# 样本空间 (Sample Space)
样本空间 (Sample Space)，在{{{概率论}}} (Probability Theory) 中，是一个{{{随机试验}}} (Random Experiment) 或随机过程所有可能{{{结果}}} (Outcome) 的{{{集合}}} (Set)。它构成了概率论公理化基础的核心，是定义{{{事件}}} (Event) 和计算{{{概率}}} (Probability) 的前提。样本空间通常用大写希腊字母 $\Omega$ (Omega) 或大写字母 $S$ 来表示。
正确识别和定义样本空间是解决任何概率问题的第一步，也是至关重要的一步。
## 核心原则
样本空间的构建必须遵循两个基本原则：
一. 完备性 (Exhaustiveness)：样本空间必须包含该随机试验中所有可能出现的结果，无一遗漏。
二. 互斥性 (Mutual Exclusivity)：样本空间中的每一个元素（即每一个可能的结果）都是彼此独立的、不可再分的{{{基本事件}}} (Elementary Event)。在单次试验中，一个结果的出现必然排斥其他任何结果的出现。
## 样本空间的类型
根据其包含的结果数量和性质，样本空间主要可以分为两大类：{{{离散样本空间}}}和{{{连续样本空间}}}。
### 一. 离散样本空间 (Discrete Sample Space)
当一个随机试验的结果是有限个或可数无穷多个时，其样本空间被称为离散样本空间。
* 有限样本空间 (Finite Sample Space)：结果的数量是有限的。 * 例1：抛掷一枚硬币。可能的结果是“正面”或“反面”。其样本空间为： $$ \Omega = \{ \text{正面}, \text{反面} \} $$ * 例2：掷一个六面骰子。可能的结果是点数为 1 到 6 的整数。其样本空间为： $$ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$
* 可数无穷样本空间 (Countably Infinite Sample Space)：结果的数量是无穷的，但可以与自然数集建立一一对应关系。 * 例3：反复抛掷一枚硬币，直到第一次出现正面为止，记录总的抛掷次数。抛掷次数可以是 1, 2, 3, $...$，理论上无上限。其样本空间为： $$ \Omega = \{1, 2, 3, 4, \ldots \} $$
### 二. 连续样本空间 (Continuous Sample Space)
当一个随机试验的结果可以是某一区间内的任何一个实数时，其样本空间被称为连续样本空间。这类样本空间包含不可数无穷多个结果。
* 例1：测量某城市中午12点的室外温度。温度可以是在一个合理范围内的任何数值。其样本空间可以表示为一个区间，例如： $$ \Omega = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -50 \le x \le 60 \} $$ 或者简写为 $\Omega = [-50, 60]$。
* 例2：一个电子元件的使用寿命。寿命可以是任何非负实数。其样本空间为： $$ \Omega = \{ t \mid t \ge 0 \} $$ 或者简写为 $\Omega = [0, \infty)$。
## 样本空间、事件与概率
样本空间是定义“事件”的基石。在现代概率论的公理化体系中：
一个{{{事件}}} (Event) 被定义为样本空间 $\Omega$ 的一个{{{子集}}} (Subset)。
* {{{基本事件}}} (Elementary Event)：只包含样本空间中一个结果的子集。例如，在掷骰子的试验中，$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，事件 $\{3\}$ 就是一个基本事件，表示“掷出点数3”。
* 复合事件 (Compound Event)：包含多个结果的子集。例如，事件“掷出的点数为偶数”，可以表示为子集 $A = \{2, 4, 6\}$。当试验结果是 2、4 或 6 时，我们称事件 $A$ 发生了。
* 必然事件 (Certain Event)：整个样本空间 $\Omega$ 本身是一个事件，因为它包含了所有可能的结果，所以在每次试验中必然发生。其概率为 1，即 $P(\Omega) = 1$。
* 不可能事件 (Impossible Event)：{{{空集}}} $\emptyset$ 也是 $\Omega$ 的一个子集，它不包含任何结果，因此永远不会发生。其概率为 0，即 $P(\emptyset) = 0$。
概率的计算正是基于此：一个事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 是对该子集的一种“测度”，表示该事件发生的可能性大小。这套框架是{{{柯尔莫哥洛夫概率公理}}} (Kolmogorov's Axioms) 的基础。
## 如何正确构建样本空间
一个试验的样本空间并非绝对唯一，其选择取决于我们关心的试验结果是什么，以及为了计算方便。选择一个合适的样本空间至关重要。
示例：同时掷两枚不同的骰子（一枚红色，一枚蓝色）
假设我们关注的是最终的概率计算。
* 一个有效的、便于计算的样本空间： 我们可以将每个结果定义为一个有序对 $(i, j)$，其中 $i$ 是红色骰子的点数，$j$ 是蓝色骰子的点数。这个样本空间包含 $6 \times 6 = 36$ 个基本事件： $$ \Omega = \{ (i, j) \mid i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \} $$ 这个样本空间非常有用，因为如果骰子是公平的，那么这 36 个基本事件都是等可能的，每一个发生的概率都是 $1/36$。这使得计算复合事件的概率变得非常简单。例如，事件“两枚骰子点数之和为7”的子集是 $A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$。由于包含6个基本事件，其概率为 $P(A) = 6 \times (1/36) = 1/6$。
* 一个可能不理想的样本空间： 如果我们只关心“两枚骰子点数之和”，我们可能会尝试将样本空间定义为： $$ \Omega' = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} $$ 这个集合确实包含了所有可能的点数之和，但它作为基本事件的集合存在严重问题：$\Omega'$ 中的元素不是等可能的。例如，得到和为 2 的方式只有一种 ($(1,1)$)，而得到和为 7 的方式有六种。如果使用 $\Omega'$ 作为样本空间，我们无法直接应用“事件概率 = 有利结果数 / 总结果数”的简单古典概型公式，计算会变得复杂且容易出错。
因此，选择一个基本事件之间相互独立且（如果可能）等概率的样本空间，是分析概率问题的标准做法。
样本空间的概念也与{{{随机变量}}} (Random Variable) 紧密相关。一个随机变量是一个函数，它将样本空间中的每一个结果（基本事件）映射到一个实数。在上述例子中，我们可以定义一个随机变量 $X$ 为两者的点数之和。对于样本空间 $\Omega$ 中的每一个结果 $(i, j)$，$X$ 的取值为 $X((i, j)) = i + j$。