# 柯布-道格拉斯效用函数 (Cobb-Douglas Utility Function)
柯布-道格拉斯效用函数是在{{{微观经济学}}}中，尤其是在{{{消费者理论}}}中，一种被广泛使用的特定形式的{{{效用函数}}}。它用以表示一个理性的消费者从消费不同数量的商品组合中所获得的效用或满足感。
该函数因其数学上的简洁性和良好的经济学性质而备受青睐。它的基本形式对于两种商品 $X_1$ 和 $X_2$ 而言，可以表示为：
$$ U(X_1, X_2) = A X_1^\alpha X_2^\beta $$
其中： * $U(X_1, X_2)$ 代表从消费数量为 $X_1$ 的商品1和数量为 $X_2$ 的商品2中所得到的总效用。 * $X_1$ 和 $X_2$ 分别是两种商品的消费数量，且 $X_1 > 0, X_2 > 0$。 * $A$ 是一个正常数 ($A>0$)，代表效用的衡量尺度。由于效用是{{{序数效用}}} (Ordinal Utility)而非基数效用，即效用的大小只表示偏好的顺序，因此 $A$ 的具体数值不影响消费者的选择行为。在分析中，为了简化，通常将 $A$ 设定为1。 * $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个正常数 ($\alpha>0, \beta>0$)，它们代表了消费者对这两种商品的偏好强度。这两个指数的大小决定了消费者愿意如何在两种商品之间分配其支出。
该函数形式最初被用于描述生产关系，即{{{柯布-道格拉斯生产函数}}}，后来被引入消费者理论。
## 核心经济学性质
柯布-道格拉斯效用函数之所以重要，是因为它蕴含了一系列符合标准经济学假设的“良好”性质。
### 1. 边际效用 (Marginal Utility)
{{{边际效用}}}指的是在保持其他商品消费量不变的情况下，额外增加一单位某商品的消费所带来的总效用的增加量。它通过对效用函数求{{{偏导数}}}得到。
* 对于商品1的边际效用 ($MU_1$)： $$ MU_1 = \frac{\partial U}{\partial X_1} = A \alpha X_1^{\alpha-1} X_2^\beta $$ * 对于商品2的边际效用 ($MU_2$)： $$ MU_2 = \frac{\partial U}{\partial X_2} = A \beta X_1^{\alpha} X_2^{\beta-1} $$
由于 $A, \alpha, \beta, X_1, X_2$ 均为正数，所以 $MU_1$ 和 $MU_2$ 恒为正。这符合“越多越好”的{{{非饱和性假定}}} (Non-satiation)。此外，如果参数 $\alpha < 1$ 且 $\beta < 1$（通常都这样假设），那么该效用函数还表现出{{{边际效用递减}}}的特征，即随着一种商品消费量的增加，其带来的额外满足感会越来越少。
### 2. 边际替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS)
{{{边际替代率}}}衡量了在保持总效用水平不变的前提下，消费者愿意用一种商品交换另一种商品的比率。它等于两条{{{无差异曲线}}}在该点的斜率的绝对值，也等于两种商品边际效用之比。
对于柯布-道格拉斯效用函数，边际替代率 $MRS_{1,2}$ 为：
$$ MRS_{1,2} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{A \alpha X_1^{\alpha-1} X_2^\beta}{A \beta X_1^{\alpha} X_2^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \frac{X_2}{X_1} $$
此MRS具有以下重要特征： * 递减的边际替代率：当 $X_1$ 增加而 $X_2$ 减少时（沿着同一条无差异曲线向右下方移动），比率 $X_2/X_1$ 会减小，因此MRS会递减。这表明，消费者拥有的 $X_1$ 越多，$X_2$ 越少，他愿意为了再增加一单位 $X_1$ 而放弃的 $X_2$ 的数量就越少。这导致了无差异曲线凸向原点 (Convex to the origin)，这是消费者行为理论中的一个标准假设。 * MRS仅取决于商品消费量的比率：MRS的值只与 $X_2/X_1$ 这个比率有关，而与消费的绝对数量无关。这个特性是{{{位似偏好}}} (Homothetic Preferences) 的直接体现。
### 3. 位似偏好 (Homothetic Preferences)
柯布-道格拉斯效用函数代表的是位似偏好。这意味着，在任意收入水平下，消费者都会将各种商品按照固定的比例进行消费。从几何上看，这意味着从原点出发的任意一条射线，其穿过的所有无差异曲线的切线斜率（即MRS）都是相同的。这导致了消费者的{{{收入扩展路径}}} (Income Expansion Path) 是一条从原点出发的直线。
## 消费者效用最大化问题
柯布-道格拉斯效用函数的最大价值体现在求解消费者选择问题上。假设一个消费者的目标是最大化其效用，同时受到{{{预算约束}}}的限制。
问题可以表述为： * 最大化：$U(X_1, X_2) = X_1^\alpha X_2^\beta$ * 约束于：$P_1 X_1 + P_2 X_2 = M$ 其中 $P_1, P_2$ 分别是两种商品的价格，$M$ 是消费者的总收入。
最优消费组合的条件是，无差异曲线的斜率（MRS）等于预算线的斜率（价格比）：
$$ MRS_{1,2} = \frac{P_1}{P_2} $$
代入MRS的表达式： $$ \frac{\alpha}{\beta} \frac{X_2}{X_1} = \frac{P_1}{P_2} $$
通过整理上式和预算约束，我们可以解出消费者对两种商品的{{{马歇尔需求函数}}} (Marshallian Demand Functions)，即在给定价格和收入下的最优消费量 $X_1^*$ 和 $X_2^*$：
$$ X_1^*(P_1, M) = \left( \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \right) \frac{M}{P_1} $$ $$ X_2^*(P_2, M) = \left( \frac{\beta}{\alpha+\beta} \right) \frac{M}{P_2} $$
### 支出份额恒定
这个需求函数揭示了柯布-道格拉斯效用函数最著名的特性之一：消费者在每种商品上的支出占总收入的比例是一个常数。
* 消费者在商品1上的支出： $$ P_1 X_1^* = P_1 \left( \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \right) \frac{M}{P_1} = \left( \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \right) M $$ * 消费者在商品2上的支出： $$ P_2 X_2^* = P_2 \left( \frac{\beta}{\alpha+\beta} \right) \frac{M}{P_2} = \left( \frac{\beta}{\alpha+\beta} \right) M $$
支出份额完全由偏好参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 决定。例如，如果 $\alpha = 2\beta$，那么消费者总会将收入的 $2/3$ 花在商品1上，将 $1/3$ 花在商品2上，无论商品的价格或总收入如何变化。这个特性使得模型在应用于{{{一般均衡理论}}}和宏观经济模型时极为方便。
一个常见的标准化做法是令 $\alpha + \beta = 1$，在这种情况下，$\alpha$ 和 $\beta$ 直接代表了消费者在商品1和商品2上的支出份额。
## 对数变换
由于效用是序数概念，任何保持偏好顺序不变的{{{单调变换}}} (Monotonic Transformation) 都会产生代表相同偏好的新效用函数。对柯布-道格拉斯函数取自然对数是一种常见的简化技巧：
$$ V(X_1, X_2) = \ln(X_1^\alpha X_2^\beta) = \alpha \ln X_1 + \beta \ln X_2 $$
这个对数线性的形式在进行最优化计算时更为便捷，但其推导出的MRS和最终的需求函数与原始形式完全相同，因为它代表的是完全相同的偏好结构。
## 总结与评价
优点： 1. 行为良好：满足非饱和性、边际效用递减、边际替代率递减等标准假设。 2. 数学 tractable：易于进行数学推导和求解，能得到明确的、形式简单的需求函数。 3. 支出份额恒定：这一特性使其在构建大型理论和经验模型时非常有用。
局限性： 1. 替代弹性为1：柯布-道格拉斯效用函数的{{{替代弹性}}} (Elasticity of Substitution) 恒等于1。这意味着价格变化对消费比例的影响是固定的，现实中可能并非如此。 2. 所有商品均为正常品：需求量随收入增加而增加，不存在{{{劣等品}}}。 3. 零交叉价格弹性：一种商品的需求量不受另一种商品价格变化的影响（从需求函数 $X_1^* = (\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \frac{M}{P_1}$ 可以看出），这在现实中对于替代品或互补品是不成立的。
尽管存在这些局限，柯布-道格拉斯效用函数仍然是学习和应用微观经济学的一个基石模型。为了克服其局限性，经济学家也发展了更具一般性的函数形式，例如{{{CES效用函数}}} (Constant Elasticity of Substitution Utility Function)。