# 条件期望的计算 (Calculation of Conditional Expectation)
条件期望 (Conditional Expectation) 是{{{概率论}}}和{{{统计学}}}中的一个基石性概念。给定已知的某些信息，条件期望提供了对一个{{{随机变量}}}最优的预测。其记号为 $E[X|\mathcal{F}]$ 或 $E[X|Y]$，表示在已知信息集 $\mathcal{F}$ 或随机变量 $Y$ 的取值后，对随机变量 $X$ 的{{{期望值}}}。
从学习者的角度来看，可以将条件期望理解为 信息的更新对预测的修正。在没有任何信息时，对 $X$ 的最佳猜测是其自身的期望值 $E[X]$。但当获得了新的信息（比如另一个相关变量 $Y$ 的值）后，我们可以利用这个信息来做出一个更精确、更贴近实际的猜测，这个新的猜测就是条件期望。
本文主要聚焦于条件期望的 计算方法，从最基础的情形逐步深入到更抽象的定义。
## 条件期望的计算方法
条件期望的计算方式取决于我们“条件于”的信息类型。主要可以分为三类：条件于一个事件、条件于一个离散随机变量、条件于一个连续随机变量。
### 1. 条件于一个事件 (Conditioning on an Event)
这是最简单的情形，我们在已知某个事件 $A$ 发生（且 $P(A) > 0$）的条件下，求随机变量 $X$ 的期望。
* 对于离散随机变量 $X$： 其计算公式为对所有 $X$ 可能的取值 $x_i$ ，用其{{{条件概率}}} $P(X=x_i | A)$ 作为权重进行加权平均。 $$ E[X|A] = \sum_{i} x_i P(X=x_i | A) $$ 其中，条件概率 $P(X=x_i | A) = \frac{P(\{X=x_i\} \cap A)}{P(A)}$。
* 对于连续随机变量 $X$： 其计算公式则是在事件 $A$ 发生的条件下，对 $X$ 的{{{概率密度函数}}} (PDF) 进行积分。我们首先需要定义条件概率密度函数 $f_{X|A}(x)$。 $$ E[X|A] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X|A}(x) dx $$ 这里的条件密度 $f_{X|A}(x)$ 在特定情况下有明确形式，例如，若事件 $A=\{X \in B\}$，则 $f_{X|A}(x)$ 是将原密度函数 $f_X(x)$ 限制在集合 $B$ 上并重新标准化的结果。
### 2. 条件于一个离散随机变量 (Conditioning on a Discrete Random Variable)
当我们条件于一个离散随机变量 $Y$ 时，我们实际上是在考察当 $Y$ 取其每一个可能值 $y_j$ 时 $X$ 的期望。
对于任意一个 $Y$ 的可能取值 $y_j$ (满足 $P(Y=y_j) > 0$)，条件期望 $E[X|Y=y_j]$ 是一个 数值，其计算方法与条件于事件 $A=\{Y=y_j\}$ 完全相同。
* 若 $X$ 也为离散变量： $$ E[X|Y=y_j] = \sum_i x_i P(X=x_i | Y=y_j) = \sum_i x_i \frac{P(X=x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)} $$ 这里的 $P(X=x_i, Y=y_j)$ 是 $X$和$Y$的{{{联合概率质量函数}}}。
* 若 $X$ 为连续变量： $$ E[X|Y=y_j] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X|Y}(x|y_j) dx $$ 其中 $f_{X|Y}(x|y_j)$ 是在 $Y=y_j$ 条件下 $X$ 的条件密度函数。
关键概念：$E[X|Y]$ 本身是一个 新的随机变量。这个随机变量的取值依赖于 $Y$ 的取值。当随机变量 $Y$ 取值为 $y_j$ 时，随机变量 $E[X|Y]$ 的取值就是数值 $E[X|Y=y_j]$。我们可以定义一个函数 $g(y) = E[X|Y=y]$，那么 $E[X|Y]$ 就是这个函数作用于随机变量 $Y$ 的结果，即 $g(Y)$。
### 3. 条件于一个连续随机变量 (Conditioning on a Continuous Random Variable)
这是理论上最复杂但应用最广泛的情形。当 $Y$ 是一个连续随机变量时，任何特定取值 $y$ 的发生概率 $P(Y=y)$ 都为0。因此，我们不能再使用基于事件的初等定义。此时，我们必须借助{{{概率密度函数}}}。
假设 $X$ 和 $Y$ 具有联合概率密度函数 $f_{X,Y}(x,y)$。$Y$ 的{{{边缘概率密度函数}}}为 $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx$。
当 $f_Y(y) > 0$ 时，$X$ 关于 $Y=y$ 的 条件概率密度函数 定义为： $$ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} $$ 有了这个条件密度函数，我们就可以计算条件期望 $E[X|Y=y]$，它是一个关于 $y$ 的函数。 $$ E[X|Y=y] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X|Y}(x|y) dx $$ 同样地，$E[X|Y]$ 是一个随机变量，是上述函数作用于随机变量 $Y$ 的结果。
示例：假设 $(X,Y)$ 服从{{{二元正态分布}}}。一个重要的特性是，给定 $Y=y$ 时，$X$ 的条件分布仍然是正态分布。因此 $E[X|Y=y]$ 就是这个条件正态分布的均值，它是一个关于 $y$ 的线性函数，这正是{{{线性回归分析}}}的理论基础。
## 条件期望的重要性质
条件期望不仅仅是一个计算工具，它还拥有一系列强大的性质，使其成为现代概率论和金融数学的支柱。设 $X, Y, Z$ 为随机变量。
1. 线性性 (Linearity)： 对于任意常数 $a, b$，有 $$ E[aX + bZ | Y] = aE[X|Y] + bE[Z|Y] $$
2. “提取已知信息” (Taking out what is known)： 如果一个随机变量 $Z$ 的值可以由 $Y$ 的值完全确定（即 $Z$是 $Y$ 的函数，记为 $Z=h(Y)$)，则在以 $Y$ 为条件时，$Z$ 相当于一个“已知”的量，可以被从期望中提出来。 $$ E[h(Y)X | Y] = h(Y)E[X|Y] $$ 一个简单的特例是 $E[h(Y)|Y] = h(Y)$。
3. 全期望定律 (Law of Total Expectation / Law of Iterated Expectations)： 这是连接条件期望和普通期望的桥梁，也被称为 塔性质 (Tower Property)。它表明，对条件期望再求期望，会得到原始的期望值。 $$ E[E[X|Y]] = E[X] $$ 直观理解：$E[X]$ 是对 $X$ 所有可能结果的加权平均。$E[X|Y]$ 是在不同信息 $Y$ 下对 $X$ 的一系列“局部”平均。而 $E[E[X|Y]]$ 则是对这些“局部”平均再进行一次总的平均，最终自然会回到全局的平均值 $E[X]$。
4. 独立性 (Independence)： 如果 $X$ 和 $Y$ 是相互{{{独立}}}的随机变量，那么知道 $Y$ 的取值对 $X$ 的预测没有任何帮助。因此： $$ E[X|Y] = E[X] $$
## 应用简介
* {{{回归分析}}}：在统计学中，回归函数 $m(x) = E[Y|X=x]$ 本质上就是一个条件期望。它描述了因变量 $Y$ 的期望值如何随着自变量 $X$ 的变化而变化。
* 金融资产定价：在金融学中，一个资产在时刻 $t$ 的价格可以被建模为对其未来收益（比如说 $t+1$ 时刻的 payoff $P_{t+1}$）的{{{贴现}}}条件期望，条件是时刻 $t$ 已知的所有信息 $\mathcal{F}_t$。 $$ \text{Price}_t = E\left[ \frac{P_{t+1}}{1+r} \bigg| \mathcal{F}_t \right] $$ 这个框架是{{{有效市场假说}}}和{{{鞅}}}定价理论的核心。
* 贝叶斯统计：在{{{贝叶斯推断}}}中，参数的后验期望值就是给定数据后，该参数的条件期望。
## 更高阶的视角：基于测度论的定义
在更高等的概率论课程中（例如基于{{{测度论}}}的课程），条件期望 $E[X|\mathcal{G}]$ 被赋予了一个更抽象但更普适的定义。这里 $\mathcal{G}$ 是一个{{{西格玛代数}}}，代表了已知的信息。
$Z = E[X|\mathcal{G}]$ 被定义为满足以下两个条件的唯一随机变量： 1. $Z$ 是 $\mathcal{G}$-可测的 (measurable)，意味着 $Z$ 的值完全由 $\mathcal{G}$ 中的信息所决定。 2. 对于 $\mathcal{G}$中的任何事件 $A$，都有 $\int_A Z dP = \int_A X dP$。
这个定义统一了前面讨论的所有情况，并且是研究{{{随机过程}}}（如{{{鞅}}}和{{{布朗运动}}}）的理论基础。对于初学者，可以将其理解为是对前述计算方法的一个严谨化和推广。