# t分布 (t-distribution)
t分布 (t-distribution)，也常被称为 学生t分布 (Student's t-distribution)，是{{{概率论}}}和{{{统计学}}}中一种至关重要的连续{{{概率分布}}}。它的发现是为了解决在样本量较小且总体{{{标准差}}}未知的情况下，对呈{{{正态分布}}}的总体之{{{均值}}}进行推断的问题。
该分布由英国统计学家[[威廉·赛利·戈塞特]] (William Sealy Gosset) 于1908年以笔名“学生”(Student) 发表，当时他在都柏林的吉尼斯酿酒厂工作，需要处理小样本的实验数据。t分布的形状与{{{正态分布}}}相似，都是钟形且对称的，但它具有“更肥的尾部”(heavier tails)，这意味着它为极端值分配了更高的概率。这一特性精确地反映了使用样本标准差替代未知总体标准差所带来的额外不确定性。
t分布并非单一的曲线，而是一个分布族。其具体的形状由一个称为 {{{自由度}}} (degrees of freedom, df) 的参数唯一确定。
## t分布的核心特征
1. 钟形与对称性：与{{{正态分布}}}类似，t分布的{{{概率密度函数}}} (PDF) 图像呈钟形，并且关于均值0对称。
2. 自由度参数 ($v$)：t分布的形态由其{{{自由度}}}（通常用希腊字母 $v$ 或 $df$ 表示）决定。在进行单一样本的均值推断时，自由度通常为 $v = n-1$，其中 $n$ 是样本量。 * 当自由度较小（即样本量较小）时，t分布的尾部比{{{标准正态分布}}}更厚，峰部更低。这表明，在小样本情况下，出现远离均值的极端值的可能性更大。 * 随着自由度的增加，t分布逐渐逼近{{{标准正态分布}}}。当自由度趋向于无穷大（$v \to \infty$）时，t分布与标准正态分布完全重合。在实践中，当样本量 $n > 30$ 时，t分布已经与正态分布非常接近。
3. 肥尾 (Heavy Tails)：这是t分布与正态分布最关键的区别。“肥尾”意味着在分布的尾部区域，t分布的概率密度函数值高于正态分布。这在统计推断中至关重要，因为它会导致更宽的{{{置信区间}}}和更不易拒绝{{{零假设}}}，从而恰当地反映了基于小样本进行推断时所固有的更大不确定性。
4. 均值和方差： * 均值 (Mean)：对于 $v > 1$ 的t分布，其均值为 $0$。 * 方差 (Variance)：对于 $v > 2$ 的t分布，其方差为 $\frac{v}{v-2}$。可以观察到，当 $v$ 很大时，方差趋近于 $1$，这与{{{标准正态分布}}}的方差一致。当 $v$ 较小时（例如 $v=3$ 时，方差为3），方差大于1，也反映了其更大的离散程度。
## 数学定义
从数学上讲，一个服从自由度为 $v$ 的t分布的{{{随机变量}}} $T$ 可以通过以下方式构造：
假设 $Z$ 是一个服从{{{标准正态分布}}}的随机变量（$Z \sim N(0,1)$），而 $V$ 是一个服从自由度为 $v$ 的{{{卡方分布}}}的随机变量（$V \sim \chi^2(v)$）。如果 $Z$ 和 $V$ 是相互{{{统计独立}}}的，那么随机变量 $T$ 的定义如下：
$$ T = \frac{Z}{\sqrt{V/v}} $$
该变量 $T$ 就服从自由度为 $v$ 的t分布，记为 $T \sim t(v)$。
这个构造揭示了t分布的本质：它是在用样本方差估计总体方差时，对正态分布进行标准化后所得到的分布。这里的 $Z$ 代表了 $(\bar{x} - \mu) / (\sigma/\sqrt{n})$，而 $\sqrt{V/v}$ 代表了样本标准差 $s$ 对总体标准差 $\sigma$ 的估计所带来的随机性。
其{{{概率密度函数}}} (PDF) 为：
$$ f(t) = \frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\sqrt{v\pi} \Gamma(\frac{v}{2})} \left(1 + \frac{t^2}{v}\right)^{-\frac{v+1}{2}} $$
其中 $\Gamma(\cdot)$ 是{{{伽玛函数}}} (Gamma function)。
## 何时以及为何使用t分布
t分布是{{{统计推断}}}中的一个基本工具，尤其在以下情况中至关重要，其核心使用场景是与{{{z检验}}} (z-test) 相对的：
* 总体标准差 $\sigma$ 未知：这是使用t分布最根本的前提。在几乎所有的实际研究中，总体的标准差都是未知的，必须通过样本标准差 $s$ 来进行估计。 * 样本量较小 ($n \le 30$)：当样本量较小时，使用样本标准差 $s$ 来估计总体标准差 $\sigma$ 会带来显著的误差和不确定性。t分布的肥尾特性正好可以对这种不确定性进行校正。 * 总体服从正态分布的假设：严格来说，t分布的应用要求 underlying population 是正态分布的。然而，由于{{{中心极限定理}}} (Central Limit Theorem)，即使总体分布不是严格的正态分布，只要它不是严重偏态的，当样本量足够大时（通常认为 $n > 30$），基于t分布的检验仍然是相当稳健的。
总结对比：z分布 vs. t分布
| 条件 | 使用 z 分布 (执行 {{{z检验}}}) | 使用 t 分布 (执行 {{{t检验}}}) | | -------------------------- | --------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------- | | 总体标准差 $\sigma$ | 已知 | 未知 (用样本标准差 $s$ 估计) | | 样本量 $n$ | 无限制 (理论上) | 对小样本 ($n \le 30$) 尤其重要，对大样本也严格正确 | | 所用统计量 | $z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ | $t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$ |
## 主要应用
1. 单样本均值的{{{假设检验}}} (t检验)：检验一个样本的均值是否与一个已知的理论值有显著差异。 * 例如：检验某地区男性的平均身高是否显著不等于175厘米。
2. 单样本均值的{{{置信区间}}}构建：估计总体均值可能存在的范围。 * 例如：以95%的置信度，估计某地区男性的平均身高的区间。使用t分布构造的置信区间会比使用z分布（如果误用的话）更宽。
3. 双样本均值差异的检验： * 独立样本t检验：检验两个独立的总体的均值是否存在显著差异。例如，比较实验组和对照组的平均疗效。 * 配对样本t检验：检验同一个对象在两种不同处理前后的均值是否存在显著差异。例如，比较同一批学生在参加培训前后的平均成绩。
4. {{{线性回归}}}分析：在{{{多元线性回归}}}中，对每个回归系数是否显著不为零的检验，就是使用的t检验。回归软件输出的每个系数旁边的t统计量和{{{p值}}}，其基础就是t分布。