# 贝叶斯博弈 (Bayesian Game)
贝叶斯博弈 (Bayesian Game) 是{{{博弈论}}}中用于分析 不完全信息 (Incomplete Information) 情景的一个核心模型。在许多现实的战略互动中，参与者并不完全了解其他参与者的所有特征。例如，他们可能不清楚对手的偏好、成本、实力或估值。贝叶斯博弈提供了一个数学框架，用以描述和预测在这种信息不对称情况下的理性行为。
这个概念由诺贝尔经济学奖得主[[约翰·海萨尼]] (John Harsanyi) 在其1967-68年的开创性论文中提出。他引入了一种方法，将不完全信息博弈转化为一个虽然稍显复杂但可分析的 不完美信息 (Imperfect Information) 博弈。
## 核心构成要素
一个标准的贝叶斯博弈由以下几个关键要素定义，这也被称为 海萨尼转换 (Harsanyi Transformation)：
1. 参与者 (Players)：博弈中的决策主体集合，用 $N = \{1, 2, $...$, n\}$ 表示。
2. 行动空间 (Action Spaces)：每个参与者 $i$ 可以选择的行动集合，记为 $A_i$。一个行动组合 $(a_1, a_2, $...$, a_n)$ 决定了博弈的一个结果。
3. “类型”空间 (Type Spaces)：这是贝叶斯博弈的核心。每个参与者 $i$ 的 类型 (Type) $t_i$ 概括了其所有的 私有信息 (Private Information)。类型可以代表： * 在{{{拍卖}}}中，一个竞标者对自己想要购买的物品的真实估值。 * 在{{{古诺竞争}}}中，一个企业的{{{边际成本}}}。 * 在劳动力市场中，一个求职者的内在能力或努力程度。 * 在国际关系中，一个国家的军事实力或决心。 每个参与者 $i$ 知道自己的类型 $t_i$，但不知道其他参与者 $j \neq i$ 的类型 $t_j$。所有可能的类型构成了类型空间 $T_i$。一个类型组合 $(t_1, t_2, $...$, t_n)$ 称为一个 状态 (state)。
4. 信念 (Beliefs)：尽管参与者不知道对手的确切类型，但他们对对手可能的类型有一个{{{概率分布}}}的认识。在标准模型中，我们通常假设存在一个 共同先验 (Common Prior)，记为 $p$。这是一个在所有类型组合空间 $T = T_1 \times T_2 \times $...$ \times T_n$ 上的概率分布。所有参与者都知道这个共同的先验分布。当一个参与者 $i$ 观察到自己的类型 $t_i$ 后，他会使用{{{贝叶斯法则}}}来更新对其他参与者类型 $t_{-i}$ 的条件概率信念，即 $p(t_{-i} | t_i)$。
5. 收益函数 (Payoff Functions)：每个参与者 $i$ 的收益（或{{{效用}}}）不仅取决于所有参与者选择的行动 $(a_1, $...$, a_n)$，还取决于所有参与者的类型 $(t_1, $...$, t_n)$。收益函数表示为 $u_i(a_1, $...$, a_n; t_1, $...$, t_n)$。
## 贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium, BNE)
在贝叶斯博弈中，我们寻找的解概念是 贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium, BNE)。
一个普通的{{{纳什均衡}}}要求每个参与者的策略是给定对手策略下的最优选择。在贝叶斯博弈中，一个参与者的策略必须考虑到其自身所有可能的类型。因此，一个 策略 (strategy) 对于参与者 $i$ 来说，是一个函数（或规则） $s_i(t_i)$，它为该参与者可能拥有的每一种类型 $t_i \in T_i$ 指定一个具体的行动 $a_i \in A_i$。
一个策略组合 $s^* = (s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), $...$, s_n^*(\cdot))$ 构成一个贝叶斯纳什均衡，如果对于每一个参与者 $i$ 和他的每一种可能的类型 $t_i \in T_i$，其策略 $s_i^*(t_i)$ 都能最大化其 期望收益 (Expected Payoff)，前提是假定其他所有参与者 $j$ 都遵循他们的均衡策略 $s_j^*(\cdot)$。
数学上，对于任意参与者 $i$ 和其任意类型 $t_i \in T_i$，策略 $s_i^*(t_i)$ 必须满足： $$ s_i^*(t_i) \in \arg\max_{a_i \in A_i} \sum_{t_{-i} \in T_{-i}} p(t_{-i} | t_i) u_i(a_i, s_{-i}^*(t_{-i}); t_i, t_{-i}) $$ 其中： * $s_{-i}^*(t_{-i})$ 表示除参与者 $i$ 以外的其他所有参与者根据其各自类型 $t_{-i}$ 所采取的均衡策略。 * $p(t_{-i} | t_i)$ 是参与者 $i$ 在知道自己类型为 $t_i$ 的情况下，对其他参与者类型为 $t_{-i}$ 的后验概率信念。根据贝叶斯法则，它等于 $\frac{p(t_i, t_{-i})}{p(t_i)}$。 * $\sum_{t_{-i} \in T_{-i}}$ 表示对其他参与者所有可能的类型组合进行求和（如果是连续类型，则为积分），并以信念为权重。
简言之，BNE要求每个参与者的策略，在考虑到所有不确定性的情况下，对自身的每一种可能“身份”而言都是最优的。没有人有单方面偏离其策略的动机。
## 示例：信息不对称的古诺竞争
这是一个经典的贝叶斯博弈应用。假设有两家公司（公司1和公司2）进行{{{古诺竞争}}}，即同时选择产量。
* 市场需求：市场逆需求函数为 $P(Q) = \alpha - Q$，其中总产量 $Q = q_1 + q_2$。 * 成本结构：公司1的{{{边际成本}}}为 $c$，这是共同知识。公司2的边际成本是其私有信息。公司1（以及市场）只知道公司2的边际成本有两种可能： * 低成本 ($c_L$)，发生的概率为 $\theta$。 * 高成本 ($c_H$)，发生的概率为 $1-\theta$。 * 博弈设定： * 参与者：公司1，公司2。 * 类型：公司1只有一种类型。公司2有两种类型 $t_2 \in \{c_L, c_H\}$。 * 行动：公司1选择产量 $q_1$；公司2选择产量 $q_2$。 * 策略：公司1的策略就是选择一个产量 $q_1$。公司2的策略是一个函数，它规定了在每种成本类型下的产量选择，即一个产量对 $(q_{2L}, q_{2H})$，其中 $q_{2L}$ 是低成本时的产量，$q_{2H}$ 是高成本时的产量。
现在我们来求解这个博弈的BNE。
1. 公司2的优化问题：公司2知道自己的成本。 * 如果它是低成本类型 ($c_L$)，它将选择 $q_{2L}$ 来最大化其利润，给定它对公司1产量 $q_1$ 的预期： $$ \max_{q_{2L}} \pi_{2L} = (\alpha - q_1 - q_{2L} - c_L)q_{2L} $$ 通过一阶条件，我们得到其最优反应函数：$q_{2L}(q_1) = \frac{\alpha - q_1 - c_L}{2}$。 * 如果它是高成本类型 ($c_H$)，类似地，其最优反应为： $$ q_{2H}(q_1) = \frac{\alpha - q_1 - c_H}{2} $$
2. 公司1的优化问题：公司1不知道公司2的真实成本。因此，它必须最大化其 期望利润。它预期公司2以 $\theta$ 的概率生产 $q_{2L}$，以 $1-\theta$ 的概率生产 $q_{2H}$。 $$ \max_{q_1} E[\pi_1] = \theta \cdot [(\alpha - q_1 - q_{2L} - c)q_1] + (1-\theta) \cdot [(\alpha - q_1 - q_{2H} - c)q_1] $$ 整理后的一阶条件给出了公司1的最优反应： $$ q_1 = \frac{\alpha - (\theta q_{2L} + (1-\theta)q_{2H}) - c}{2} $$
3. 求解BNE：我们现在有三位一体的均衡：公司1的最优产量 $q_1^*$，以及公司2两种类型下的最优产量 $q_{2L}^*$ 和 $q_{2H}^*$。我们将公司2的两个最优反应函数代入公司1的最优反应函数中，得到一个只包含 $q_1$ 的方程，解出 $q_1^*$。然后，将 $q_1^*$ 的解代回公司2的反应函数，即可求得 $q_{2L}^*$ 和 $q_{2H}^*$。这个三元组 $(q_1^*, (q_{2L}^*, q_{2H}^*))$ 就是该博弈的贝叶斯纳什均衡。
这个例子表明，公司1的决策必须基于对公司2不同类型的加权平均行为的预期，而公司2不同类型的决策则分别针对公司1的单一决策进行优化。
## 应用领域
贝叶斯博弈是现代{{{微观经济学}}}、{{{产业组织理论}}}和{{{政治科学}}}的基石。其应用非常广泛，包括但不限于：
* {{{拍卖理论}}}：竞标者的真实估值是其私有类型，贝叶斯博弈被用来分析不同拍卖规则下的均衡出价策略。 * {{{信号博弈}}} (Signaling Games)：有信息的一方（如求职者）通过行动（如接受教育）向无信息的一方（如雇主）传递关于其私有类型（如能力高低）的信号。 * {{{机制设计}}}：这是贝叶斯博弈的反向工程。设计者（如政府或拍卖师）如何设计一套规则（一个"机制"或"博弈"），来引导拥有私有信息的参与者们做出能达成设计者目标的行为。这是设计最优拍卖、税收政策和公共资源分配方案的理论基础。 * {{{声誉模型}}}：在重复博弈中，一个参与者的行为可以被用来推断其长期类型（例如，是合作型还是剥削型），从而建立或摧毁声誉。 * {{{信息不对称}}}市场：分析如{{{二手车市场}}}中的{{{柠檬问题}}}（{{{劣币驱逐良币}}}），其中卖方对车况的了解是私有信息，这会影响市场的效率。
总之，贝叶斯博弈通过将“类型”和“信念”正式化，极大地扩展了博弈论的应用范围，使其能够有力地分析经济和社会中普遍存在的不完全信息和{{{信息不对称}}}问题。