期望效用理论 (Expected Utility Theory) 是{{{微观经济学}}}、{{{博弈论}}}和{{{决策理论}}}中的一个核心模型，用于描述和预测个体在面对不确定性（即风险）时的决策行为。该理论的基本观点是，理性的决策者在选择不同风险前景（Lotteries）时，其目标不是最大化期望的货币价值（Expected Monetary Value），而是最大化期望的效用（Expected Utility）。
效用（{{{Utility}}}）是衡量一个人从消费商品或服务中获得的满足感或幸福感的经济学概念。期望效用理论将这一概念扩展到不确定的结果中，为分析风险态度和相关决策提供了严谨的数学框架。
## 理论的起源：圣彼得堡悖论
期望效用理论的提出，很大程度上是为了解决一个经典的概率论问题——{{{圣彼得堡悖论}}} (St. Petersburg Paradox)。该悖论由尼古拉·伯努利于1713年提出，后由丹尼尔·伯努利于1738年解决，其解决方案构成了期望效用理论的基础。
悖论的内容如下： 假设有一个赌博游戏，规则是反复投掷一枚公平的硬币，直到第一次出现正面为止。如果第一次出现正面是在第 $k$ 次投掷，那么参与者将获得 $2^{k-1}$ ＄的奖金。问题是：一个理性的参与者最多愿意支付多少钱来参加这个游戏？
* 期望价值的计算： 第 $k$ 次投掷才出现正面的概率是 $(\frac{1}{2})^k$。此时的奖金是 $2^{k-1}$。因此，该游戏的{{{期望价值}}} (Expected Value, EV) 是： $$ EV = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^k \cdot 2^{k-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \cdot \frac{2^k}{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty $$ 理论上，该游戏的期望收益是无穷大。按照最大化期望价值的原则，一个理性的人应该愿意支付任何有限的金额来参与这个游戏。
* 悖论的产生： 然而，在现实中，绝大多数人只愿意为这个游戏支付一个非常小的金额（例如，不超过＄10）。这表明，人们在决策时考虑的不仅仅是金钱的期望值。
丹尼尔·伯努利提出，金钱的价值是相对的，即金钱的边际效用是递减的。对于一个穷人来说，额外的一百元可能带来巨大的幸福感提升；但对于一个亿万富翁来说，同样的一百元几乎没有影响。他假设效用函数是对数形式的，即 $U(w) = \ln(w)$，其中 $w$ 是财富。在此假设下，游戏的期望效用是有限的，从而解决了这个悖论。
## 冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数
20世纪40年代，数学家[[约翰·冯·诺依曼]]和经济学家[[奥斯卡·摩根斯坦]]在其合著的《博弈论与经济行为》中，为期望效用理论建立了公理化基础。他们证明，如果一个决策者的偏好满足一组特定的理性公理，那么他的行为必然是在最大化一个可被数学定义的效用函数的期望值。
一个不确定的前景或“彩票” ({{{Lottery}}}) 可以表示为 $L = (p_1, x_1; p_2, x_2; \ldots; p_n, x_n)$，其中 $x_i$ 是第 $i$ 个可能的结果， $p_i$ 是该结果发生的{{{概率}}}，且 $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$。
根据期望效用理论，该彩票的期望效用 $E[U(L)]$ 为： $$ E[U(L)] = \sum_{i=1}^{n} p_i U(x_i) $$ 其中 $U(x_i)$ 是结果 $x_i$ 对应的效用水平。一个理性的决策者在不同的彩票之间进行选择时，会选择那个能够使其期望效用最大化的彩票。
### 风险态度与效用函数形态
效用函数的形状直接反映了决策者的风险态度 (Risk Attitude)。
1. {{{风险规避}}} (Risk Averse)： * 定义：一个风险规避者倾向于拒绝一个公平的赌博（即期望价值为零的赌博）。他们更喜欢一个确定的结果，而不是一个具有相同期望价值的风险前景。 * 效用函数：其效用函数是凹函数 (Concave Function)，即 $U''(x) < 0$。这意味着财富的{{{边际效用}}}是递减的。例如，$U(x) = \sqrt{x}$ 或 $U(x) = \ln(x)$。 * 例子：对于一个在获得＄50和＄150之间等概率的赌博（期望价值为＄100），一个风险规避者会更偏好直接获得确定的＄100。他们愿意支付一个{{{风险溢价}}} (Risk Premium) 来避免不确定性，这也是{{{保险}}}市场存在的基础。
2. {{{风险中性}}} (Risk Neutral)： * 定义：一个风险中性者对于一个确定的结果和一个具有相同期望价值的风险前景持无所谓态度。他们做决策的唯一依据是期望价值。 * 效用函数：其效用函数是线性函数 (Linear Function)，即 $U''(x) = 0$。例如，$U(x) = ax+b$ 且 $a > 0$。 * 例子：对于上述赌博，风险中性者认为拿确定的＄100和参与赌博没有区别。
3. {{{风险偏好}}} (Risk Seeking / Risk Loving)： * 定义：一个风险偏好者倾向于接受一个公平的赌博，甚至愿意为了参与赌博而付出代价。 * 效用函数：其效用函数是凸函数 (Convex Function)，即 $U''(x) > 0$。这意味着财富的边际效用是递增的。例如，$U(x) = x^2$。 * 例子：对于上述赌博，风险偏好者会选择参与赌博，而不是拿确定的＄100。
## 理性公理
冯·诺依曼和摩根斯坦提出的理论基石是以下四个公理。如果一个人的偏好满足这些公理，那么他的决策行为就可以用最大化期望效用来描述。
一. 完备性 (Completeness)：对于任何两个彩票 $A$ 和 $B$，决策者总能明确地表达他的偏好：要么他偏好 $A$ 胜过 $B$ ($A \succ B$)，要么偏好 $B$ 胜过 $A$ ($B \succ A$)，要么认为两者无差异 ($A \sim B$)。决策者不会“不知道”如何选择。
二. 传递性 (Transitivity)：如果决策者偏好 $A$ 胜过 $B$，且偏好 $B$ 胜过 $C$，那么他必然偏好 $A$ 胜过 $C$。即，若 $A \succ B$ 且 $B \succ C$，则 $A \succ C$。这保证了偏好的一致性，避免了无限循环的选择。
三. 连续性 (Continuity)：如果 $A \succ B \succ C$，那么必然存在一个概率 $p \in (0, 1)$，使得决策者认为“确定地得到 $B$”与一个“有 $p$ 的概率得到 $A$，有 $1-p$ 的概率得到 $C$”的彩票是无差异的。这个公理排除了某些极端偏好，并确保了效用可以被连续地度量。
四. 独立性 (Independence)：若决策者认为 $A \sim B$，那么对于任何第三个彩票 $C$ 和任意概率 $p \in (0, 1)$，他也会认为“一个有 $p$ 的概率得到 $A$，有 $1-p$ 的概率得到 $C$”的彩票与“一个有 $p$ 的概率得到 $B$，有 $1-p$ 的概率得到 $C$”的彩票是无差异的。换言之，将两个偏好相同的选项与一个不相关的第三方选项混合，不应改变原来的偏好关系。这个公理是期望效用理论中最具争议性、也最常被现实行为所违背的一个。
## 应用、批评与展望
应用：期望效用理论是现代经济学和金融学的基石。它被广泛应用于： * {{{投资组合理论}}}：解释投资者如何在风险和回报之间进行权衡，构建最优资产组合。 * 保险定价：解释为何人们愿意购买保险，以及保险公司如何定价。 * 公司金融：评估具有不确定性现金流的投资项目。 * 宏观经济学：分析家庭和企业在面对经济波动时的储蓄和投资决策。
批评与局限：尽管期望效用理论在规范性层面（即理性人应该如何决策）上具有强大影响力，但大量的{{{实验经济学}}}和{{{行为经济学}}}研究发现，人们的实际决策行为系统性地偏离了其预测。 * {{{阿莱悖论}}} (Allais Paradox)：一个著名的实验，展示了人们的决策违反了独立性公理。 * 确定性效应 (Certainty Effect)：人们对于确定的结果给予了过高的权重。
展望：为了更好地描述真实的人类行为，许多替代或扩展模型被提出。其中最著名的是由[[丹尼尔·卡尼曼]]和[[阿摩司·特沃斯基]]提出的{{{前景理论}}} (Prospect Theory)。前景理论引入了参考点依赖、{{{损失规避}}}和概率权重函数等概念，更能解释人们在现实世界中的风险决策行为。尽管如此，期望效用理论因其简洁、优雅和强大的分析能力，至今仍是经济学分析的默认起点和核心基准。