# 几何布朗运动 (Geometric Brownian Motion)
几何布朗运动 (Geometric Brownian Motion, GBM)，也常缩写为 GBM，是{{{金融数学}}}和{{{随机过程}}}理论中一个至关重要的连续时间{{{随机过程}}}。它被广泛用于模拟那些不能取负值的变量的动态演化，最著名的应用是作为{{{金融资产}}}（尤其是{{{股票}}}）价格随时间变化的经典模型。GBM是{{{Black-Scholes-Merton模型}}}的基石，该模型彻底改变了{{{期权定价}}}理论。
从本质上讲，几何布朗运动描述了一个过程，其对数（logarithm）遵循一个带有漂移的{{{布朗运动}}}（也称为{{{维纳过程}}}）。
## 随机微分方程 (SDE)
几何布朗运动由以下的{{{随机微分方程}}}（Stochastic Differential Equation, SDE）定义：
$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$
其中：
* $S_t$ 代表在时间 $t$ 的资产价格。 * $dS_t$ 代表在极小时间间隔 $dt$ 内资产价格 $S_t$ 的微小变化。 * $\mu$ (mu) 是一个常数，被称为 漂移率 (drift)。它代表了资产价格增长率的确定性部分，即资产的平均对数回报率的期望值。 * $\sigma$ (sigma) 是一个常数，被称为 波动率 (volatility)。它代表了资产价格增长率的随机性部分，衡量了资产回报的标准差。 * $dt$ 代表一个极小的时间增量。 * $dW_t$ 是一个{{{维纳过程}}}（或{{{布朗运动}}}）的增量。它代表了随机冲击的来源，具有 $E[dW_t] = 0$ 和 $\text{Var}(dW_t) = dt$ 的性质。这意味着 $dW_t$ 可以被看作是 $\varepsilon\sqrt{dt}$，其中 $\varepsilon$ 是一个服从{{{标准正态分布}}} $N(0, 1)$ 的随机变量。
### 理解 SDE 的两个组成部分
这个SDE可以被分解为两个部分来理解：
1. 确定性部分（漂移项）：$\mu S_t dt$ 这个项表明，在没有随机性的情况下，资产价格会以连续复利的形式按比率 $\mu$ 增长。价格的变化量与当前价格 $S_t$ 成正比。这类似于银行存款的利息，利息的产生取决于当前的本金。
2. 随机性部分（扩散项）：$\sigma S_t dW_t$ 这个项引入了不确定性。资产价格的随机波动也与当前价格 $S_t$ 成正比。这意味着价格越高的股票，其价格的绝对波动（以货币单位计）通常也越大。而其回报率的波动性由 $\sigma$ 决定。$dW_t$ 作为随机源，捕捉了由新信息、市场情绪变化等不可预测因素引起的价格波动。
## 求解几何布朗运动的 SDE
为了从上述SDE中得到任意时刻 $T$ 的资产价格 $S_T$ 的显式解，我们不能使用普通的{{{微积分}}}方法，因为 $W_t$ 是一个不可微的随机过程。我们需要使用{{{随机微积分}}}中的核心工具——{{{伊藤引理}}} (Itô's Lemma)。
我们的目标是找到一个函数 $f(S_t)$，其微分形式不包含 $S_t$ 本身，从而简化方程。一个自然的选择是对数函数 $f(S_t) = \ln(S_t)$。
根据伊藤引理，对于一个函数 $f(t, x)$，其关于随机过程 $X_t$ 的微分是： $$ df(t, X_t) = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} a(t, x) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} b(t, x)^2 \right) dt + \frac{\partial f}{\partial x} b(t, x) dW_t $$ 在我们的案例中，$X_t = S_t$， $f(S_t) = \ln(S_t)$，漂移函数 $a(t, S_t) = \mu S_t$，扩散函数 $b(t, S_t) = \sigma S_t$。
我们计算 $f(S_t) = \ln(S_t)$ 的偏导数： * $\frac{\partial f}{\partial S_t} = \frac{1}{S_t}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial S_t^2} = -\frac{1}{S_t^2}$ * $\frac{\partial f}{\partial t} = 0$
将这些偏导数代入伊藤引理的公式： $$ d(\ln S_t) = \left( 0 + \frac{1}{S_t}(\mu S_t) + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{S_t^2}\right) (\sigma S_t)^2 \right) dt + \frac{1}{S_t}(\sigma S_t) dW_t $$ 简化后得到： $$ d(\ln S_t) = \left( \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 \right) dt + \sigma dW_t $$ 这个方程描述了资产对数价格的变化。与原始SDE不同，这个方程的系数是常数。我们可以对两边从时间 0 到 $T$ 进行积分： $$ \int_0^T d(\ln S_t) = \int_0^T \left( \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 \right) dt + \int_0^T \sigma dW_t $$ $$ \ln S_T - \ln S_0 = \left( \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T + \sigma (W_T - W_0) $$ 假设维纳过程从0开始，即 $W_0 = 0$。于是 $W_T$ 本身就代表了从0到T的累积随机冲击。我们可以重新整理上式： $$ \ln\left(\frac{S_T}{S_0}\right) = \left( \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T + \sigma W_T $$ 最后，对两边取指数，我们得到 $S_T$ 的显式解： $$ S_T = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T \right) $$ 这个公式是现代金融中最重要的公式之一。
## 核心性质
1. {{{对数正态分布}}} (Log-normal Distribution) 从解的表达式可以看出，$\ln S_T$ 是一个{{{正态分布}}}的随机变量，因为它是一个常数加上一个正态分布变量 $W_T$ 的倍数（回忆 $W_T \sim N(0, T)$）。 * 均值: $E[\ln S_T] = \ln S_0 + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T$ * 方差: $\text{Var}[\ln S_T] = \text{Var}[\sigma W_T] = \sigma^2 \text{Var}[W_T] = \sigma^2 T$ 因此，$\ln S_T \sim N(\ln S_0 + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2 T)$。 由于 $S_T$ 的对数服从正态分布，我们称 $S_T$ 服从 对数正态分布。
2. 价格非负性 由于指数函数 $\exp(x)$ 的值恒为正，所以无论随机项 $\sigma W_T$ 取何值，$S_T$ 总是大于零。这与股票、商品等资产价格不能为负的现实情况相符，是GBM优于{{{算术布朗运动}}}的一个关键原因。
3. 期望价格 虽然对数价格的期望是 $\ln S_0 + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T$，但价格 $S_T$ 本身的期望值是多少呢？我们可以利用对数正态分布的性质来计算。 $$ E[S_T] = E\left[S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T \right)\right] $$ $$ E[S_T] = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T \right) E[\exp(\sigma W_T)] $$ 对于一个正态变量 $X \sim N(m, v^2)$，有 $E[e^X] = e^{m + v^2/2}$。在我们的例子中，随机变量是 $\sigma W_T$，其服从 $N(0, \sigma^2 T)$。因此，$m=0$, $v^2=\sigma^2 T$。 $$ E[\exp(\sigma W_T)] = \exp\left(0 + \frac{\sigma^2 T}{2}\right) = \exp\left(\frac{1}{2}\sigma^2 T\right) $$ 代入期望公式： $$ E[S_T] = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T \right) \exp\left(\frac{1}{2}\sigma^2 T\right) = S_0 e^{\mu T} $$ 这表明，资产价格的期望值以连续复利的形式按漂移率 $\mu$ 增长。
## 在金融中的应用
* {{{期权定价}}}：GBM是{{{Black-Scholes-Merton模型}}}对股票价格动态的基本假设。在{{{风险中性测度}}}下，漂移率 $\mu$ 被替换为{{{无风险利率}}} $r$，SDE变为 $dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t$。基于此假设，可以推导出著名的Black-Scholes期权定价公式。
* {{{蒙特卡洛模拟}}}：GBM的离散化形式被广泛用于金融工程中的蒙特卡洛模拟，以预测资产价格的未来路径。离散形式为： $$ S_{t+\Delta t} = S_t \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} Z \right) $$ 其中 $Z$ 是从标准正态分布中抽取的一个随机数。通过模拟成千上万条可能的价格路径，可以为复杂的{{{奇异期权}}}定价，或计算{{{风险价值}}} (Value at Risk, VaR) 等{{{风险管理}}}指标。
## 模型的局限性
尽管GBM模型非常强大且应用广泛，但它也有一些与现实市场不符的简化假设：
* 恒定波动率：模型假设波动率 $\sigma$ 是一个常数。然而，实证研究表明，资产的波动率是随时间变化的（所谓的{{{波动率聚类}}}），并且可能与资产价格本身相关（例如，{{{波动率微笑}}}现象）。这催生了更复杂的模型，如{{{随机波动率模型}}}（如{{{赫斯顿模型}}}）和{{{GARCH模型}}}。
* 连续路径（无跳跃）：GBM假设价格路径是连续的，没有中断。但在现实中，由于重大新闻（如财报发布、并购公告、政治事件）的冲击，资产价格常常会出现剧烈的“跳跃”。为了捕捉这一现象，学者们提出了{{{跳跃扩散模型}}}。
* 正态对数回报：模型隐含资产的对数回报服从正态分布。而实际的金融时间序列数据往往显示出“肥尾”（即极端事件的发生概率高于正态分布的预测）和偏度。