# 定积分 (Definite Integral)
定积分 (Definite Integral) 是{{{微积分}}} (Calculus) 中的一个核心概念，它将函数在某个区间上的值进行“累加”或“汇总”。从几何角度看，定积分最直观的解释是计算一个函数图像在指定区间内与x轴所围成的曲边梯形的 {{{面积}}}。与旨在寻找函数原函数族的{{{不定积分}}}不同，定积分计算的结果是一个具体的数值。
定积分的通用表示法为： $$ \int_a^b f(x) \, dx $$ 其中： * $\int$ 是积分符号。 * $a$ 和 $b$ 分别称为积分的 下限 (lower limit) 和 上限 (upper limit)，它们共同定义了积分的区间 $[a, b]$。 * $f(x)$ 是 被积函数 (integrand)，即需要对其进行积分的函数。 * $dx$ 称为 积分变量 (variable of integration)，表示积分是针对变量 $x$ 进行的。它也暗示着积分过程涉及到一个微小的变化量。
## 黎曼和：定积分的严格定义
从数学上讲，定积分是通过一个称为 {{{黎曼和}}} (Riemann Sum) 的极限过程来严格定义的。这个过程将计算面积的思想形式化，其步骤如下：
1. 分割区间：将闭区间 $[a, b]$ 分割成 $n$ 个小的子区间。分割点为 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$。第 $i$ 个子区间的宽度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。为简化计算，通常采用等宽分割，即 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。
2. 选取样本点：在每一个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内，任意选取一个点 $x_i^*$，称为样本点。
3. 构建黎曼和：用一系列矩形来近似曲边梯形的面积。第 $i$ 个矩形的高度为函数在样本点的值 $f(x_i^*)$，宽度为 $\Delta x_i$。其面积为 $f(x_i^*) \Delta x_i$。将所有这些矩形的面积相加，就得到了黎曼和： $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i $$
4. 取极限：当分割的子区间数量 $n$ 趋向于无穷大时（等价于最长的子区间宽度趋向于零），如果这个黎曼和的极限存在且唯一（即与样本点的选取方式无关），那么这个极限值就被定义为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分。 $$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i $$ 如果这个极限存在，则称函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上是 {{{黎曼可积的}}} (Riemann integrable)。一个重要的结论是：所有在闭区间上的{{{连续函数}}}都是黎曼可积的。
## 微积分基本定理
虽然黎曼和为定积分提供了严格的定义，但在实际计算中极为繁琐。{{{微积分基本定理}}} (The Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 建立了{{{微分}}}与积分之间的桥梁，为计算定积分提供了一个强有力的工具。
该定理包含两个部分：
* 第一基本定理 (FTC I): 如果函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，定义函数 $g(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ for $x \in [a, b]$，那么 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的一个{{{反导数}}}（或原函数），即 $g'(x) = f(x)$。这表明“变上限的定积分”是其被积函数的原函数。
* 第二基本定理 (FTC II or Evaluation Theorem): 如果函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F$ 是 $f$ 的任意一个反导数（即 $F'(x) = f(x)$），那么： $$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ 这个差值通常记作 $F(x) \Big|_a^b$ 或 $[F(x)]_a^b$。该定理使得定积分的计算转化为寻找一个反导数和代入上下限求值的代数问题。
示例：计算 $\int_0^2 x^2 \, dx$。 1. 被积函数为 $f(x) = x^2$。 2. 找到 $f(x)$ 的一个反导数。根据幂函数的积分法则，一个反导数是 $F(x) = \frac{1}{3}x^3$。 3. 应用微积分第二基本定理： $$ \int_0^2 x^2 \, dx = F(2) - F(0) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} $$
## 几何解释与应用
* 面积：当 $f(x) \ge 0$ 时，$\int_a^b f(x) \, dx$ 等于函数图像、x轴以及直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所围成的区域的面积。
* {{{净符号面积}}} (Net Signed Area)：如果函数 $f(x)$ 在积分区间内有正有负，那么定积分计算的是“净符号面积”。x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负。定积分是这两部分面积的代数和。例如，$\int_0^{2\pi} \sin(x) \, dx = 0$，因为在 $[0, \pi]$ 上的正面积与在 $[\pi, 2\pi]$ 上的负面积恰好抵消。
* 主要应用：定积分是现代科学和工程中不可或缺的工具，其应用包括： * 计算 {{{曲线间面积}}} (Area between curves)。 * 计算旋转体的 {{{体积}}} (Volume of solids of revolution)。 * 确定曲线的 {{{弧长}}} (Arc length)。 * 在物理学中，计算变力所做的 {{{功}}} (Work)。 * 计算 {{{函数的平均值}}} (Average value of a function)。 * 在{{{概率论}}}与{{{统计学}}}中，通过对 {{{概率密度函数}}} (Probability Density Function, PDF) 进行积分来计算事件发生的概率。
## 定积分的性质
设 $f$ 和 $g$ 为在 $[a, b]$ 上可积的函数， $c$ 为常数。
1. 积分区间为零：$\int_a^a f(x) \, dx = 0$ 2. 反转积分限：$\int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx$ 3. {{{线性性质}}} (Linearity)： * $\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$ * $\int_a^b c f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx$ 4. 区间的可加性：如果 $a < c < b$，则 $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$ 5. 保序性： * 如果在 $[a, b]$ 上有 $f(x) \ge 0$，则 $\int_a^b f(x) \, dx \ge 0$。 * 如果在 $[a, b]$ 上有 $f(x) \ge g(x)$，则 $\int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx$。
## 计算技巧
计算定积分通常依赖于找到反导数，主要技巧与不定积分相同，但需注意对积分限的处理。
* {{{换元积分法}}} (U-Substitution)：进行变量替换时，必须相应地改变积分的上下限。 例如，计算 $\int_0^1 (2x+1)^3 \, dx$。令 $u = 2x+1$，则 $du = 2dx$。同时，当 $x=0$ 时，$u=1$；当 $x=1$ 时，$u=3$。 $$ \int_0^1 (2x+1)^3 \, dx = \int_1^3 u^3 \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_1^3 = \frac{1}{8}(3^4 - 1^4) = \frac{80}{8} = 10 $$
* {{{分部积分法}}} (Integration by Parts)：其定积分形式为： $$ \int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du $$
* 其他技巧如 {{{三角换元}}} (Trigonometric Substitution) 和 {{{部分分式分解}}} (Partial Fraction Decomposition) 也被广泛使用。
当被积函数无法找到解析形式的反导数时，需要借助 {{{数值积分}}} (Numerical Integration) 方法，如 {{{梯形法则}}} (Trapezoidal Rule) 或 {{{辛普森法则}}} (Simpson's Rule) 来进行近似计算。此外，当积分区间为无穷大或被积函数在积分区间内无界时，定积分的概念被推广为 {{{反常积分}}} (Improper Integrals)。