# 风险价值 (Value at Risk, VaR)
风险价值 (Value at Risk, VaR) 是一种被广泛使用的{{{风险管理}}}工具，用于量化金融资产或投资组合在给定的时间范围内，在一定的{{{置信水平}}}下，可能面临的最大损失。它用一个单一的数字来概括投资组合的下行{{{市场风险}}}。
VaR 的陈述通常包含三个关键要素：
1. 时间范围 (Time Horizon)：损失可能发生的时间长度，例如1天、10天或1个月。 2. 置信水平 (Confidence Level)：一个概率，通常为95%或99%。 3. 损失金额 (Loss Amount)：以货币单位表示的最大潜在损失。
一个完整的VaR表述例如：“在未来一个交易日内，该投资组合在99%的置信水平下的VaR为＄1000万”。这意味着，我们有99%的把握认为，该投资组合在未来一天的损失不会超过＄1000万。或者，从另一个角度看，有1%的可能性，其损失将超过＄1000万。
## 形式化定义
从统计学角度看，VaR是投资组合未来损益（Profit and Loss, P&L）分布的某个{{{分位数}}}。假设投资组合在未来某一时期 $\Delta t$ 的价值变化为 $\Delta V$，其损失 $L = -\Delta V$。损失分布的{{{累积分布函数}}} (CDF) 为 $F_L(l) = P(L \le l)$。
给定一个显著性水平 $\alpha$ (通常是 1% 或 5%)，置信水平则为 $1-\alpha$。该投资组合的VaR，即 $VaR_{1-\alpha}$，被定义为满足以下条件的最小损失 $l$：
$$ P(L > l) \le \alpha $$
换言之，实际损失超过 $VaR_{1-\alpha}$ 的概率不大于 $\alpha$。这等价于：
$$ VaR_{1-\alpha} = F_L^{-1}(1-\alpha) = \inf \{l \in \mathbb{R} : F_L(l) \ge 1-\alpha \} $$
其中 $F_L^{-1}(\cdot)$ 是损失分布的{{{分位数函数}}}（累积分布函数的逆函数）。它给出了在 $1-\alpha$ 的置信水平下，我们预期不会超过的损失上限。
## VaR的计算方法
计算VaR的核心是确定投资组合损益的{{{概率分布}}}。主要有三种方法：
### 一. 参数法 (Parametric Method) / 方差-协方差法 (Variance-Covariance Method)
该方法假定投资组合的收益率服从一个已知的概率分布，最常见的是{{{正态分布}}}。
核心思想：如果收益率服从正态分布，那么VaR就是该分布均值和标准差的线性组合。
计算步骤： 1. 假设：投资组合的日收益率 $R_p$ 服从正态分布 $N(\mu_p, \sigma_p^2)$，其中 $\mu_p$ 是预期日收益率，$\sigma_p$ 是日收益率的{{{标准差}}}（即{{{波动率}}}）。 2. 计算参数： * 对于单一资产，$\mu_p$ 和 $\sigma_p$ 可以从历史数据中估计。 * 对于多资产投资组合，其预期收益率是各资产预期收益率的加权平均，其波动率则由以下公式计算： $$ \sigma_p = \sqrt{w^T \Sigma w} $$ 其中，$w$ 是各资产在组合中的权重向量，$\Sigma$ 是各资产收益率的{{{协方差矩阵}}}。 3. 计算VaR：在正态分布下，对应于置信水平 $1-\alpha$ 的临界值（{{{z-score}}}）为 $z_{1-\alpha}$ (例如，对于95%置信水平, $z_{0.95} \approx 1.645$；对于99%, $z_{0.99} \approx 2.326$)。 VaR通常表示为损失（一个正数），因此VaR的计算公式为： $$ \text{VaR} = V_0 \times (- \mu_p + z_{1-\alpha} \sigma_p) $$ 其中 $V_0$ 是投资组合的初始价值。在实践中，对于较短的时间范围（如1天），$\mu_p$ 通常被假定为0以简化计算： $$ \text{VaR} \approx V_0 \times z_{1-\alpha} \sigma_p $$
* 优点：计算速度快，公式简单，易于理解和实现。 * 缺点：正态分布的假设与现实金融市场的{{{厚尾}}} (Fat Tails) 和{{{偏度}}} (Skewness) 特征不符，这会导致它严重低估极端事件（即{{{尾部风险}}}) 发生的可能性和损失程度。不适用于包含大量{{{期权}}}等非线性金融工具的投资组合。
### 二. 历史模拟法 (Historical Simulation)
这是一种{{{非参数方法}}}，它不假设收益率服从任何特定的概率分布。
核心思想：未来将在某种程度上重复过去。通过使用历史数据直接构建损益分布。
计算步骤： 1. 收集数据：获取投资组合中所有资产过去一段时间（例如，过去251个交易日）的每日历史价格数据。 2. 构建情景：计算过去每天的收益率，并将这些历史收益率应用到当前投资组合的价值上，从而生成一系列（例如250个）“假设的”未来一日损益情景。 3. 排序：将所有假设的损益结果从最小（最大损失）到最大（最大收益）进行排序。 4. 确定VaR：根据置信水平找到对应的分位数。例如，对于99%的置信水平和250个历史损益数据，$\alpha = 1\%$，对应的排序位置是 $250 \times 1\% = 2.5$，通常取第3个最差的损益结果作为VaR。
* 优点：易于理解和沟通。不依赖于分布假设，能够自动捕捉历史数据中存在的厚尾和偏度等特征。 * 缺点：结果完全依赖于所选的历史数据窗口，它假设历史是未来的良好代表。如果未来发生了历史上从未出现过的的市场状况（例如{{{结构性断裂}}})，该方法将失效。
### 三. 蒙特卡洛模拟法 (Monte Carlo Simulation)
该方法结合了参数法和历史模拟法的思想，通过随机模拟来生成大量的未来价格路径。
核心思想：通过计算机模拟生成成千上万种可能的未来情景，并在此基础上构建损益分布。
计算步骤： 1. 模型选择：为影响投资组合价值的各项{{{风险因子}}}（如股价、利率、汇率）选择一个合适的{{{随机过程}}}模型（例如，{{{几何布朗运动}}})，并估计模型参数（如漂移率和波动率）。 2. 路径模拟：利用这些模型，通过计算机生成大量（数千至数百万次）的随机价格路径，模拟未来风险因子的变化。 3. 组合估值：对于每一条模拟路径，重新计算投资组合的价值，并得到一个模拟的损益结果。 4. 确定VaR：将所有模拟的损益结果排序，并找到对应置信水平的分位数，方法与历史模拟法类似。
* 优点：极为灵活，可以处理各种复杂的{{{非线性证券}}}（如奇异期权）。能够模拟各种类型的分布和相关性结构，比历史模拟法更具前瞻性。 * 缺点：计算量巨大，非常耗时。结果的准确性高度依赖于所选择的随机过程模型和参数估计的准确性（所谓“垃圾进，垃圾出”）。存在{{{模型风险}}}和{{{抽样误差}}}。
## VaR的优点与局限性
#### 优点 * 高度概括：将复杂的市场风险压缩成一个单一、易于理解的数字，便于高层管理者和非专业人士快速掌握风险状况。 * 风险比较：提供了一个统一的风险衡量标准，可以在不同业务部门、不同投资组合甚至不同公司之间进行风险比较。 * 监管工具：被{{{巴塞尔协议}}}等国际金融监管框架接受，作为计算银行{{{市场风险资本}}}要求的重要依据。
#### 局限性与批评 * 无法衡量尾部损失的严重性：VaR最大的缺陷在于，它只告诉我们在$1-\alpha$的概率下不会损失超过某个数值，但它完全没有提供任何关于那$\alpha$概率的极端情况下，损失究竟会有多大的信息。这就像一个安全气囊只保证在99%的车祸中有效，但对其余1%的严重事故则只字不提。 * 非次可加性 (Not Sub-additive)：一个理想的{{{风险测度}}}应该满足{{{次可加性}}}，即一个组合的风险不应大于其各部分风险之和（$\text{Risk}(A+B) \le \text{Risk}(A) + \text{Risk}(B)$），这反映了{{{风险分散}}}的效应。然而VaR在某些情况下不满足这一特性，这意味着将两个投资组合并，其总VaR可能反而上升，这与金融直觉相悖。因此，VaR不是一个{{{相干风险测度}}} (Coherent Risk Measure)。 * 对模型的敏感性：VaR的计算结果高度依赖于所使用的方法（参数法、历史法或蒙特卡洛法）以及相关参数（置信水平、时间范围、历史数据长度）的选择。 * 可能诱发顺周期性 (Procyclicality)：在市场平稳期，波动率较低，VaR估计值也较低，这可能鼓励机构承担更多风险。一旦危机爆发，波动率急剧上升，VaR值随之飙升，可能迫使机构在市场下跌时抛售资产以降低风险敞口，从而加剧市场下跌。
## VaR的替代与补充：条件风险价值 (CVaR)
为了克服VaR无法衡量尾部损失的缺陷，学术界和业界提出了条件风险价值 (Conditional Value at Risk, CVaR)，也称为预期差额 (Expected Shortfall, ES)。
CVaR 回答了这样一个问题：“如果我们确实发生了超过VaR的损失，那么我们预期的平均损失会是多少？” 它衡量的是损失分布尾部的期望值。
$$ \text{CVaR}_{1-\alpha} = E[L | L > \text{VaR}_{1-\alpha}] $$
CVaR不仅提供了关于尾部损失严重程度的信息，而且它始终满足次可加性，是一个相干风险测度。因此，它被认为是比VaR更优越的风险度量工具。最新的{{{巴塞尔协议III}}}框架已决定用预期差额（ES）替代VaR来计算市场风险的资本要求。尽管如此，VaR因其简单直观，在风险报告和内部沟通中仍被广泛使用。