# 完全多重共线性 (Perfect Multicollinearity)
完全多重共线性 (Perfect Multicollinearity) 是{{{计量经济学}}}和{{{统计学}}}中{{{线性回归模型}}}的一个重要概念。它描述的是一种特殊的数据情况，即模型中的某一个{{{自变量}}}（explanatory variable）可以被一个或多个其他自变量（包括{{{截距项}}}）通过一个完美的线性关系所表示。
当完全多重共线性存在时，{{{最小二乘法}}}（Ordinary Least Squares, OLS）的估计量将无法被唯一定义，导致回归模型无法得到一个有意义的解。
## 数学定义与表达
在一个标准的多元线性回归模型中：
$$ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \beta_2 X_{i2} + \ldots + \beta_k X_{ik} + u_i $$
其中，$Y_i$ 是{{{因变量}}}，$X_{ij}$ 是第 $i$ 个观测值的第 $j$ 个自变量，$\beta_j$ 是待估计的{{{回归系数}}}，$u_i$ 是{{{扰动项}}}。
完全多重共线性意味着，存在一组不全为零的常数 $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_k$，使得对于所有观测值 $i$，以下线性关系恒成立：
$$ \lambda_0 + \lambda_1 X_{i1} + \lambda_2 X_{i2} + \ldots + \lambda_k X_{ik} = 0 $$
这个等式表明，至少有一个自变量是其他自变量的精确线性函数。例如，一个最简单的形式是两个变量之间存在完美线性关系：
$$ X_2 = a + bX_1 $$
其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
### 矩阵视角下的解释
在线性回归的矩阵表示中，模型写为 $Y = X\beta + u$。其中 $X$ 是一个 $n \times (k+1)$ 的设计矩阵，包含了截距项的列（通常是一列全为1的向量）和所有自变量的观测值。
$$ X = \begin{bmatrix} 1 & X_{11} & \cdots & X_{1k} \\ 1 & X_{21} & \cdots & X_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & X_{n1} & \cdots & X_{nk} \end{bmatrix} $$
完全多重共线性的存在意味着 $X$ 矩阵的列向量是{{{线性相关}}}的。这导致 $X$ 矩阵的{{{秩}}}（rank）小于其列数 $k+1$，即 $rank(X) < k+1$。
在求解OLS估计量 $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ 时，这个性质是致命的。如果 $X$ 是列不满秩的，那么矩阵 $X'X$ 就是一个{{{奇异矩阵}}}（singular matrix），其{{{行列式}}}为零，即 $|X'X| = 0$。奇异矩阵是不可逆的，因此 $(X'X)^{-1}$ 不存在。
## 完全多重共线性的后果
1. OLS估计量的不确定性 (Indeterminacy of OLS Estimators)
最核心的后果是，我们无法得到唯一的OLS估计系数。由于 $(X'X)^{-1}$ 不存在，OLS的求解公式失效。在代数上，这意味着求解系数的{{{正规方程组}}}（Normal Equations）$X'X\hat{\beta} = X'Y$ 有无穷多组解，而不是唯一的解。
例如，假设模型为 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u$，并且存在完全多重共线性 $X_2 = 2X_1$。 我们可以将模型进行代换： $$ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 (2X_1) + u = \beta_0 + (\beta_1 + 2\beta_2) X_1 + u $$ 令 $\gamma_1 = \beta_1 + 2\beta_2$。我们可以唯一地估计出 $\beta_0$ 和 $\gamma_1$。但是，对于任何一个估计出的 $\hat{\gamma}_1$，有无穷多对 $(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2)$ 满足 $\hat{\gamma}_1 = \hat{\beta}_1 + 2\hat{\beta}_2$。例如，如果 $\hat{\gamma}_1 = 5$，那么 $(\hat{\beta}_1=5, \hat{\beta}_2=0)$、$(\hat{\beta}_1=3, \hat{\beta}_2=1)$ 和 $(\hat{\beta}_1=1, \hat{\beta}_2=2)$ 都是有效的解。
因此，我们无法区分 $X_1$ 和 $X_2$ 各自对 $Y$ 的独立影响。任何试图解释 $\beta_1$ 为“在保持 $X_2$ 不变的情况下，$X_1$ 变化一个单位对 $Y$ 的影响”都是无意义的，因为根据 $X_2 = 2X_1$ 的关系，$X_1$ 变化时 $X_2$ 必然会随之变化。
2. 统计软件的处理
大多数现代统计软件（如 R, Stata, Python's `statsmodels`）能够自动检测到完全多重共线性。它们通常会采取以下措施： * 报告错误：程序无法继续运行，并提示存在共线性问题。 * 自动丢弃变量：软件会自动从模型中移除一个或多个导致共线性的变量，然后对余下的变量进行回归。输出结果中通常会注明某个变量因共线性而被省略。
## 产生完全多重共线性的常见原因
完全多重共线性通常不是由数据本身的内在特性引起的，而是由模型设定错误造成的。
1. 虚拟变量陷阱 (Dummy Variable Trap)
这是最经典的例子。当为具有 $m$ 个互斥类别的{{{分类变量}}}创建{{{虚拟变量}}}（Dummy Variables）时，如果将所有 $m$ 个虚拟变量都放入包含{{{截距项}}}的模型中，就会发生完全多重共线性。
例如，一个变量“地区”有三个类别：东部、中部、西部。我们创建三个虚拟变量： * $D_{east} = 1$ 如果地区是东部，否则为 $0$。 * $D_{central} = 1$ 如果地区是中部，否则为 $0$。 * $D_{west} = 1$ 如果地区是西部，否则为 $0$。
对于任何一个观测值，这三个虚拟变量的和恒为1：$D_{east} + D_{central} + D_{west} = 1$。 如果模型中包含截距项（其对应的“变量”是一个恒为1的向量），那么就构成了完全多重共线性，因为截距项可以被这三个虚拟变量的线性组合完美表示。
解决方法：在包含截距项的模型中，只引入 $m-1$ 个虚拟变量。被省略的那个类别成为{{{基准组}}}（base category），所有其他虚拟变量的系数都解释为相对于该基准组的差异。
2. 包含由其他变量计算得出的变量
在模型中同时包含了一些本身具有精确数学关系的变量。 * 例如，在研究家庭消费时，将收入（`income`）、支出（`expenditure`）和储蓄（`savings`）同时作为自变量。如果数据中严格满足 `income = expenditure + savings`，那么就会出现完全多重共线性。 * 又如，将一个变量的不同单位形式同时放入模型，比如同时包含以千克（`weight_kg`）和磅（`weight_lb`）为单位的体重，因为它们之间存在恒定的线性关系 `weight_lb = 2.2046 * weight_kg`。
## 与不完全多重共线性的区别
需要严格区分完全多重共线性和{{{不完全多重共线性}}}（Imperfect Multicollinearity），后者在实践中更为常见。
| 特征 | 完全多重共线性 | 不完全多重共线性 | | :--- | :--- | :--- | | 定义 | 自变量间存在精确的线性关系。 | 自变量间存在高度但非精确的线性关系。 | | 数学表达 | $\text{corr}(X_j, X_k) = \pm 1$（对于两个变量的情况） | $\text{corr}(X_j, X_k)$ 接近 $\pm 1$ 但不等于。 | | $(X'X)$ 矩阵 | 奇异，不可逆。 | 近似奇异，但可逆。 | | 后果 | OLS估计量无法确定。 | OLS估计量可以唯一确定，但其{{{方差}}}和{{{标准误}}}会变得非常大。 | | OLS性质 | OLS估计量不存在。 | OLS估计量仍然是{{{BLUE}}}（最佳线性无偏估计量），但估计的精度很低。 | | 解决方法 | 必须通过修正模型设定来解决（如移除冗余变量）。 | 没有唯一的解决方法，可能需要收集更多数据、重新设定模型或使用岭回归等替代方法。其严重程度通过{{{方差膨胀因子}}}（VIF）来衡量。 |
总之，完全多重共线性是一个模型设定问题，其后果是致命的（无法估计），但其识别和解决都相对直接。研究者必须确保模型设定在逻辑上是合理的，以避免此类问题的发生。