# Levene检验 (Levene's Test)
Levene检验 (Levene's Test) 是一种用于评估多个组之间{{{方差}}}是否相等的{{{统计检验}}}方法。具体来说，它用于检验因变量在不同组别间的方差是否具有{{{同方差性}}} ({{{Homoscedasticity}}})。方差齐性是许多参数统计检验的重要前提假设，例如{{{方差分析}}} ({{{ANOVA}}}) 和学生{{{t检验}}} (Student's t-test)。Levene检验因其对数据偏离{{{正态分布}}}的稳健性 (robustness) 而被广泛使用。
## 检验的原理与假设
在进行组间均值比较之前，核实各组方差是否相等是一个关键的步骤。如果方差不相等（即存在{{{异方差性}}}或{{{Heteroscedasticity}}})，则直接使用标准的ANOVA或t检验可能会导致错误的结论，通常会增加犯第一类错误的概率。Levene检验正是为了验证这一假设而设计的。
Levene检验的{{{假设检验}}} (Hypothesis Testing) 结构如下：
* {{{零假设}}} ($H_0$)：所有组的方差相等。 $$ H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2 $$ 其中，$k$ 是组的数量，$\sigma_i^2$ 是第 $i$ 组的总体方差。
* {{{备择假设}}} ($H_a$)：至少有一组的方差與其他组不相等。 $$ H_a: \exists i, j \text{ s.t. } \sigma_i^2 \neq \sigma_j^2 $$
检验的结果通过{{{p值}}} (p-value) 来判断。 * 如果p值大于预设的{{{显著性水平}}} $\alpha$ (通常为0.05)，我们 无法拒绝零假设。这意味着没有足够的证据表明各组的方差不相等，因此可以认为满足方差齐性的假设。 * 如果p值小于或等于 $\alpha$，我们 拒绝零假设。这意味着有充分的证据表明各组的方差不相等，方差齐性的假设不成立。
## Levene检验的计算步骤
Levene检验的巧妙之处在于，它将对“方差”的检验问题转化为了对“均值”的检验问题。其基本思想是：如果各组的方差相等，那么每组数据点与其中心位置的离散程度应该是相似的。Levene检验通过计算每个数据点与其组中心的离差绝对值，然后对这些离差绝对值进行一次标准的单因素方差分析（One-Way ANOVA）来实现。
具体的计算步骤如下：
1. 定义数据：假设有 $k$ 个组，第 $i$ 组 ($i=1, 2, \dots, k$) 包含 $n_i$ 个观测值，记为 $Y_{ij}$ (其中 $j=1, 2, \dots, n_i$)。总样本量为 $N = \sum_{i=1}^{k} n_i$。
2. 计算各组的中心位置：对于每一个组 $i$，计算其中心位置的度量值。原始的Levene检验使用{{{均值}}} ($\bar{Y}_i$)，但后来的研究表明，使用其他度量可以使检验更加稳健。 * 均值（Mean）：$\bar{Y}_i = \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} Y_{ij}$。这是最原始的方法，但在数据不呈正态分布时表现不佳。 * {{{中位数}}}（Median）：$\tilde{Y}_i$。这是最常用和推荐的方法，因为它对异常值和非正态分布不敏感。使用中位数的Levene检验通常也被称为 Brown-Forsythe检验。 * {{{截尾均值}}}（Trimmed Mean）：例如，去除每组中最大和最小的10%数据后计算的均值。这是介于均值和中位数之间的一种选择。
3. 计算离差绝对值：为每个观测值 $Y_{ij}$ 计算其与所在组中心位置的离差绝对值，记为 $Z_{ij}$。 $$ Z_{ij} = |Y_{ij} - \text{中心位置}_i| $$ 例如，如果使用中位数作为中心，则 $Z_{ij} = |Y_{ij} - \tilde{Y}_i|$。 现在，我们得到了一组新的数据 $Z_{ij}$，这组数据代表了原始数据与其组中心的离散程度。
4. 对 $Z_{ij}$ 进行方差分析：将 $Z_{ij}$ 作为新的因变量，对这 $k$ 个组进行一次标准的单因素方差分析。Levene检验的检验统计量 $W$ 就是这次方差分析的 $F$ 统计量。 $W$ 统计量的计算公式为： $$ W = \frac{(N-k)}{(k-1)} \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Z}_{i\cdot} - \bar{Z}_{\cdot\cdot})^2}{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Z_{ij} - \bar{Z}_{i\cdot})^2} $$ 其中： * $\bar{Z}_{i\cdot} = \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} Z_{ij}$ 是第 $i$ 组离差绝对值的均值。 * $\bar{Z}_{\cdot\cdot} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} Z_{ij}$ 是所有离差绝对值的总均值。
5. 得出结论：将计算出的 $W$ 统计量与{{{F分布}}}的临界值进行比较。该F分布的{{{自由度}}}为 $df_1 = k-1$ 和 $df_2 = N-k$。在实践中，统计软件会直接计算出p值，研究者依据p值与 $\alpha$ 的关系做出判断。
## 与巴特利特检验的比较
{{{巴特利特检验}}} (Bartlett's Test) 是另一种用于检验方差齐性的方法。它与Levene检验的主要区别在于对数据分布的敏感性。
* 巴特利特检验: 理论上，如果数据严格服从{{{正态分布}}}，巴特利特检验的{{{统计功效}}} (Statistical Power) 略高于Levene检验。然而，它的一个巨大缺点是 对非正态分布非常敏感。如果数据稍有偏离正态性，巴特利特检验就可能错误地拒绝方差齐性的零假设。 * Levene检验: 对偏离正态分布的情况更为稳健，特别是使用中位数作为中心位置时。这意味着即使数据不是完美的正态分布，Levene检验的结果也相对可靠。
结论：由于在实际研究中数据完美服从正态分布的情况很少见，Levene检验通常是比巴特利特检验更安全、更常用的选择。
## 实际应用中的考量
当Levene检验的结果显示方差不齐时（即p值小于 $\alpha$），研究者应采取以下措施之一： 1. 使用不要求方差齐性的检验方法：例如，使用{{{韦尔奇t检验}}} (Welch's t-test) 代替标准的学生t检验，或使用{{{韦尔奇方差分析}}} (Welch's ANOVA) 或Brown-Forsythe F-test代替标准ANOVA。这些方法在计算自由度时对不等的方差进行了调整。 2. 对数据进行{{{数据转换}}} (Data Transformation)：例如，对数据进行对数、平方根或倒数转换，有时可以使转换后的数据满足方差齐性的假设。然而，这种方法会改变数据的解释。 3. 使用非参数检验：如果数据分布严重偏态且方差不齐，可以考虑使用不依赖于分布假设的非参数检验，例如Kruskal-Wallis检验。
然而，需要注意的是，在样本量非常大的情况下，Levene检验可能变得过于敏感，即使组间方差差异非常小且在实践中无足轻重，也可能会得到一个显著的结果。反之，在样本量很小的情况下，其检验功效可能不足，无法检测到真实存在的方差差异。因此，解释Levene检验的结果时，还应结合样本量和数据的实际情况进行综合判断。