# 多维随机变量 (Multidimensional Random Variable)
多维随机变量 (Multidimensional Random Variable)，也称为 随机向量 (Random Vector)，是{{{概率论}}}和{{{统计学}}}中的一个基本概念。它将单个{{{随机变量}}}从描述单一数值结果扩展到描述多个数值结果的集合。简而言之，一个多维随机变量是其分量均为一维随机变量的向量。
在许多现实问题中，我们常常需要同时关心一个{{{随机试验}}}的多个结果。例如，在经济学中，我们可能同时关心一个国家的{{{GDP}}}增长率、{{{失业率}}}和{{{通货膨胀率}}}；在金融中，一个{{{投资组合}}}的表现由其中多种{{{资产}}}的收益率共同决定；在医学研究中，一个病人的健康状况可能由血压、心率、体温等多个指标来衡量。在这些情况下，使用多维随机变量进行建模是必要且自然的。
一个 $n$ 维随机变量可以表示为 $X = (X_1, X_2, \dots, X_n)$，其中每一个分量 $X_i$ 都是一个定义在同一样本空间 $\Omega$ 上的普通（一维）随机变量。
## 形式化定义
在一个给定的{{{概率空间}}} $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 中，一个 $n$ 维随机变量 $X$ 是一个从样本空间 $\Omega$ 到 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 的函数，即 $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$。
对于样本空间中的每一个基本事件 $\omega \in \Omega$，它都对应着一个 $n$ 维向量： $$ X(\omega) = (X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)) $$ 该定义要求对于任意 $i = 1, 2, \dots, n$，其分量 $X_i: \Omega \to \mathbb{R}$ 本身都是一个{{{随机变量}}}。
## 联合分布与边缘分布
研究多维随机变量的核心在于理解其分量之间的相互关系以及它们的整体行为。这主要通过联合分布、边缘分布和条件分布来刻画。
### 1. 联合分布函数 (Joint Distribution Function)
$n$ 维随机变量 $X = (X_1, \dots, X_n)$ 的联合累积分布函数 (Joint Cumulative Distribution Function, Joint CDF)，记为 $F(x_1, \dots, x_n)$，定义为： $$ F(x_1, x_2, \dots, x_n) = P(X_1 \le x_1, X_2 \le x_2, \dots, X_n \le x_n) $$ 它表示所有分量 $X_i$ 同时不大于对应值 $x_i$ 的{{{概率}}}。联合分布函数包含了关于该多维随机变量的所有信息。
### 2. 边缘分布函数 (Marginal Distribution Function)
从联合分布中，我们可以提取出单个分量（或部分分量）的分布，这被称为边缘分布 (Marginal Distribution)。例如，分量 $X_1$ 的边缘累积分布函数 $F_{X_1}(x_1)$ 可以通过让所有其他变量趋于无穷大得到： $$ F_{X_1}(x_1) = P(X_1 \le x_1) = P(X_1 \le x_1, X_2 < \infty, \dots, X_n < \infty) = \lim_{x_2 \to \infty, \dots, x_n \to \infty} F(x_1, x_2, \dots, x_n) $$ 这个过程直观上可以理解为“对其他所有变量的可能性进行积分（或求和）”，从而只关注我们感兴趣的变量。
## 多维随机变量的类型
与一维情况类似，多维随机变量也分为离散型和连续型。
### 1. 离散型多维随机变量
如果随机向量 $X = (X_1, \dots, X_n)$ 所有可能取的值是有限或可数个向量，则称其为离散型。其分布由{{{联合概率质量函数}}} (Joint Probability Mass Function, PMF) 描述： $$ p(x_1, \dots, x_n) = P(X_1 = x_1, \dots, X_n = x_n) $$ 其性质为： 1. $p(x_1, \dots, x_n) \ge 0$ 2. $\sum_{x_1} \dots \sum_{x_n} p(x_1, \dots, x_n) = 1$
边缘概率质量函数 (Marginal PMF) 可以通过对其他变量求和得到。例如，$X_1$ 的边缘PMF为： $$ p_{X_1}(x_1) = \sum_{x_2} \dots \sum_{x_n} p(x_1, x_2, \dots, x_n) $$
### 2. 连续型多维随机变量
如果存在一个非负函数 $f(x_1, \dots, x_n)$，称为{{{联合概率密度函数}}} (Joint Probability Density Function, PDF)，使得联合CDF可以表示为该函数的积分，则称 $X$ 为连续型。 $$ F(x_1, \dots, x_n) = \int_{-\infty}^{x_1} \dots \int_{-\infty}^{x_n} f(u_1, \dots, u_n) du_1 \dots du_n $$ 其性质为： 1. $f(x_1, \dots, x_n) \ge 0$ 2. $\int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n = 1$
边缘概率密度函数 (Marginal PDF) 可以通过对其他变量积分得到。例如，$X_1$ 的边缘PDF为： $$ f_{X_1}(x_1) = \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_2 \dots dx_n $$
## 随机变量的独立性
{{{独立性}}}是多维随机变量中一个至关重要的概念。随机变量 $X_1, \dots, X_n$ 被称为相互独立的，当且仅当它们的联合分布可以表示为各自边缘分布的乘积。 - 对于联合CDF：$F(x_1, \dots, x_n) = F_{X_1}(x_1) F_{X_2}(x_2) \dots F_{X_n}(x_n)$ - 对于联合PMF（离散型）：$p(x_1, \dots, x_n) = p_{X_1}(x_1) p_{X_2}(x_2) \dots p_{X_n}(x_n)$ - 对于联合PDF（连续型）：$f(x_1, \dots, x_n) = f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) \dots f_{X_n}(x_n)$
独立性意味着一个变量的取值不会提供关于其他变量取值的任何信息。
## 数字特征
### 1. 期望向量 (Expectation Vector)
多维随机变量 $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ 的{{{数学期望}}}是一个向量，称为期望向量或均值向量，记为 $\mu$： $$ \mu = E[X] = \begin{pmatrix} E[X_1] \\ E[X_2] \\ \vdots \\ E[X_n] \end{pmatrix} $$ 它由每个分量的期望值构成。
### 2. 协方差矩阵 (Covariance Matrix)
描述各分量之间线性关系的最重要工具是{{{协方差矩阵}}}，记为 $\Sigma$ 或 $\text{Cov}(X)$。它是一个 $n \times n$ 的矩阵，其 $(i, j)$ 元为 $X_i$ 和 $X_j$ 的{{{协方差}}}： $$ \Sigma_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i])(X_j - E[X_j])] $$ 协方差矩阵的完整形式为： $$ \Sigma = \begin{pmatrix} \text{Var}(X_1) & \text{Cov}(X_1, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_1, X_n) \\ \text{Cov}(X_2, X_1) & \text{Var}(X_2) & \dots & \text{Cov}(X_2, X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \text{Cov}(X_n, X_1) & \text{Cov}(X_n, X_2) & \dots & \text{Var}(X_n) \end{pmatrix} $$ 主要性质： - 对角线元素是各分量的{{{方差}}}，即 $\Sigma_{ii} = \text{Var}(X_i)$。 - 对称性：$\text{Cov}(X_i, X_j) = \text{Cov}(X_j, X_i)$，因此 $\Sigma$ 是一个对称矩阵。 - 半正定性：对于任意非零常数向量 $a \in \mathbb{R}^n$，有 $a^T \Sigma a = \text{Var}(a^T X) \ge 0$。因此，协方差矩阵是半正定的。 - 如果 $X_i$ 和 $X_j$ 相互独立，则 $\text{Cov}(X_i, X_j) = 0$ ($i \neq j$)。反之不一定成立，除非在特殊情况下（如多元正态分布）。
{{{相关系数矩阵}}} (Correlation Matrix) 是通过将协方差矩阵的每个元素 $\Sigma_{ij}$ 除以相应变量的标准差 $\sqrt{\text{Var}(X_i)\text{Var}(X_j)}$ 得到的标准化矩阵。
## 重要实例
### 1. 多项分布 (Multinomial Distribution)
{{{多项分布}}}是{{{二项分布}}}向多维的推广。它描述了在 $N$ 次独立的{{{伯努利试验}}}中，每个试验有 $k$ 种可能结果，每种结果出现的次数的概率分布。
### 2. 多元正态分布 (Multivariate Normal Distribution)
{{{多元正态分布}}}是多维随机变量中最重要的分布，广泛应用于{{{金融学}}}、{{{计量经济学}}}和{{{机器学习}}}。它完全由其期望向量 $\mu$ 和协方差矩阵 $\Sigma$ 决定。 其一个突出特性是：不相关等价于独立。也就是说，如果一个多元正态分布的随机向量其分量之间两两不相关（即协方差矩阵为对角矩阵），那么这些分量就相互独立。这在其他分布中通常是不成立的。此外，多元正态分布的边缘分布和条件分布也都是正态分布。
## 应用
多维随机变量是现代数据科学的基石。 - 在金融学中，{{{Markowitz模型}}}使用资产收益率向量的期望向量和协方差矩阵来构建最优投资组合，以在给定风险水平下最大化回报。 - 在计量经济学中，{{{向量自回归模型}}} (VAR) 将多个{{{时间序列}}}变量作为一个随机向量来分析它们之间的动态关系。 - 在机器学习中，诸如{{{主成分分析}}} (PCA) 等降维技术，就是通过分析数据的协方差矩阵来找到数据中最重要的变化方向。