# 子博弈精炼纳什均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium)
子博弈精炼纳什均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE) 是{{{博弈论}}}中一个至关重要的均衡概念，是对{{{纳什均衡}}} (Nash Equilibrium) 的一种{{{精炼}}} (Refinement)。它专门用于分析{{{动态博弈}}} (Dynamic Games)，特别是那些以{{{扩展形式}}} (Extensive Form) 表达的博弈。SPNE的核心思想是排除那些基于不可信威胁 (Non-credible Threats) 的纳什均衡，从而提供对博弈结果更精确、更具说服力的预测。
一个策略组合要成为子博弈精炼纳什均衡，它必须在整个博弈的每一个{{{子博弈}}} (Subgame) 中都构成一个纳什均衡。这一概念由诺贝尔经济学奖得主[[莱因哈德·泽尔滕]] (Reinhard Selten) 提出，旨在增强纳什均衡在动态环境下的预测能力。
## 核心概念解析
要深入理解SPNE，首先需要掌握几个基础概念：
1. {{{扩展形式博弈}}} (Extensive Form Game)：这是一种用“博弈树”来描述博弈的方式，它清晰地展示了博弈的顺序结构：谁在什么时候行动、行动时拥有什么信息，以及每个可能结果对应的{{{支付}}} (Payoff)。
2. {{{子博弈}}} (Subgame)：子博弈是原始博弈树的一部分，它本身也构成一个完整的博弈。一个子博弈必须满足以下条件： * 它始于一个单节{{{信息集}}} (Singleton Information Set) 的决策节点。这意味着，轮到该参与人行动时，他确切地知道自己正处于博弈树的哪一个节点上。 * 它包含该初始节点之后的所有决策节点和终端节点。 * 它不能“切穿”任何信息集。也就是说，如果一个子博弈包含了某个信息集中的一个节点，那么它必须包含该信息集中的所有节点（由于子博弈始于单节信息集，这个条件自然得到满足）。
3. {{{纳什均衡}}} (Nash Equilibrium)：在一个策略组合中，假设其他所有参与人的策略都不改变，没有任何一个参与人能够通过单方面改变自己的策略来获得更高的支付。
## SPNE的动机：不可信威胁问题
在静态博弈或同时行动的博弈中，纳什均衡是一个强大的分析工具。然而，在动态博弈中，仅靠纳什均衡可能会得出不合逻辑的结论，因为它可能包含基于“空洞威胁”或“不可信威胁”的策略。
让我们通过一个经典的“市场进入博弈” (Entry Game) 来说明这个问题。
假设博弈中有两个参与人： * 参与人1：挑战者 (Challenger)，可以是计划进入某市场的新公司。 * 参与人2：在位者 (Incumbent)，即市场中已有的公司。
博弈进程如下： 1. 挑战者首先行动，选择“进入” (Enter) 市场或“不进入” (Stay Out)。 2. 如果挑战者选择“不进入”，博弈结束。挑战者获得支付0，在位者因独占市场而获得支付2。支付记为 (0, 2)。 3. 如果挑战者选择“进入”，则轮到在位者行动。在位者可以选择“斗争” (Fight)（例如发动价格战）或“默许” (Accommodate)（接受市场被瓜分）。 * 如果“斗争”，两败俱伤，双方支付均为-1。支付记为 (-1, -1)。 * 如果“默许”，双方瓜分市场，支付均为1。支付记为 (1, 1)。
### 寻找纳什均衡
我们可以将此博弈转换为{{{策略形式}}} (Normal Form) 来寻找所有纳什均衡。 * 挑战者的策略集：{进入, 不进入} * 在位者的策略是一个应对计划：{若挑战者进入则斗争, 若挑战者进入则默许}
通过分析，我们可以找到两个纳什均衡：
1. (进入, 默许)： * 挑战者选择“进入”，获得支付1。如果他单方面改为“不进入”，支付变为0，所以他不会改变。 * 在位者选择“默许”，获得支付1。如果他单方面改为“斗争”，支付变为-1，所以他也不会改变。 * 这是一个纳什均衡。
2. (不进入, 斗争)： * 挑战者选择“不进入”，获得支付0。他预期如果“进入”，在位者将“斗争”，使其支付变为-1。因此，他不会改变策略。 * 在位者声称要“斗争”。由于挑战者选择了“不进入”，在位者的行动从未被执行，其支付为2。如果他单方面改变策略为“默许”，挑战者依然“不进入”，在位者的支付仍然是2。因此，他也没有动机改变策略。 * 这也是一个纳什均衡。
### “不可信威胁”的识别
现在，我们审视第二个纳什均衡：(不进入, 斗争)。这个均衡依赖于在位者发出的“斗争”威胁。但这个威胁可信吗？
为了回答这个问题，我们必须把自己放在博弈的特定阶段：假设挑战者已经选择了“进入”。此刻，博弈进入了一个新的阶段，这正是一个子博弈。在这个子博弈中，只有在位者需要行动。他的选择是在“斗争”（支付-1）和“默许”（支付1）之间。作为一个{{{理性参与人}}}，在位者显然会选择“默许”，因为1 > -1。
因此，在位者“斗争”的威胁是不可信的。他只是在挑战者尚未进入时口头宣称要斗争，以吓退挑战者。一旦挑战者真的进入市场，实施斗争策略对在位者自身是不利的。理性的挑战者应该能预见到这一点，从而无视这个空洞的威胁。
子博弈精炼纳什均衡正是为了排除这种基于不可信威胁的均衡。在 (不进入, 斗争) 这个策略组合中，在位者的策略“斗争”在“挑战者进入后”的子博弈里并不是最优选择，因此它不构成该子博弈的纳什均衡。所以，(不进入, 斗争) 不是一个SPNE。
## 求解SPNE：逆向归纳法
对于有限期的{{{完全信息博弈}}} (Games of Perfect Information)，寻找SPNE的标准方法是{{{逆向归纳法}}} (Backward Induction)。
逆向归纳法的步骤如下： 1. 从博弈树的最后一个决策阶段开始。 2. 确定在该阶段行动的参与人的最优策略（即最大化其支付的策略）。 3. 将该决策节点及其后续分支用该最优策略所带来的支付结果替代，相当于“剪枝”。 4. 向前一个决策阶段移动，并将上一步的结果作为已知条件，重复此过程。 5. 持续这个过程，直到回到博弈的初始节点。
### 逆向归纳法应用于市场进入博弈
1. 最后阶段：在位者的决策节点（在挑战者进入后）。 * 在位者比较“斗争”（支付-1）和“默许”（支付1）。 * 最优选择是“默许”。
2. 前一阶段：挑战者的初始决策节点。 * 挑战者现在可以预见到：如果他选择“进入”，在位者将会“默许”，从而挑战者将获得支付1。 * 挑战者比较“进入”（预期支付1）和“不进入”（确定支付0）。 * 最优选择是“进入”。
通过逆向归纳法，我们得到的唯一路径是：挑战者“进入”，随后在位者“默许”。
因此，该博弈唯一的子博弈精炼纳什均衡是： * 策略组合: (进入, 默许) * 均衡路径: 挑战者进入，在位者默许。 * 均衡支付: (1, 1)
这个结果符合我们的直觉：不可信的威胁被剔除，只留下了在每个决策点上都是理性的行为序列。
## SPNE的性质与应用
* 精炼关系：所有SPNE都是纳什均衡，但并非所有纳什均衡都是SPNE。SPNE是纳什均衡的一个子集。 * 存在性：[[泽尔梅洛定理]] (Zermelo's Theorem) 保证了任何有限期的完美信息博弈都至少存在一个纯策略的SPNE（可以通过逆向归纳法找到）。 * 应用领域：SPNE是分析动态策略互动的基础工具，广泛应用于： * {{{寡头理论}}}：如分析产量或价格竞争的{{{施塔克尔伯格模型}}} (Stackelberg Model)。 * {{{讨价还价理论}}}：如{{{鲁宾斯坦讨价还价模型}}} (Rubinstein Bargaining Model)。 * 宏观经济学：分析政府与中央银行之间的政策博弈，例如关于{{{通货膨胀}}}和{{{失业}}}的权衡。 * 国际关系：建立威慑和承诺的模型。
## 局限性
* 在{{{不完全信息博弈}}} (Games of Incomplete Information) 或{{{不完美信息博弈}}} (Games of Imperfect Information) 中，由于存在非单节的信息集，子博弈的数量可能很少，SPNE的精炼能力会减弱。在这种情况下，需要使用更强的均衡概念，如{{{贝叶斯精炼纳什均衡}}} (Perfect Bayesian Nash Equilibrium)。 * 在{{{无限期博弈}}} (Infinite Horizon Games) 中，由于没有“最后阶段”，逆向归纳法无法直接应用。需要使用其他方法，如“一次性偏离原则” (One-Shot Deviation Principle) 来检验SPNE。