# 概率质量函数 (Probability Mass Function)
概率质量函数 (Probability Mass Function, 简称 PMF) 是{{{概率论}}}与{{{统计学}}}中的一个核心概念，用于描述一个{{{离散随机变量}}}在每个可能取值上的{{{概率}}}。简而言之，PMF告诉我们一个离散随机变量取特定值的精确概率是多少。
这个函数是理解离散概率分布的基础，并与用于{{{连续随机变量}}}的{{{概率密度函数}}} (Probability Density Function, PDF) 形成对比。
## 形式化定义
假设 $X$ 是一个定义在某个{{{样本空间}}} $\Omega$ 上的{{{离散随机变量}}}。$X$ 的所有可能取值的集合（也称为其“支撑集”或“样本空间”）是可数集，记为 $S_X = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$。
$X$ 的概率质量函数是一个函数 $p_X: \mathbb{R} \to [0, 1]$，其定义为：
$$ p_X(x) = P(X = x) $$
这个公式表示，对于任意一个{{{实数}}} $x$，函数 $p_X(x)$ 的值等于随机变量 $X$ 取值为 $x$ 的概率。
* 如果 $x$ 是随机变量 $X$ 的一个可能取值（即 $x \in S_X$），那么 $p_X(x) > 0$。 * 如果 $x$ 不是随机变量 $X$ 的一个可能取值（即 $x \notin S_X$），那么 $p_X(x) = 0$。
## PMF的基本性质
一个函数若要成为一个合法的概率质量函数，必须满足以下两个基本性质：
1. 非负性 (Non-negativity) 对于所有可能的取值 $x$，其概率必须大于或等于零。 $$ p_X(x) \ge 0 $$ 概率不可能为负数。
2. 总和为一 (Sum to One) 将随机变量所有可能取值的概率相加，总和必须等于 1。这代表了所有可能结果的概率总和为百分之百。 $$ \sum_{x \in S_X} p_X(x) = 1 $$ 其中 $S_X$ 是随机变量 $X$ 的所有可能取值的集合。这个求和遍历了所有能使 $p_X(x)$ 大于零的值。
如果一个函数同时满足这两个条件，那么它就是一个有效的概率质量函数。
## 与累积分布函数(CDF)的关系
概率质量函数 (PMF) 与{{{累积分布函数}}} (Cumulative Distribution Function, CDF) 密切相关。对于一个离散随机变量 $X$，其CDF（通常表示为 $F_X(x)$）定义为随机变量 $X$ 的值小于或等于 $x$ 的概率。
* 从 PMF 计算 CDF CDF 是通过将所有小于或等于 $x$ 的可能值的 PMF 值累加得到的。 $$ F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{k \le x, k \in S_X} p_X(k) $$ 因此，离散随机变量的CDF是一个阶梯函数，其“跳跃”点发生在 $X$ 的每个可能取值处，跳跃的高度恰好等于该点的 PMF 值。
* 从 CDF 计算 PMF 反过来，我们也可以从CDF中得到PMF。特定值 $x$ 的概率等于CDF在该点的“跳跃”大小。 $$ p_X(x) = F_X(x) - \lim_{y \to x^-} F_X(y) $$ 其中 $\lim_{y \to x^-} F_X(y)$ 表示 $y$ 从左侧趋近于 $x$ 时 $F_X(y)$ 的极限。
## 典型示例
理解 PMF 最好的方式是通过具体的例子。
### 示例 1：公平骰子
考虑投掷一个标准的六面公平骰子。令随机变量 $X$ 代表骰子朝上的点数。 $X$ 的可能取值集合是 $S_X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。 因为骰子是公平的，每个点数出现的概率都是 $1/6$。因此，其 PMF 为： $$ p_X(k) = \begin{cases} 1/6 & \text{for } k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 我们可以验证它满足性质：$p_X(k) \ge 0$ 且 $\sum_{k=1}^6 p_X(k) = 6 \times (1/6) = 1$。
### 示例 2：伯努利分布 (Bernoulli Distribution)
{{{伯努利分布}}}是描述只有两种结果（例如“成功”与“失败”）的单次试验的分布。令随机变量 $X$ 在试验成功时取值为1，失败时取值为0。假设成功的概率为 $p$。 其 PMF 为： $$ p_X(k) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{for } k \in \{0, 1\} $$ 这可以分解为： * $P(X=1) = p^1 (1-p)^{1-1} = p$ (成功的概率) * $P(X=0) = p^0 (1-p)^{1-0} = 1-p$ (失败的概率)
### 示例 3：二项分布 (Binomial Distribution)
{{{二项分布}}}描述了在 $n$ 次独立的伯努利试验中，“成功”发生 $k$ 次的概率。假设每次试验成功的概率为 $p$。 令随机变量 $X$ 代表成功的次数，其 PMF 为： $$ p_X(k) = P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{for } k \in \{0, 1, \dots, n\} $$ 这里，$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数，代表从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次成功的所有方式。
### 示例 4：泊松分布 (Poisson Distribution)
{{{泊松分布}}}常用于模拟在固定的时间或空间内，某事件发生的次数。例如，一小时内到达银行的客户数量。假设事件发生的平均次数为 $\lambda$。 令随机变量 $X$ 代表事件发生的次数，其 PMF 为： $$ p_X(k) = P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad \text{for } k \in \{0, 1, 2, \dots\} $$ 这是一个支撑集为无限可数集的例子。
## 应用与重要性
概率质量函数是描述离散随机变量行为的基石。
* 计算期望与方差：一旦知道了 PMF，就可以计算该随机变量的所有重要数值特征，如{{{期望值}}}（均值）和{{{方差}}}。 * 期望值：$E[X] = \sum_{x \in S_X} x \cdot p_X(x)$ * 方差：$Var(X) = E[(X-E[X])^2] = \sum_{x \in S_X} (x - E[X])^2 \cdot p_X(x)$ * 概率计算：PMF 允许我们直接计算各种事件的概率。例如，随机变量 $X$ 落在一个集合 $A$ 中的概率是： $$ P(X \in A) = \sum_{x \in A \cap S_X} p_X(x) $$
## 与概率密度函数 (PDF) 的区别
初学者常常混淆 PMF 和 PDF。以下是关键区别：
| 特征 | 概率质量函数 (PMF) | {{{概率密度函数}}} (PDF) | | :--- | :--- | :--- | | 适用变量类型 | {{{离散随机变量}}} | {{{连续随机变量}}} | | 函数值含义 | $p_X(x)$ 是 $X=x$ 的 实际概率。它的值在 $[0, 1]$ 区间内。 | $f_X(x)$ 本身不是概率，而是 概率密度。它的值可以大于1。 | | 点概率 | $P(X=x) = p_X(x)$，可以为正数。 | $P(X=x) = 0$。对于连续变量，任何单点的概率都为零。 | | 求和/积分 | 使用 求和 (Summation, $\sum$) 来计算一个范围内的概率。 | 使用 积分 (Integration, $\int$) 来计算一个区间内的概率。 |
总而言之，概率质量函数为我们提供了一个清晰、直观的方式来量化和分析离散随机事件的可能性。